數(shù)學(xué)解題有妙招

劉長飛

提起數(shù)學(xué)教學(xué)，每個老師都有不同的感觸，但有一點(diǎn)是相同的，即都認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)成績兩極分化現(xiàn)象非常嚴(yán)重。這種情況既不利于教學(xué)，又加大了備課難度，課堂效果差。因此，我試以幾何教學(xué)為例，探討如何培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。

一、培養(yǎng)興趣，促進(jìn)成功

心理學(xué)研究告訴我們：人都有想要達(dá)到目的的愿望，當(dāng)他愿望實(shí)現(xiàn)時，就會感到由衷的滿足，甚至盼望“舉一反三”。學(xué)習(xí)也不例外。只要教師在教法上多用心，因材施教，調(diào)好學(xué)生特別是差生的“胃口”，對學(xué)生的進(jìn)步給予及時的鼓勵，一定會有所收獲。

二、強(qiáng)化記憶，把握特點(diǎn)

如何充分利用大腦，讓裝進(jìn)大腦的東西留下永久的記憶，需要我們學(xué)會記憶。

一般來說，人們?nèi)菀子涀∽约焊信d趣、有特點(diǎn)、易理解的東西，而對那些枯燥、抽象的東西不易記住。因此，對幾何的概念、公式要強(qiáng)化記憶、重復(fù)記憶。特別要注意幾何圖形和概念、公式的邏輯關(guān)系，不能死記硬背。

記憶忘卻是有規(guī)律的，因此要反復(fù)記憶，最好把概念、公式運(yùn)用于實(shí)例中，強(qiáng)化記憶。

三、培養(yǎng)邏輯思維和推理能力

學(xué)生在幾何證明題中常遇到以下幾個問題：心里明白，但不會書面表達(dá)；推理亂，證題過程繁瑣。究其原因，主要是對邏輯思維及推理能力的基本功訓(xùn)練較差。要提高這方面的能力，教師應(yīng)做好以下幾個方面的工作。

1.分析已知條件，通過聯(lián)想，讓學(xué)生掌握由因索果的思維方法。

題目的已知條件是完成結(jié)論的前提和基礎(chǔ)，也是由已知向結(jié)論過渡的出發(fā)點(diǎn)，“聯(lián)想”則是過渡的橋梁。經(jīng)常訓(xùn)練學(xué)生解析已知條件，聯(lián)想與其有關(guān)的定義、公理和定理，逐步引導(dǎo)學(xué)生推理論證，可有效克服證題入門難的缺陷。

如題：已知在△ABC中，O是內(nèi)心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D。求證：DB=DO=DC。

學(xué)生審題后，教師引導(dǎo)學(xué)生邊想邊議，不斷解析已知條件，再通過聯(lián)想，向求證的結(jié)論靠攏：由內(nèi)心的定義知，三角形內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)O，進(jìn)而可聯(lián)想到∠A的平分線必過點(diǎn)O，則A、O、D三點(diǎn)在一條直線上，于是∠BAD=∠DAC的結(jié)果就可根據(jù)已知條件的解析推出。

因∠A的平分線與△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，通過觀察就可想到A、B、D、C四點(diǎn)共圓，即可聯(lián)想出和圓有關(guān)的圓周角、圓心角以及這些角所對的弧、弦之間的關(guān)系定理，這樣首先可證出BD=DC。

要證DB=DO，就得找過渡條件。如設(shè)法造出一個等腰三角形，再借助三角形內(nèi)心及外接圓的關(guān)系，可以想到連接BO，于是由三角形外角定理、圓周角定理推得∠OBD=∠BOD→DB=DO，從而使原題得證。

2.從分析結(jié)論產(chǎn)生聯(lián)想，培養(yǎng)由果追因的思維方法。

通過分析結(jié)論產(chǎn)生聯(lián)想，由果索因是幾何證題中常用的另一種基本邏輯思維方法。

如題：若O是△ABC的內(nèi)心，AO的延長線交這個三角形的外接圓于D，交弦BC于點(diǎn)E，求證：AB·AC-BE·EC=AE2。

顯然，這里如果仍采用已知向結(jié)論順推， 就顯得關(guān)系較遠(yuǎn)，不易思考。如果從結(jié)論出發(fā)，通過對結(jié)論的解析，分析它是在怎樣的條件下成立的，就會讓問題變得容易。

教師可提示學(xué)生要完成一個等式的證明，通?？梢詮牡仁降囊贿呏郏ㄟ^解析向另一邊靠攏。如果從左邊入手可作如下解析：

（1）等式左邊是一個“差”，其中含有AB·AC和BE·EC兩個積。

（2）AB·AC是兩條線段的積，而積往往是比例線段的另一種表達(dá)形式，它必與另兩條線段之間有比例關(guān)系，只要通過證兩個三角形相似，即可建立一個比例式。教師在引導(dǎo)學(xué)生探求題中已知條件是否提供了△ABE∽△ADC時，就使結(jié)論與已知條件產(chǎn)生了有機(jī)的聯(lián)系，學(xué)生的思路得到打開。

（3）同理解析BE·EC。

（4）建立兩個關(guān)系式后，教師應(yīng)進(jìn)一步向?qū)W生指出，在論證過程中注意觀察原式的右邊，設(shè)法向右邊靠攏，這樣兩式相減即可推出右邊，完成結(jié)論證明。

這種分析綜合的思維方法對解決復(fù)雜題很有幫助。一方面，用綜合法探求解題途徑，用遞推的方法使之逐漸接近結(jié)論；另一方面，用分析法設(shè)法先找一個包含舊結(jié)論而又容易從已知條件推出的新結(jié)論，以代替舊結(jié)論。這樣兩頭夾攻，可逐步縮短已知和求證之間的邏輯距離。

3.教會學(xué)生用精練、簡明的書面語言敘述、表達(dá)的能力。

書面表達(dá)論證題目的過程不僅是邏輯思維條理化的過程，而且是邏輯思維能力提高的過程。幾何證題不僅要求步驟簡明、精練，還要求圖形正確、格式合理。因此，怎樣畫圖、敘述、排列格式，甚至如何用“因?yàn)椤薄八浴钡确柖紝儆谶壿嬐评淼挠?xùn)練內(nèi)容。

我從以下幾個方面對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練。

（1）嚴(yán)格要求、訓(xùn)練。從思維方法、邏輯語言、板書規(guī)范等方面給學(xué)生做出示范。

（2）從課堂問答到課外作業(yè)都要求學(xué)生做到一絲不茍。

（3）對于典型習(xí)題，要求學(xué)生先仿作，再過渡到獨(dú)立作業(yè)，發(fā)現(xiàn)問題后及時點(diǎn)撥。

（4）定期組織習(xí)題指導(dǎo)課，有計(jì)劃地進(jìn)行指導(dǎo)和訓(xùn)練。

（5）及時肯定學(xué)生有創(chuàng)見的解題方法。

4.多給學(xué)生想、練、問及討論的機(jī)會，調(diào)動學(xué)生的思維。

課堂中有意識地啟發(fā)學(xué)生多想、多練、多問，并開展多種形式的討論。特別是幾何教學(xué)中，可提出如下問題，激發(fā)學(xué)生的思考和討論。

（1）已知條件的命題有哪些？由已知條件可以聯(lián)想到哪些已學(xué)過的定理？這些聯(lián)想中哪些知識類似所求的結(jié)論？如果不能直接靠攏，可選擇怎樣的輔助線向結(jié)論靠攏？

（2）學(xué)生提出某種思路時，可設(shè)問，為什么要選擇這種方法？還有別的方法嗎？如果有，它與哪些條件有關(guān)聯(lián)？

（3）對于適宜用分析法的題，可設(shè)問，要完成這個結(jié)論的證明，必須具備什么條件？這些條件又與哪些知識有關(guān)？如何利用這些知識推出所證結(jié)論？

綜上所述，數(shù)學(xué)教學(xué)中，只要教師通過合理的訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)會思考的方法，養(yǎng)成思考的習(xí)慣，掌握思考的規(guī)律和表達(dá)技巧，就能很好地完成培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維及推理能力的任務(wù)。endprint