兩類建模問題的實例

王偉珠

摘要：數(shù)學建模是很多領域應用的需要.在現(xiàn)實問題中，我們可以用不同的數(shù)學方法去考慮建模問題。據(jù)此，將通過最小二乘法和線性函數(shù)回歸分析這兩類方式探討建模問題，通過實例方式分析。

關(guān)鍵詞：數(shù)學；模型；舉例

中圖分類號：0172.1G4文獻標識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2017.28.083

數(shù)學模型解決實際問題是數(shù)學應用的充分體現(xiàn)。在模型的建立及其求解過程中， 必須要了解以下幾點：

其一，根據(jù)特定的現(xiàn)象去建立的數(shù)學化模型實際上是理想化的數(shù)學模型， 所以并不是真正的精確表。

其二，能用來體現(xiàn)實際問題的數(shù)學模型多數(shù)都是比較復雜的， 如果從實際的應用角度來看， 我們大可不必追求數(shù)學模型的完全精確的解。

其三，要求當代大學生能夠掌握一種或是幾種數(shù)學軟件用于解決某些領域的實際問題已成為必然。

1最小二乘法

數(shù)理統(tǒng)計中常用到回歸分析，也就是根據(jù)實際測量得到的一組數(shù)據(jù)來找出變量間的函數(shù)關(guān)系的近似表達式。通常把這樣得到的函數(shù)的近似表達式叫作經(jīng)驗公式，這是一種廣泛采用的數(shù)據(jù)處理方法。經(jīng)驗公式建立后，就可以把生產(chǎn)或?qū)嵺`中所積累的某些經(jīng)驗提高到理論上加以分析，并由此作出某些預測。 下面我們通過實例來介紹一種常用的建立經(jīng)驗公式的方法。

例1為測量某工具的磨損消耗速度，實行每間隔一小時就測定一次工具的厚度，表1便是得到的一些實際測量數(shù)據(jù)。

能否根據(jù)上組數(shù)據(jù)建立出厚度y與時間t之間的經(jīng)驗公式y(tǒng)=f（t）。

分析觀察以上數(shù)據(jù)，不難看出所求經(jīng)驗函數(shù)y=f（t）與線性函數(shù)類似，于是可以設函數(shù)為f（t）=at+b，這里a和b可以看成待定的常數(shù)，但由于以上的這些所有點并不是完全在同一條直線上，所以希望其偏差yi-f（ti）（i=0，1，2，…，7）越小越好。為了使每個偏差都能很小，可考慮如何選取常數(shù)a，b，使表達式M=∑7i=0[yi-（ati+b）]2最小。這種確定常數(shù)a，b的方法（使偏差的平方和達到最小的）通常稱之為最小二乘法。

分析上述例子：如何正確選取常數(shù)a，b，使表達式M=∑7i=0[yi-（ati+b）]2最小。如把表達式M看成一個含有兩個變量的函數(shù)，此問題已然可視為求此函數(shù)M=M（a，b）在已有點處的最小值?？闪?/p>

Ma=-2∑7i=0[yi-（ati+b）]ti=0Mb=-2∑7i=0[yi-（ati+b）]=0，

即∑7i=0[yi-（ati+b）]ti=0∑7i=0[yi-（ati+b）]=0

整理得a∑7i=1t2i+b∑7i=1ti=∑7i=1yiti

a∑7i=1ti+8b=∑7i=1yi（1）

計算，得∑7i=1ti=28，∑7i=1t2i=140，∑7i=1yi=208.5，∑7i=1yiti=717.0.

代入（1），得140a+28b=71728a+8b=208.5a=-0.3036，b=27.125

于是，所求經(jīng)驗公式為y=f（t）=-0.3036t+27.125（2）

根據(jù)上面式子計算出的f（ti）與實際測得的yi存在一定的誤差，如表2。

于是得到偏差的平方和M=0.128665，其算術(shù)平方根M=0.359.我們通常把M叫作均方誤差，均方誤差的大小某些程度上反映的是用經(jīng)驗公式近似表達原來函數(shù)好壞的程度。

2線性函數(shù)回歸分析

我們通常可以按下面四步進行回歸分析：

（1）考慮把實際的問題數(shù)量化，確定兩個變量，分別為因變量和自變量；

（2）根據(jù)已有的數(shù)據(jù)作出散點圖，并大致地確定需擬合數(shù)據(jù)的函數(shù)關(guān)系類型；

（3）再通過應用軟件的計算，能夠得到所求函數(shù)關(guān)系的模型；

（4）最后利用由回歸分析所構(gòu)建的近似的函數(shù)關(guān)系去預測變量指定點處的函數(shù)值。

例2為確定我國郵政信件資費與時間的關(guān)系，通過調(diào)查得到表3的一些數(shù)據(jù)。

試建立一個郵遞費用和時間的函數(shù)關(guān)系模型，并檢驗模型確定合理后，再使用這個模型預測2020年的郵遞資費。

解（1）先確定兩個變量，再數(shù)量化。假設第一年1986年為0，并用變量x和變量y分別表示相應的年份及郵資，可得表4。

通過上圖觀察可知，函數(shù)關(guān)系近似于線性關(guān)系。設y與x之間的函數(shù)關(guān)系為

y=ax+b（a，b為常數(shù)）

（3）通過Excel可計算得到待定系數(shù)a，b的值為

a=0.9618，b=5.898

從而得到回歸直線為

y=5.898+0.9618x

（4）添加散點圖中上面所確定的回歸直線y=5898+0.9618x，如圖2。

可見該直線模型y=5.898+0.9618x與原散點圖擬合的程度很高，說明此模型是線性模型非常合理。

（5）預測未來2020年的資費標準，即變量x=34時，變量y的取值.不難由擬合圖可知x=34時y≈39。即未來2020年的資費標準大概為39分。

事實上，將x=34直接代入回歸直線方程y=5898+0.9618x，也可得y≈39。

上例回歸的問題就是線性回歸問題，也算是較簡單的回歸問題分析，但這類問題在實際生活中卻具有非常廣泛的應用價值。

參考文獻

[1]劉書田，葛振三. 經(jīng)濟數(shù)學基礎（一）微積分[M].北京：世界圖書出版公司，2002.

[2]吳贛昌. 微積分（下冊）[M].北京：中國人民大學出版社，2013.endprint