一類(lèi)高階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組的解法

征夏明

摘 要：在一般的微分方程理論中，對(duì)于高階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組通常情況下采取待定系數(shù)的計(jì)算方法，即取指數(shù)函數(shù)形式的試探解代入，再求解它們的系數(shù)，計(jì)算較為復(fù)雜。本文中，將從線(xiàn)性變換和其共有的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量的角度出發(fā)，用所有可能的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的共同特征向量為基底構(gòu)造待求方程組的解空間，從而給出一種常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組的代數(shù)解法，與以往的方法相比，結(jié)構(gòu)合理，并且計(jì)算較為方便。

關(guān)鍵詞：微分方程 線(xiàn)性空間 線(xiàn)性變換 特征向量

中圖分類(lèi)號(hào)：O175 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）08（c）-0249-03

Abstract： Linear differential equations system with constant coefficients is usually solved by trial solution method. In this paper， with linear transform technique， an algebraic method of one kind of ODE systems is given.

Key Words： Differential equation；Linear space；Linear transform；Eigenvector

我們來(lái)討論形如，這樣s個(gè)方程構(gòu)成的方程組。其可寫(xiě)成矩陣形式：

（1）

通常，人們尋找形如的s個(gè)未知函數(shù)，代入后求解。我們將采用另一種方法，在這之前，先給出關(guān)于方程（1）的一些性質(zhì)。

1 性質(zhì)

（2）

式（2）稱(chēng)作（1）的齊次導(dǎo)出組。若x（t）是（2）的通解，u（t）是（1）的一個(gè)特解，則x（t）+u（t）是方程（1）的通解。

我們先考慮方程組解的存在性和唯一性，這利用壓縮映射原理可以證明結(jié)論i。

再分析齊次方程（2）解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，n階s元線(xiàn)性微分方程組有n×s個(gè)積分常數(shù)，解空間由n×s個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解構(gòu)成。我們要求，方程中任意的，都滿(mǎn)足對(duì)易式?？梢宰C明方程中的系數(shù)矩陣都具有一組共有的特征向量。

證明：n=1時(shí)，，取的一組特征向量作為基底，時(shí)。矩陣乘法，得，如果沒(méi)有簡(jiǎn)并，只要，，，也是對(duì)角矩陣，也是的一組特征向量。如果有簡(jiǎn)并，也就是存在一些特征值，與幾個(gè)不同的特征向量對(duì)應(yīng)，對(duì)每一個(gè)屬于同一特征值的特征向量而言，對(duì)應(yīng)的矩陣元一般不等于零。把屬于同一特征值的幾個(gè)特征向量進(jìn)行各種線(xiàn)性組合的結(jié)果仍是該特征值的一組特征向量；從中總可以找出一組線(xiàn)性組合使對(duì)應(yīng)的各個(gè)非對(duì)角矩陣元都等于零。由此可見(jiàn)，這樣的情況下還是可以求得一套特征向量是，的共同特征向量。一個(gè)構(gòu)造性的方法如下：定義集合是矩陣所在線(xiàn)性空間V的各個(gè)子空間，其維數(shù)，特征向量構(gòu)成的向量組。在這樣的基底中，相同特征值出現(xiàn)的次數(shù)就是重根的重?cái)?shù)。。能夠看出，此時(shí)矩陣是按對(duì)角分塊的，只要將每個(gè)分塊矩陣全部化為對(duì)角形式，最后也變成了對(duì)角矩陣。用同樣的方法，將求出的一組共有特征向量進(jìn)行線(xiàn)性組合，使之也是的一組特征向量。以此類(lèi)推，最后求得的一組共有特征向量。進(jìn)行這樣的步驟，等價(jià)于將同時(shí)化為對(duì)角矩陣。

方程組中除了矩陣變換還有從0至n的各階導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是線(xiàn)性運(yùn)算，并且各階導(dǎo)數(shù)間的乘積運(yùn)算當(dāng)然是對(duì)易的，。因此集合中任意兩個(gè)運(yùn)算都是對(duì)易的。則利用上面得到的共有特征向量也可以構(gòu)造出一組，的共有特征向量（構(gòu)造方法將在第3部分給出）。

我們將方程組（2）改寫(xiě)成，

， 。假設(shè)存在，的共有特征向量順序與相對(duì)應(yīng)。此時(shí)的作用相當(dāng)于一個(gè)常數(shù)的乘積。每一個(gè)確定的j可以解出共n個(gè)根， （3）。因此有n×s個(gè)，n×s個(gè)，共有的特征向量來(lái)構(gòu)成方程（2）的通解。

用另一種方法表示上述關(guān)系，將全部同時(shí)對(duì)角化得即此時(shí)的是共有的特征向量，也是對(duì)角矩陣所在線(xiàn)性空間的基底。將看作基變換后的坐標(biāo)，方程組（2）可寫(xiě)成：

再進(jìn)行一次基變換，使也變換為對(duì)角的線(xiàn)性變換。，容易看出對(duì)于第j列一組確定的有n個(gè)根，得到s個(gè)方程本質(zhì)和（3）式一樣。

2 算法

我們給出方程組（1）的解法。

（1）找到的s個(gè)共有特征向量，即將同時(shí)對(duì)角化，這時(shí)存在有無(wú)簡(jiǎn)并兩種情況，即矩陣的特征方程是否存在重根，I是單位矩陣。無(wú)簡(jiǎn)并時(shí)，一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量，共s個(gè)；有簡(jiǎn)并時(shí)，每個(gè)重根對(duì)應(yīng)的若干線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，根據(jù)譜定理，如果可以對(duì)角化則依然存在s個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，是所有重根對(duì)應(yīng)的各特征向量。于是得到一組的共有特征向量。

（2）求解s個(gè)n次1元代數(shù)方程。此時(shí)也存在k有無(wú)重根的情況，若沒(méi)有重根，令；若是m重根，則令。這樣得到了n×s個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量。

（3）的線(xiàn)性組合就是齊次方程（2）的通解，是所選數(shù)域F中的n×s個(gè)任意常數(shù)。

（4）求（1）的一個(gè)特解，用常數(shù)變易法，取其第p個(gè)分量是的第k個(gè)分量。方程（1）可以寫(xiě)成張量方程代入得，求出帶回u即得（1）的一個(gè)特解，實(shí)際計(jì)算中通常無(wú)法求出。

（5）令就是方程組（1）的通解。

值得一提的是，當(dāng)s=1時(shí)方程（1）退化為：，是眾所周知的n階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程。

3 例

求解。

解：寫(xiě)成矩陣形式為：

的特征方程是

代入后知，解方程

得。

所以方程的通解是：

事實(shí)上，這就是兩個(gè)全同固有頻率為ω0的一維系統(tǒng)以-αxy耦合的運(yùn)動(dòng)方程。

參考文獻(xiàn)

[1] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[2] Birkhoff， Garret， and Gian-Carlo Rota. Ordinary Differential Equations. 4th ed[M]. New York， NY： Wiley， 1989.

[3] Strang， Gilbert. Introduction to Linear Algebra. 4th ed[M]. Wellesley， MA： Wellesley-Cambridge Press， February 2009.

[4] Liboff， Richard L. Introductory Quantum Mechanics[M]. Addison Wesley， 2002.

[5] 張恭慶.泛函分析講義（上冊(cè)）[M].北京：北京大學(xué)出版社， 2001，12（1）.

[6] （俄羅斯）朗道，（俄羅斯）栗弗席茲，李俊鋒，鞠國(guó)興譯校.力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007（4）.

[7] 張立全.用壓縮映射原理證明常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組解的存在性與唯一性定理[J].武漢教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1997，16（3）.

[8] （俄羅斯）朗道，（俄羅斯）栗弗席茲，嚴(yán)肅譯.量子力學(xué)：非相對(duì)論理論[M].北京：高等教育出版社，2008（10）.endprint