簡(jiǎn)單均勻分布參數(shù)同等最短置信區(qū)間的求法

徐 寶，馬藝光，趙志文，孫耀東

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000）

簡(jiǎn)單均勻分布參數(shù)同等最短置信區(qū)間的求法

徐 寶，馬藝光，趙志文，孫耀東

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000）

對(duì)形如U(0，θ)的均勻分布，文章在給定置信水平1-a下，用計(jì)算函數(shù)極值的方法得到了參數(shù)q的平均長(zhǎng)度最短的同等置信區(qū)間，然后通過最大密度區(qū)間法得到了該參數(shù)的相同的最短置信區(qū)間，后者的求解過程也充分印證了該方法也是確定參數(shù)最短置信區(qū)間以及構(gòu)造等尾置信區(qū)間的依據(jù)。

均勻分布；置信區(qū)間；最大密度區(qū)間

1 問題的提出

均勻分布也稱為平頂分布，是一種常見的連續(xù)型分布，也是在理論和實(shí)踐中都有重要應(yīng)用的一種概率統(tǒng)計(jì)模型。理論上，均勻分布在構(gòu)造性地證明隨機(jī)變量存在定理中起到關(guān)鍵作用[1]；任何連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量F(X)都服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布[1]。生活和生產(chǎn)實(shí)際中也經(jīng)常使用，比如：半徑為r的汽車輪胎的圓周接觸地面的位置X服從均勻分布U(0,2πr)[1]，這從報(bào)廢輪胎四周的磨損程度幾乎相同可以得到印證。

一般均勻分布U(a,b)的參數(shù)估計(jì)是理論和實(shí)際應(yīng)用中不可或缺的一部分，而區(qū)間估計(jì)是更是參數(shù)估計(jì)中的重要內(nèi)容。在給定置信水平下構(gòu)造的置信區(qū)間，人們關(guān)心的是該區(qū)間的精確度問題，而區(qū)間的精確度通常由兩方面來衡量：一是置信區(qū)間的平均長(zhǎng)度越短越好，二是置信區(qū)間包含真值的概率越大越好。在實(shí)際應(yīng)用中，通常使用置信區(qū)間長(zhǎng)度來衡量其精確度。因此研究各種分布參數(shù)的最短置信區(qū)間有一定的理論和現(xiàn)實(shí)意義。一般均勻分布U(a,b)的參數(shù)a和b的最短置信區(qū)間是統(tǒng)計(jì)文獻(xiàn)中的常見的研究?jī)?nèi)容[2-5]，都是和其他分布參數(shù)一樣使用樞軸量和分布的分位數(shù)構(gòu)造置信區(qū)間以及使用極值確定最短置信區(qū)間[6-8]，但確定的依據(jù)卻都沒有明確提出.本文對(duì)形如U(0,1)和U(0,2πr)的簡(jiǎn)單均勻分布U(0，θ)，利用數(shù)學(xué)分析中計(jì)算函數(shù)條件極值的方法得到參數(shù)q的最短同等置信區(qū)間，并用最大密度區(qū)間法[9]驗(yàn)證了該區(qū)間確實(shí)是給定置信水平下的最短置信區(qū)間，并由此印證最大密度區(qū)間正是確定參數(shù)最短置信區(qū)間以及構(gòu)造等尾置信區(qū)間的依據(jù)。

2 U(0,θ)中參數(shù)θ的最短同等置信區(qū)間的求法

計(jì)算U(0,θ)中參數(shù)θ的最短同等置信區(qū)間，為了行文需要，給出如下概念：

定義2(同等置信區(qū)間)：設(shè)θ是某總體的一個(gè)取值于Θ 的參數(shù)，x1，…，xn為抽自該總體的一個(gè)樣本，對(duì)給定的a∈(0,1)，若存在兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量與,且滿足，使得∈Θ),則稱隨機(jī)區(qū)間為參數(shù) q 的 1-a 同等置信區(qū)間。

定義3(最大密度區(qū)間)：將隨機(jī)變量的具有高密度值的點(diǎn)歸入某個(gè)區(qū)間，使該區(qū)間外的點(diǎn)的密度值不超過區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)的密度值，若這種集最大密度點(diǎn)形成的區(qū)間存在，則稱該區(qū)間為對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的最大密度區(qū)間，并且最大密度區(qū)間的長(zhǎng)度是最短的。

對(duì)給定的a∈(0,1)，U(0,θ)中參數(shù)θ的最短同等置信區(qū)間由下面定理給出：

定理：設(shè)x1，…，xn是來自均勻分布總體U(0，θ)的一個(gè)樣本，對(duì)給定的α(0＜α＜1)，參數(shù)θ的1-α最短同等置信區(qū)間為其中x(n)為該分布的最大次序統(tǒng)計(jì)量。

證明：第一步：構(gòu)造樞軸量。

首先尋找參數(shù)θ的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)，由于矩法估計(jì)精度不高，所以尋求θ的極大似然估計(jì)。

由于似然函數(shù)為：

要使L(θ)達(dá)到最大，示性函數(shù)取值必須為1，其次是盡可能大，由于是θ的單調(diào)減函數(shù)，所以θ的取值應(yīng)盡可能小，但示性函數(shù)為1決定了θ不能小于x(n)，由此得到參數(shù)θ的極大似然估計(jì)為

從而有G的概率密度函數(shù)為：

很明顯它與參數(shù)θ無(wú)關(guān)，所以是樞軸量。

第二步：選擇常數(shù)c和d，使得概率等式P(c≤G≤d)=1-α恒成立。

從而有：

因此c和d滿足dn-cn=1-α。

第三步：求參數(shù)θ的1-α同等置信區(qū)間。

第四步：尋找最短1-α同等置信區(qū)間。

由于0＜c＜d≤1，且dn-cn=1-α，所以求二元函數(shù)的極值問題就變成了限制條件φ(c，d)=dn-cn-1+α=0下的條件極值問題了。一般考慮使用數(shù)學(xué)分析中的拉格朗日乘數(shù)法求之，但是函數(shù)在區(qū)域E={(c，d):0＜c＜d≤1}的內(nèi)部沒有穩(wěn)定點(diǎn)，自然也沒有候選極值點(diǎn)，因此該函數(shù)如果存在極值點(diǎn)也只能在邊界點(diǎn)處取得，但區(qū)域E的邊界點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)，無(wú)法一一驗(yàn)證，所以嘗試轉(zhuǎn)用無(wú)條件極值借助函數(shù)的特性求之。

由于dn-cn=1-α，從而有于是有：

對(duì)函數(shù)g(d)是關(guān)于d求導(dǎo)，有：

這說明g(d)是關(guān)于d的單調(diào)減函數(shù)，而0＜d≤1，故g(d)在d=1處取得極小值，此時(shí)于是二元函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，因此參數(shù)θ的1-α同等最短置信區(qū)間為

這是從數(shù)學(xué)分析角度得到的最短置信區(qū)間，只是給出了計(jì)算方法，并沒有指出構(gòu)造最短置信區(qū)間的思想，而下面的從樞軸量的分布函數(shù)出發(fā)應(yīng)用最大密度區(qū)間法，不但能確定參數(shù)的與前述相同的最短置信區(qū)間，而且還能體現(xiàn)出構(gòu)造最短置信區(qū)間的指導(dǎo)思想。

圖1

3 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)簡(jiǎn)單的均勻分布U(0，θ)，分別運(yùn)用函數(shù)極值和最大密度區(qū)間法計(jì)算了參數(shù)θ的1-α最短同等置信區(qū)間，兩種方法得到的形式一致，其中最大密度區(qū)間法是一種比較巧妙的方法，它不但運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想，還給出了利用分布的分位數(shù)構(gòu)造最短置信區(qū)間的依據(jù)，該方法是構(gòu)造參數(shù)的置信區(qū)間的指導(dǎo)思想。

［1］茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程(第二版)［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［2］王秀麗.均勻分布參數(shù)的最短置信區(qū)間［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008，(5).

［3］曾艷.均勻分布參數(shù)的最短置信區(qū)間［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，(9).

［4］張紅兵.均勻分布區(qū)間長(zhǎng)度的最短置信區(qū)間［J］.孝感學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，(5).

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［7］徐美萍，于健，王若.威布爾分布中尺度參數(shù)的最短區(qū)間估計(jì)［J］.江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，(3).

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［9］茆詩(shī)松，呂曉玲.數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)(第二版)［M］.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社，2016.

（責(zé)任編輯/浩 天）

O212.1

A

1002-6487（2017）19-0084-03

吉林省社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2014B137）；吉林省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（20150101007JC）

徐 寶（1977—），男，吉林四平人，博士，副教授，研究方向:數(shù)理統(tǒng)計(jì)。