正交面齒輪數(shù)控磨削齒面誤差修正研究

方曙光，明興祖，王紅陽，羅 旦

（湖南工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

正交面齒輪數(shù)控磨削齒面誤差修正研究

方曙光，明興祖，王紅陽，羅 旦

（湖南工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

首先，基于面齒輪的嚙合原理和數(shù)控磨削展成坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系，建立了面齒輪的齒面數(shù)學(xué)模型，并對面齒輪齒面進(jìn)行5×9網(wǎng)格劃分和節(jié)點坐標(biāo)理論值計算；然后，采用三坐標(biāo)測量機(jī)測出了磨削齒面節(jié)點的坐標(biāo)測量值，通過對齒面誤差的分析和分解，得到了齒面網(wǎng)格節(jié)點處的齒面偏差值；最后，建立了齒面誤差的識別方程，并提出采用序列二次規(guī)劃方法，對機(jī)床加工參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，從而完成了對面齒輪齒面誤差的修正。齒面誤差修正結(jié)果表明，齒面工作區(qū)域部分的齒面誤差總體趨于平穩(wěn)，即修正后的齒面誤差得到了明顯的改善，但是靠近齒面的過渡區(qū)域還需要進(jìn)一步完善。

面齒輪；齒面誤差；三坐標(biāo)測量；磨削參數(shù)；序列二次規(guī)劃

1 研究背景

面齒輪傳動是一種圓柱齒輪與圓錐齒輪嚙合的齒輪傳動方式，它具有結(jié)構(gòu)緊湊、重合度大、傳動平穩(wěn)等優(yōu)勢[1-2]。磨削作為面齒輪的最后一道加工工序，以形成面齒輪的最終齒面幾何形狀、微觀形貌和表層性態(tài)，其優(yōu)劣決定了面齒輪的使用性能和壽命。但是綜觀已有研究，對于磨削后面齒輪的精度（如齒面的幾何精度等）要求，目前還無統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。

1）國外已有研究

國外對于面齒輪制造技術(shù)方面的研究相對于國內(nèi)該方面的研究起步較早，且國外已有研究中常采用齒輪測量儀對面齒輪的齒面偏差進(jìn)行測量，以評判面齒輪的精度。

F. L. Litvin等人[3]較早地提出了面齒輪磨削加工理論，并且建立了面齒輪磨削加工機(jī)構(gòu)。

G. Goch[4]對相關(guān)圓柱齒輪(如直齒輪、斜齒輪)、螺旋錐齒輪的精度測量方法及其特點進(jìn)行了綜述，通過對比分析各測量方法，認(rèn)為三坐標(biāo)測量方法具有較大優(yōu)勢，并指出了該測量方法的優(yōu)越性。

T. Pfeifer等人[5]利用三坐標(biāo)測量機(jī)測量了螺旋錐齒輪的齒面三維坐標(biāo)數(shù)據(jù)，并據(jù)此開發(fā)了算法程序以補(bǔ)償測頭導(dǎo)致的誤差，且在此基礎(chǔ)上分析了含齒形修形、鼓形修形及制造誤差的 0 階、1 階、2 階偏差。

2）國內(nèi)已有研究

國內(nèi)對于面齒輪的研究相對較晚，尚處于起步階段，因而對于面齒輪齒面偏差方面的研究相對較少，但是也取得了一定的成果。

王延忠等人[6]的研究中，提出了在齒輪測量儀KLINGE-INBERGP100上對齒輪齒形進(jìn)行偏差測量，為面齒輪精度的評定提供了依據(jù)。

王小椿等人[7]提出了三坐標(biāo)測量方法。其研究中不僅給出了Gleason制螺旋錐齒輪的理論齒面模型，且用差曲面描述了三坐標(biāo)測量機(jī)測量得到的實際齒面到理論齒面的偏差，提出了一種利用差曲面特征參數(shù)修正機(jī)床調(diào)整參數(shù)的新方法，以有效提高齒面幾何精度。

王軍[8]對雙曲面齒輪齒面加工精度控制方法進(jìn)行了深入研究，其應(yīng)用差曲面的空間參數(shù)對螺旋錐齒輪齒面誤差進(jìn)行了修正。

王志等人[9]研究了采用坐標(biāo)測量機(jī)測量面齒輪齒面誤差時由于測量坐標(biāo)系和面齒輪設(shè)計坐標(biāo)系不重合造成的誤差，分析了坐標(biāo)測量機(jī)測頭直徑對測量誤差的影響。

相對于其他的齒輪測量儀器，三坐標(biāo)測量儀既可以通過測量軟件對齒面誤差進(jìn)行測量，還可以通過誤差分析得到各種誤差信息。因此，本文擬通過三坐標(biāo)測量儀得到面齒輪齒面的測量實際數(shù)據(jù)和齒面偏差，并對建立的齒面誤差識別方程求解，以達(dá)到減小面齒輪齒面誤差的目的。

2 面齒輪齒面數(shù)學(xué)模型和齒面網(wǎng)格節(jié)點計算

本研究在六軸五聯(lián)動的數(shù)控磨齒機(jī)QMK50A上，采用蝶形砂輪磨削正交面齒輪，面齒輪的材料選用18Cr2Ni4WA，其基本參數(shù)如表1所示。

表1 正交面齒輪基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of orthogonal face gears

2.1 齒面數(shù)學(xué)模型的建立

根據(jù)碟形砂輪的磨削面齒輪原理，其虛擬插齒刀是替代小圓柱齒輪與面齒輪嚙合展成加工出面齒輪齒面的，因而其漸開線圓柱齒輪的齒面方程可以用于表示刀具的齒面方程[9]。漸開線刀具的齒廓截面參數(shù)如圖1所示。

圖1 漸開線刀具齒廓截面參數(shù)Fig. 1 Tooth pro fi le section parameters of the involute cutter

如圖1所示的漸開線刀具齒廓截面參數(shù)設(shè)置中，設(shè)漸開線上任意一點的法矢為ns，插齒刀具的基圓半徑為rbs，任意一點的法矢與基圓切點到漸開線起始點之間的圓心角為θs，刀具在齒槽上的對稱線和漸開線起始點之間的夾角為θs0，ab和cd是分別對應(yīng)于刀具兩側(cè)齒槽的漸開線，us為沿刀具軸線Zs的齒寬參數(shù)。

根據(jù)以上的參數(shù)設(shè)置，可以得出漸開線刀具的齒面方程rs為

式中：“±”分別對應(yīng)于漸開線ab和漸開線cd；

漸開線刀具齒面上任意一點的單位法矢ns可以表示如下：

面齒輪的展成坐標(biāo)系如圖2所示。在圖2所示面齒輪展成坐標(biāo)系中，對面齒輪和插齒刀具的運動坐標(biāo)系做了重合處理。其中：Sm—Omxmymzm和Sp—Opxpypzp均為固定坐標(biāo)系，也是輔助坐標(biāo)系；S2—O2x2y2z2和Ss—Osxsyszs分別是面齒輪和插齒刀具固聯(lián)的坐標(biāo)系；γm為面齒輪和插齒刀具軸線間的夾角；φ2和φs分別表示加工時面齒輪和插齒刀具各自的轉(zhuǎn)角。

圖2 面齒輪的展成坐標(biāo)系Fig. 2 Generating coordinate system of face gears

插齒刀具坐標(biāo)系Ss到面齒輪坐標(biāo)系S2間的變換矩陣如下：

根據(jù)齒輪嚙合原理和坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換方法，將插齒刀具齒面方程進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到面齒輪的齒面方程，為

式（3）～（4）中：

2.2 面齒輪齒面的網(wǎng)格劃分與節(jié)點計算

面齒輪是復(fù)雜的齒面，為能準(zhǔn)確計算出齒面坐標(biāo)的理論值，并且對其進(jìn)行準(zhǔn)確地測量，需要先對其齒面進(jìn)行網(wǎng)格劃分。本研究中，面齒輪齒面上的網(wǎng)格劃分如圖3所示。

圖3 面齒輪齒面上的網(wǎng)格劃分Fig. 3 Grid division on tooth surface

在對面齒輪進(jìn)行齒面網(wǎng)格劃分時，應(yīng)將網(wǎng)格的邊界在齒廓和齒長方向適當(dāng)向內(nèi)收縮，以規(guī)避測量探針的球頭在非工作面上的干涉而產(chǎn)生的誤差。為了使測量齒面為工作齒面，規(guī)定在軸截面的齒高方向向內(nèi)收縮5% ，在齒長方向的大端和小端分別向內(nèi)收縮10%[6]，如圖4所示，其中P11、P19、P51、P59分別為網(wǎng)格的邊界點。

圖4 面齒輪齒面軸截面的網(wǎng)格劃分Fig. 4 Grid division in axial section

面齒輪齒面網(wǎng)格中任意一點的表達(dá)式可以式（5）表示，其中i=1～5，j=1～9。

其中，R1為最小內(nèi)半徑，R2為最大外半徑，u為齒寬，且u=R2-R1；

h=0.08H，其中H為面齒輪齒高，且H=3.5 m。

從刀具坐標(biāo)系Ss—Osxsyszs轉(zhuǎn)換到面齒輪坐標(biāo)系S2—O2x2y2z2中，便可以得到軸截面網(wǎng)格投影在齒面上的網(wǎng)格節(jié)點的45個理論坐標(biāo)值（x2,y2,z2），如表2所示。節(jié)點坐標(biāo)值在兩個坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換時的關(guān)系可以表示如下：

表2 齒面網(wǎng)格節(jié)點坐標(biāo)理論值Table 2 Theoretical coordinate values of grid nodes of the tooth surfacemm

3 面齒輪齒面的三坐標(biāo)測量

為對齒面網(wǎng)格節(jié)點坐標(biāo)實際值進(jìn)行測量，采用三坐標(biāo)測量儀Xorbit plus 77，其測頭直徑為0.5 mm。三坐標(biāo)測量的坐標(biāo)系如圖5所示，選擇內(nèi)孔的圓柱面軸向為z向。

圖5 三坐標(biāo)測量的坐標(biāo)系Fig. 5 Coordinate system in CMM

在三坐標(biāo)測量儀上測量齒面真實坐標(biāo)值的時候，其基準(zhǔn)面為z向，齒坯底面為x、y向，其測量示意如圖6所示。

圖6 三坐標(biāo)測量示意圖Fig. 6 Schematic diagram of coordinate measuring

經(jīng)測量，面齒輪一個齒面的45個節(jié)點坐標(biāo)測量值如表3所示。

表3 齒面網(wǎng)格節(jié)點坐標(biāo)測量值Table 3 Measuring coordinate values of grid nodes of the tooth surfacemm

4 齒面誤差的SQP法修正與實驗

4.1 齒面誤差的處理

如圖7所示，齒面誤差是齒面上網(wǎng)格節(jié)點處的理論齒面和實際齒面的法向誤差，是一個幾何量。即理論齒面上點A與其法向n和實際齒面的交點C的距離，而實際所測得的齒面誤差是點A與實際齒面的點B之間的距離，但由于點B與點C之間的距離很近，所以可以認(rèn)為[10]。

圖7 齒面法向誤差Fig. 7 Normal errors of the tooth surface

為了建立機(jī)床加工參數(shù)和齒面法向誤差之間的關(guān)系，需將測得的幾何量轉(zhuǎn)化為能表示齒面誤差的代數(shù)量。一般情況下，齒面誤差分為齒距誤差和齒形誤差。齒距誤差一般由以下兩種原因產(chǎn)生：一是加工及熱處理時產(chǎn)生的形變，其可通過磨削前工序進(jìn)行修正；另一主要原因是由機(jī)床的分度誤差引起的。由于分度誤差是機(jī)床的固有誤差，連續(xù)分度后齒輪同一側(cè)的齒距誤差是相同的，因而分度誤差引起的齒距誤差相對平穩(wěn)，所以可以通過提高機(jī)床分度精度的方式來減小齒距誤差對測量結(jié)果的影響?？梢?，齒形誤差是影響齒面誤差測量結(jié)果的主要因素。

齒面誤差分解如圖8所示。其中，F(xiàn)3表示理論齒面，F(xiàn)1表示磨削后含有齒面誤差的實際齒面，F(xiàn)2表示將實際齒面F1繞軸線旋轉(zhuǎn)一定角度后，與理論齒面F3在齒面45個節(jié)點的中間點（即第3行第5列點）重合時的齒面。通過三坐標(biāo)測量儀測得齒面網(wǎng)格各節(jié)點處的法向偏差見表4。

圖8 齒面誤差分解Fig. 8 Error analysis of the tooth surface

表4 齒面網(wǎng)格節(jié)點處的法向偏差Table 4 Normal deviation of grid nodes of the tooth surface mm

4.2 面齒輪磨削坐標(biāo)系的建立

建立如圖9所示的坐標(biāo)系，以確定面齒輪磨削時刀具和零件的位置關(guān)系[11]。

圖9 面齒輪與砂輪的位置關(guān)系Fig. 9 Positional relationship between face gears and grinding wheels

圖9中，Sk—Okxkykzk為面齒輪的初始位置，Sr—Orxryrzr為面齒輪的動坐標(biāo)系；St—Otxtytzt為蝶形砂輪的初始位置；Sh—Ohxhyhzh為砂輪沿面齒輪齒高方向進(jìn)給形成的動坐標(biāo)系，Sj—Ojxjyjzj為砂輪沿面齒輪齒長方向進(jìn)給形成的動坐標(biāo)系。L1為蝶形砂輪固定坐標(biāo)系St—Otxtytzt和齒高方向動坐標(biāo)系Sh—Ohxhyhzh原點間的距離，L2為齒高方向動坐標(biāo)系Sh—Ohxhyhzh和齒長方向動坐標(biāo)系Sj—Ojxjyjzj原點間的距離，L為蝶形砂輪的初始位置St—Otxtytzt和面齒輪的初始位置Sr—Orxryrzr原點間的距離。

4.3 齒面誤差識別方程的建立

由面齒輪和砂輪的位置關(guān)系可以得知，動坐標(biāo)系Sj—Ojxjyjzj到面齒輪的轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系Sr—Orxryrzr的變換矩陣Mjr可表示為

則包含磨床誤差的面齒輪齒面方程可以表示為

面齒輪齒面的法向矢量方程為

面齒輪齒面誤差的產(chǎn)生主要是由機(jī)床的誤差引起的，對面齒輪的齒面偏差進(jìn)行修正就需要對機(jī)床的調(diào)整誤差進(jìn)行修正。根據(jù)式（8）可得

式中：i為齒面網(wǎng)格點的行數(shù)；

j為齒面網(wǎng)格點的列數(shù)；

dk（k=1, 2）為引起齒面偏差的機(jī)床加工參數(shù)，且d1=L1，d2=L2。

將測量所得的45個齒面偏差值代入式（11），可得到一個方程組，通過對該方程組的求解，就可對機(jī)床加工參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，從而達(dá)到對齒輪齒面進(jìn)行修正的目的。

4.4 對超定方程的求解方法

由于所測量的齒面偏差值有45組，而所求的未知數(shù)為機(jī)床加工參數(shù)，齒面偏差值的數(shù)量大于機(jī)床加工參數(shù)的數(shù)量，則該方程組為一個超定方程組，采用一般的解法無法求解得到精確的機(jī)床加工參數(shù)[7]。對于該超定方程，本研究采用序列二次規(guī)劃（sequence quadratic program，SQP）方法進(jìn)行最優(yōu)求解，即將齒面偏差值代入方程（11），得到機(jī)床加工參數(shù)的最優(yōu)解，使得面齒輪的齒面誤差最小。

由公式（11）可以確定目標(biāo)函數(shù)，為

經(jīng)SQP方法求解，可以得出L1=7.875 mm，L2=12.740 mm。

通過對L1和L2值進(jìn)行修正后，齒面誤差明顯改善，如圖10所示。由圖10 可看出，齒面工作區(qū)域部分的齒面誤差總體趨于平穩(wěn)，但靠近齒面過渡區(qū)域還需進(jìn)一步改善。

圖10 修正后的齒面誤差Fig. 10 Corrected tooth surface errors

5 結(jié)論

1）根據(jù)齒面嚙合原理及面齒輪展成坐標(biāo)系的關(guān)系，得到了面齒輪齒面方程，并通過對齒面進(jìn)行網(wǎng)格劃分和節(jié)點計算，得到齒面網(wǎng)格節(jié)點坐標(biāo)理論值。

2）在三坐標(biāo)測量機(jī)上測出了齒面節(jié)點的坐標(biāo)測量值，經(jīng)齒面誤差的分析和分解，得到了齒面網(wǎng)格節(jié)點處的齒面偏差。

3）根據(jù)面齒輪磨削坐標(biāo)系之間的關(guān)系，建立了面齒輪含齒面誤差的識別方程，采用SQP方法對識別方程進(jìn)行求解，得出了機(jī)床磨削參數(shù)L1和L2的優(yōu)化值，減少了正交面齒輪的磨削齒面誤差，達(dá)到了齒面修正的目的。

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（責(zé)任編輯：廖友媛）

Study on Tooth Surface Error Correction of NC Grinding of Orthogonal Face Gears

FANG Shuguang，MING Xingzu，WANG Hongyang，LUO Dan
（School of Mechanical Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

Firstly, based on the meshing principle and the transformation relationship between generating coordinate system of NC grinding, the mathematical model of tooth surface of face gears can be derived, followed by a division of the tooth surface grids of face gear in 5×9, and a calculation of the theoretical coordinate values of nodes. Then three coordinate measuring machines (CMM) are used to measure the coordinate values of the grinding tooth surface joints, and tooth surface deviations of grid nodes can be obtained by analyzing and decomposing the tooth surface error. With the identi fi cation equation of the tooth surface error having been established, the sequential quadratic programming (SQP) method has been proposed to optimize the machining parameters of the machine tool, thus completing the correction of the tooth surface error of the opposite gears. The result of tooth surface error correction shows that the error of tooth surface in the working area tends to be stable, and the corrected tooth surface error is obviously improved, but the transition area near the tooth surface needs further improvement.

face gear；tooth surface deviation；coordinate measuring machine(CMM)；grinding parameter；sequential quadratic programming(SQP)

TP215

A

1673-9833(2017)04-0001-07

10.3969/j.issn.1673-9833.2017.04.001

2017-05-26

國家自然科學(xué)基金資助項目（51375161），湖南省自然科學(xué)基金資助項目（2017JJ4023）

方曙光（1991-），男，湖北黃岡人，湖南工業(yè)大學(xué)碩士生，主要研究方向為數(shù)字化制造技術(shù)，E-mail：858211527@qq.com

明興祖（1964-），男，湖南臨澧人，湖南工業(yè)大學(xué)教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)字化制造與裝備技術(shù)方面的教學(xué)與研究，E-mail：mxz9036@126.com