調(diào)和p方凸函數(shù)與調(diào)和p次冪s-凸函數(shù)的定義及其判別法

沈 君

(海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 海南 ?？?571158)

調(diào)和p方凸函數(shù)與調(diào)和p次冪s-凸函數(shù)的定義及其判別法

沈 君

(海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 海南 海口 571158)

給出了調(diào)和p方凸函數(shù)與調(diào)和p次冪s-凸函數(shù)的定義以及判定方法，建立了調(diào)和p方凸函數(shù)與調(diào)和p次冪s-凸函數(shù)的Jensen不等式

凸函數(shù)； 調(diào)和p方凸函數(shù)； 調(diào)和p次冪s-凸函數(shù)； Jensen不等式

凸函數(shù)是一類應(yīng)用比較廣的函數(shù)，特別在數(shù)學(xué)規(guī)劃和不等式的研究中發(fā)揮著重要的作用.近年來,研究者們開始研究由凸函數(shù)延伸出來的函數(shù)類,例如:幾何凸函數(shù)[1]、平方凸函數(shù)[2]、r-平均凸函數(shù)[3]、調(diào)和凸函數(shù)[4]和r次冪平均s-凸函數(shù)[5]等,給出了其延伸函數(shù)類的概念、判定定理及其應(yīng)用.

f(λx1+(1-λ)x2)≤λsf(x1)+(1-λ)sf(x2),

則稱f(x)是I上的調(diào)和凸函數(shù);如果不等號方向相反,則稱f(x)是I上的調(diào)和凹函數(shù).

1 調(diào)和p方凸函數(shù)定義及其判定定理

s-凸函數(shù)和調(diào)和凸函數(shù)的研究已經(jīng)比較深入,特別是對Jensen不等式的研究取得了很多成果[1-7],得到了一些很有意義的結(jié)論.受此啟發(fā),筆者把調(diào)和凸函數(shù)定義中的-1次冪推廣到-p次冪,提出了調(diào)和p方凸函數(shù),又結(jié)合s-凸函數(shù)與調(diào)和p方凸函數(shù)，提出了調(diào)p和次冪s-凸函數(shù),研究了2類凸函數(shù)類的判別法和Jensen不等式,得到一些結(jié)論,豐富了凸分析的內(nèi)容.

則稱f(x)是區(qū)間I上的調(diào)和p方凸(凹)函數(shù).

顯然,當p=1時,調(diào)和p方凸函數(shù)就是調(diào)和凸函數(shù).

定理1 設(shè)f(x)是定義在[a,b]?(0,+∞)上的正值函數(shù),f(x)為[a,b]上調(diào)和p方凸(凹)函數(shù)的充要條件為g(x)=[f(x-1/p)]-p是[b-p,a-p]上的凹(凸)函數(shù).

即證明了f(x)為[a,b]上調(diào)和p方凸函數(shù).

即證明了g(x)是[b-p,a-p]上的凹函數(shù).

證畢.

定理2 設(shè)f(x)是定義在I?(0,+∞)上的二階可導(dǎo)的正值函數(shù)，則f(x)是I上調(diào)和p方凸(凹)函數(shù)的充分必要條件是

(p+1)x(f′(x))2-xf(x)f″(x)-(p+1)f(x)f′(x)≤0(≥0).

證明必要性 若是區(qū)間I上調(diào)和p方凸函數(shù)，由定理1知，g(x)=[f(x-1/p)]-p是I上的凹函數(shù)，即

整理上式，并把上式中x-1/p用x代替，得

.

(p+1)x(f′(x))2-xf(x)f″(x)-(p+1)f(x)f′(x)≤0.

充分性 將必要性證明過程逆推即得充分性的證明過程.

證畢.

2 調(diào)和p次冪s-凸函數(shù)的定義及其判別定理

則稱f(x)是區(qū)間I上的調(diào)p和次冪s-凸(凹)函數(shù).

從而證明了f(x)是區(qū)間I上的調(diào)和p次冪s-凸函數(shù).

因此g(x)為I-p上的s-凹函數(shù).

證畢.

(x3-x2)s(f(x1))-p-(x3-x1)s(f(x2))-p+(x2-x1)s(f(x3))-p≥0(≤0) .

把λ代入上式,整理即可得.

(x3-x2)s(f(x1))-p-(x3-x1)s(f(x2))-p+(x2-x1)s(f(x3))-p≥0 .

充分性 上述證明過程逆推即可得充分性成立.

證畢.

(p+1)x(f′(x))2-xf(x)f″(x)-(p+1)f(x)f′(x)≥0

成立,則f(x)是區(qū)間I上的調(diào)和p次冪s-凹函數(shù).

t(f(x1))-p≤ts(f(x1))-p,(1-t)(f(x2))-p≤(1-t)s(f(x2))-p

成立，從而

(t(f(x1))-p+(1-t)(f(x2))-p)-1/p≥[ts(f(x1))-p+(1-t)s(f(x2))-p]-1/p，

由已知條件知f(x)是I上的調(diào)和p方凹函數(shù)，即有

即證明了f(x)是區(qū)間I上的調(diào)和p次冪s-凹函數(shù).

同理可證，若f(x)是區(qū)間I上的調(diào)和p次冪s-凸函數(shù),則f(x)是區(qū)間I上的調(diào)和p方凸函數(shù).

3 調(diào)和p方凸函數(shù)的Jensen不等式

建立了調(diào)和p方凸(凹)函數(shù)的離散型和積分型Jensen不等式.

證明只證f(x)是調(diào)和p方凸函數(shù)的情況，當f(x)是調(diào)和p方凹函數(shù)時同理得證.

令g(x)=[f(x-1/p)]-p,由定理1知g(x)為[b-p,a-p]上的凹函數(shù),利用凹函數(shù)的Jensen不等式,得

代換，即得結(jié)果

定理6中Jensen不等式還有另一種一般加權(quán)形式的表示.

推論1′ (積分型Jensen不等式的一般加權(quán)形式) 設(shè)φ(x),w(x)是區(qū)間[a,b]上的正值連續(xù)函數(shù),f(x)是φ([a,b])上連續(xù)、正值的調(diào)和p方凸(凹)函數(shù),則

證明參照文獻[7-8],利用定積分的定義即可證明推論1′.

推論2′ (積分型Jensen不等式) 設(shè)φ(x)是定義在[a,b]?(0,+∞)上的正值連續(xù)函數(shù)，f(x)是φ([a,b])上正值、連續(xù)的調(diào)和p方凸函數(shù)，則

證明在推論1′中令p(x)=1即得證.

4 調(diào)和p次冪s-凸函數(shù)Jensen型不等式

證明用數(shù)學(xué)歸納法可得證明.

5 小 結(jié)

給出了調(diào)和p方凸(凹)函數(shù)與調(diào)和p次冪s-凸(凹)函數(shù)的定義及其判定定理,建立了調(diào)和p方凸函數(shù)的離散型和積分型的Jensen不等式,建立了調(diào)和p次冪s-凸(凹)函數(shù)的離散型Jensen不等式,豐富了凸分析的內(nèi)容.

[1] 張小明.幾何凸函數(shù)的幾個定理及其應(yīng)用[J].首都師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2004,25(2):11-13.

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[3] 施未來,時統(tǒng)業(yè),陸敏.與P方凸函數(shù)有關(guān)的單調(diào)函數(shù)[J].江蘇教育學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2010,27(5):29-30.

[4] 吳善和.調(diào)和凸函數(shù)與琴生不等式[J].四川師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2004，27(4):382-386.

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Abstract：In the report, the harmonic powerp-convex functions and the harmonicp-th powers-convex functions were proposed, and the Jensen inequalities for the harmonic powerp-convex functions and the harmonicp-th powers-convex functions were established.

Keywords：convex function; harmonic powerp-convex function; harmonicp-th powers-convex function; Jensen inequality

HarmonicPowerp-ConvexFunctionandHarmonicp-thPowerMeans-ConvexFunctionandItsCriterions

Shen Jun

(School of Mathematics and Statistics, Hainan Normal University, Haikou 571158, China)

O 17

A DOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2017.0033

2017-04-05

海南省自然科學(xué)基金(117123)

沈君(1979-)，女，河北保定人，副教授，碩士，研究方向：不確定信息處理、高等數(shù)學(xué)，E-mail:407519785@qq.com

1004-1729(2017)03-0201-04