微分中值定理在不等式證明中的應(yīng)用

段勝忠+楊國翠

摘要：通過典型例子的解答，給出利用拉格朗日中值定理、柯西中值定理和帶拉格朗日余項(xiàng)泰勒公式證明不等式的方法和步驟。

關(guān)鍵詞：不等式；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒公式；輔助函數(shù)

中圖分類號(hào)：TB文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2017.28.094

不等式是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)分析、泛函分析、非線性泛函分析和證明微分方程解的存在性方面有著非常重要的應(yīng)用。同時(shí)，不等式的證明由于題型特殊，證明的方法靈活多變，在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力上具有重要的作用。微分中值定理反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系，是用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)性態(tài)的理論基礎(chǔ)，微分中值定理作為微分學(xué)應(yīng)用的橋梁，在理論和實(shí)際中具有極高的研究價(jià)值。本文通過典型例子的解答，希望進(jìn)一步概括和總結(jié)微分中值定理在不等式證明中的方法和步驟，在加深學(xué)生對(duì)微分中值定理理解的同時(shí)，提升學(xué)生證明不等式能力。

1預(yù)備知識(shí)

定理1.1 （拉格朗日中值定理）若函數(shù)fx滿足如下條件：

（1）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間a，b內(nèi)可導(dǎo)。

則在a，b內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′ξ=fb-fab-a 。

定理1.2（柯西中值定理）若函數(shù)f（x）與g（x）滿足下列條件：

（1）在閉區(qū)間a，b連續(xù)；

（2）在開區(qū)間（a，b）可導(dǎo)，且x∈（a，b），有g(shù)′（x）≠0，

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f′（c）g′（c）=f（b）-f（a）g（b）-g（a）。

定理1.3（帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)a存在n+1階導(dǎo)數(shù)，則x∈Uo（a）有

f（x）=f（a）+f′（a）（x-a）+…+f（n）（a）n?。▁-a）n+f（n+1）（ξ）（n+1）?。▁-a）n+1，其中ξ介于a與x之間。

2典型例子

2.1利用拉格朗日中值定理證明不等式

方法步驟：

（1）構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)；

（2）尋找合適的討論區(qū)間；

（3）考慮中值的取值范圍，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。

例2.1設(shè)a>b>0，n>1，證明：nbn-1（a*b）

證明：設(shè)f（x）=xn，x∈b，a，因?yàn)閒（x）在b，a上連續(xù)，在（b，a）內(nèi)可導(dǎo)，所以由拉格朗日中值定理知：fa-fb=f′（ξ）（a-b），ξ∈（a-b），即an-bn=nξn-1（a-b）. 又因?yàn)?1，所以bn-1<ξn-1

例2.2證明不等式：當(dāng)x>0時(shí)，有x1+x

證明：令f（x）=ln（1+x），顯然它在[0，x]（x>0）上滿足拉格朗日中值定理的條件，故ξ∈（0，x），使f（ξ）=f（x）-f（0）x-0，即ln（1+x）-ln1x=11+ξ，又因?yàn)?<ξ

2.2利用柯西中值定理證明不等式

柯西中值定理是研究兩個(gè)函數(shù)的變量關(guān)系的中值定理，當(dāng)一個(gè)函數(shù)取做自變量本身時(shí)，其特殊化為拉格朗日中值定理.在不等式中如果出現(xiàn)兩種不同類型的函數(shù)時(shí)一般考慮利用柯西中值定理進(jìn)行證明。

方法步驟：

（1）構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)f（x）和g（x）；

（2）尋找適當(dāng)?shù)挠懻搮^(qū)間；

（3）考慮中值的取值范圍，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.

例2.3若0cosx1-cosx2ex1.

證明：只需證明ex2-ex1cosx1-cosx2>ex1即可. 設(shè)ft=et，gt=cost，則ft，gt在x1，x2上滿足柯西中值定理?xiàng)l件，所以存在ξ∈x1，x2， 使得fx2-fx1gx2-gx1=f′ξg′ξ， ex2-ex1cosx2-cosx1=eξ-sinξ，0

ex2-ex1=cosx1-cosx2eξ1sinξ>cosx1-cosx2 eξ>cosx1-cosx2 ex1.

例2.4設(shè)x>0，0<α<1，求證：xα-αx

SymbolcB@ 1-α.

證明：設(shè)f（t）=tα，g（t）=αt.當(dāng)x=1時(shí)結(jié)論顯然成立.當(dāng)x≠1時(shí)，取x，1或1，x，f（x），g（x）在閉區(qū)間x，1或1，x上連續(xù)，在開區(qū)間（x，1）或（1，x）可導(dǎo)，且g′（x）在（x，1）或（1，x）內(nèi)每一點(diǎn)均不為零，由柯西中值定理可得：

f（x）-f（1）g（x）-g（1）=f′（ξ）g′（x），ξ∈（x，1）或ξ∈（1，x），即xα-1αx-α

SymbolcB@ αξα-1α=ξα-1， 所以xα-αx

SymbolcB@ 1-α成立.

2.3利用帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式證明不等式

對(duì)含有高階導(dǎo)數(shù)的不等式，一般需要利用泰勒公式進(jìn)行處理，證明的步驟如下：

（1）根據(jù)不等式最高階導(dǎo)數(shù)的次數(shù)確定展開項(xiàng)；

（2）選取適當(dāng)?shù)恼归_點(diǎn)（一般為使得一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)）；

（3）恰當(dāng)選擇函數(shù)f（x）中x的取值；

（4）寫出函數(shù)的帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式；

（5）進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，完成不等式的證明.

例2.5若函數(shù)f（x）在a，b上存在二階導(dǎo)數(shù)，且f′（a）=f′（b）=0，則存在一點(diǎn)c∈（a，b），使f″（c）4（b-a）2f（b）-f（a）.

證明：將f（x）在點(diǎn)a和點(diǎn)b分別進(jìn)行泰勒展開，有

f（x）=f（a）+f′（a）（x-a）+12！f″（ξ1）（x-a）2

f（x）=f（b）+f′（b）（x-b）+12！f″（ξ2）（x-b）2

取x=a+b2，可得

f（a+b2）=f（a）+f′（a）（a+b2-a）+12！f′（ξ1）（a+b2-a）2

=f（a）+12！f″（ξ1）（b-a2）2，ξ1∈（a，a+b2）；

f（a+b2）=f（b）+f′（b）（a+b2-b）+12！f″（ξ2）（a+b2-b）2

=f（b）+12！f″（ξ2）（a-b2）2，ξ2∈（a+b2，b）

令f″（c）=maxf″（ξ1），f″（ξ2），有

f（b）-f（a）=f″（ξ2）2（a-b2）2-f″（ξ1）2（b-a2）2

SymbolcB@ f″（ξ2）2（b-a）24+f″（ξ1）2（b-a）24

SymbolcB@ 12f″（ξ2）+f″（ξ1）（b-a）24

SymbolcB@ f″（c）（b-a）24，所以f″（c）4（b-a）2f（b）-f（a）。

例2.6設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上二階可導(dǎo)，且f（0）=f（1）=0，minx∈[0，1]f（x）=-1，證明：ξ∈（0，1）， 使得f″（ξ）8。

證明：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[0，1]上二階可導(dǎo)，f（0）=f（1）=0，minx∈[0，1]f（x）=-1。

利用費(fèi)馬定理可知，a∈（0，1），使得f（a）=-1且f′（a）=0.將函數(shù)f（x）在a點(diǎn)泰勒展開可得：

f（x）=f（a）+f′（a）（x-a）+f′（ξ）2?。▁-a）2

取x=0，x=1，可知

f（0）=f（a）+f′（a）（0-a）+f′（ξ1）2！a2，ξ1∈（0，a）；

f（1）=f（a）+f′（a）（1-a）+f″（ξ2）2?。?-a）2，ξ2∈（a，1）

化簡得：f″（ξ1）=2a2f″（ξ2）=2（1-a）2，因?yàn)閙ax{2a2，2（1-a）2}8

取f″（ξ）=max{f″（ξ1），f″（ξ2）}可得結(jié)論成立。

3結(jié)語

不等式的證明方法有很多，同樣也靈活多變，具體要根據(jù)不等式的特點(diǎn)，在分析和總結(jié)的基礎(chǔ)上，找到適當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q，只有這樣才能更好地解決遇到的問題，達(dá)到事半功倍的效果。從上面的分析中可以看到，微分中值定理在證明不等式，特別是含有抽象函數(shù)不等式的證明中起到了很好的作用，對(duì)學(xué)生深刻理解微分中值定理的內(nèi)涵具有很好的意義。在具體問題的證明過程中，輔助函數(shù)的構(gòu)造、討論區(qū)間的選取和泰勒展開點(diǎn)的確定是證明中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，希望通過文章典型例子的分析和方法步驟的總結(jié)，探尋證明的一般規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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