圓都去哪兒了
——巧找隱圓解決線段范圍問題

江蘇省常州市田家炳高級(jí)中學(xué) 徐 穎 (郵編:213000)

解 題方 法

圓都去哪兒了
——巧找隱圓解決線段范圍問題

江蘇省常州市田家炳高級(jí)中學(xué) 徐 穎 (郵編:213000)

縱觀近幾年的高考,對(duì)軌跡問題的考查基本分兩類:一類是“顯性”的[1],即常見的求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問題,其實(shí)質(zhì)就是用“坐標(biāo)化”將條件轉(zhuǎn)化為變量間的數(shù)量關(guān)系,如2010年江蘇卷第18題．這類問題除了考查學(xué)生對(duì)常見曲線的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握外,還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力與運(yùn)算能力;另一類是“隱性”的[1],即無(wú)明確的求軌跡任務(wù),但軌跡卻實(shí)實(shí)在在地存在,或者說(shuō)它更強(qiáng)調(diào)的是一種“軌跡意識(shí)”,而這方面思想與意識(shí)的缺失,往往直接導(dǎo)致問題難于解決或無(wú)法解決．如2008年江蘇卷第13題,2009年江蘇卷第18題,2010年江蘇卷第9題,2013年江蘇卷第17題,2016年江蘇卷第18題等．學(xué)生不容易把握解題方向,望而卻步,導(dǎo)致丟分嚴(yán)重．

近年來(lái),幾何最值問題在高考中頻繁出現(xiàn),形式多樣,其中線段的最值問題比較受青睞．這類線段大致具有如下特點(diǎn):兩個(gè)端點(diǎn)一定一動(dòng);兩個(gè)端點(diǎn)都在動(dòng)．動(dòng)態(tài)背景下,求線段范圍問題有難度,追蹤相關(guān)動(dòng)點(diǎn)的生成過程,研究其運(yùn)動(dòng)軌跡,就能順利解決問題．本文我們針對(duì)具體題目,探究隱圓在解決線段范圍問題中的運(yùn)用．

1 圓的定義

例1已知F1、F2是雙曲線x2－y2＝4的兩個(gè)焦點(diǎn),Q為雙曲線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)F1作∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為P,若M(－3,－4),求線段PM的取值范圍．

圖1

解如圖1,設(shè)QF1＝m,QF2＝n,延長(zhǎng)F1P、QF2交于S,由于 ∠1＝∠2,PQ⊥F1S,所以QF1＝QS,根據(jù)雙曲線的定義可得F2S＝QSQF2＝QF1－QF2＝m－n＝4．

又O、P分別為F1F2、F1S的中點(diǎn),所以O(shè)P是△F1F2S的中位線,OP＝2．

故點(diǎn)P的軌跡方程是x2＋y2＝4．

又M(－3,－4)在圓外,故PMmax＝OM＋r＝7,PMmin＝OM－r＝3．

故PM∈[3,7]．

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)A、B、P是橢圓上的三個(gè)點(diǎn),且0,動(dòng)點(diǎn)Q在線段AB上,且求的取值范圍．

解以O(shè)為極點(diǎn),Ox軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

圖2

即A(－nsinα,ncosα)．

評(píng)析本題P、Q均為動(dòng)點(diǎn),而已知點(diǎn)P在定曲線橢圓上,因此首要任務(wù)是找到點(diǎn)Q的軌跡,而動(dòng)點(diǎn)Q(x,y)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到,故考慮將x、y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)來(lái)表示,消去參數(shù)得軌跡方程．選用什么變量為參數(shù)尤為重要,要看動(dòng)點(diǎn)隨什么量的變化而變化,常見的參數(shù)有:斜率、截距、定比、角、點(diǎn)的坐標(biāo)等．本題可以設(shè)OA或者AB的斜率,但是計(jì)算相對(duì)繁瑣．本題中OA、OB都是從原點(diǎn)出發(fā)的線段,雖然長(zhǎng)度不等,但是有方向上的垂直關(guān)系,而解析幾何的核心是“坐標(biāo)法”,于是不妨設(shè)成極坐標(biāo)系來(lái)解決．例1、例2都是根據(jù)題中的幾何條件得出一個(gè)長(zhǎng)度確定的線段,從而聯(lián)想到圓的定義,這是一個(gè)從“形”到“形”的過程．

2 圓周角的性質(zhì)

例3實(shí)數(shù)a、b、c滿足3a＋4b＋c＝0,過點(diǎn)P(－3,2)作直線l:ax＋by＋c＝0的垂線,垂足為M,點(diǎn)N(8,－3),求線段MN長(zhǎng)度的取值范圍．

解由題意3a＋4b＋c＝0得c＝－3a－4b,代入直線方程得ax＋by－3a－4b＝0,即a(x－3)＋b(y－4)＝0,直線恒過點(diǎn)Q(3,4)．又PM⊥l,即PM⊥MQ,故點(diǎn)M的軌跡是以PQ為直徑的圓,方程是x2＋(y－3)2＝40．圓心R(0,3),點(diǎn)N在圓R外．

評(píng)析首先根據(jù)a、b、c的關(guān)系得到直線過定點(diǎn),根據(jù)兩直線垂直關(guān)系得到交點(diǎn)的軌跡是圓,問題就解決了．圓周角有豐富的幾何性質(zhì),如同弧所對(duì)的圓周角相等;直徑所對(duì)的圓周角為直角;圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)等．聯(lián)想到這些性質(zhì),便于挖掘出隱圓,快速解題．

3 動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離有數(shù)量關(guān)系

圖3

例4(南通,泰州2017屆調(diào)研卷1)在平面直角坐標(biāo)系中,已知B、C為圓x2＋y2＝4上兩點(diǎn),且A(1,1),AB⊥AC,求線段BC長(zhǎng)度的取值范圍．

解取BC的中點(diǎn)M,連 結(jié) OM、AM、OB．由 于AB⊥AC,故AM＝BM．

在Rt△BMO中,OB2＝OM2＋BM2＝OM2＋AM2＝4．

設(shè)M(x,y),故x2＋y2＋ (x－1)2＋(y－1)2＝4即

評(píng)析例4中B、C均為動(dòng)點(diǎn),直接下手求長(zhǎng)度范圍很困難．又發(fā)現(xiàn)BC為已知圓的弦,故考慮從弦長(zhǎng)公式下手,找到弦BC的中點(diǎn)M,根據(jù)直角三角形的性質(zhì),將BC轉(zhuǎn)化為2AM,而點(diǎn)M到兩定點(diǎn)O、A的距離的平方和為常數(shù),最終確定軌跡是圓Q,于是本題轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)A到圓Q上任一點(diǎn)距離的最值．另外,我們還需要關(guān)注:①到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方差為定值的點(diǎn)的軌跡是直線;②到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)(不等于0和1)的點(diǎn)的軌跡是圓．

4 主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)

例5(2017屆高三揚(yáng)州期末)

已知△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,點(diǎn)P是以點(diǎn)A為圓心的單位圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q滿足,求的最小值．

解以A為原點(diǎn),AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則設(shè)Q(x,y)、P(a,b),由得

兩式平方并相加得

評(píng)析相關(guān)點(diǎn)法也稱“代入法”,如果軌跡動(dòng)點(diǎn)Q(x,y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)P(a,b),而P又按某個(gè)規(guī)律運(yùn)動(dòng),則可先用x、y表示a、b,再把a(bǔ)、b代入它滿足的條件便得到x、y的關(guān)系,即得到了動(dòng)點(diǎn)Q(x,y)的軌跡方程．本題求線段BQ的最小值,其中B是定點(diǎn),Q隨著P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),通過建系,運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法即可求出Q的軌跡,接下來(lái)問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)距離的最小值．

5 無(wú)理方程

例6已知實(shí)數(shù)x、y滿足x－ x＋1＝y(tǒng)＋3－y,求x＋y的最大值．

解設(shè) x＋1＝a,y＋3＝b,則

原式化簡(jiǎn)為a2－1－a＝b－b2＋3,即問題轉(zhuǎn)化成求x＋y＝a2－1＋b2－3＝a2＋b2－4的范圍．a(chǎn)2＋b2－4表示上述圓上任一點(diǎn)(a,b)與原點(diǎn)距離的平方減去4,(x＋y)max＝(OQ＋r)2－4＝4．

評(píng)析例6是典型的代數(shù)問題,一個(gè)帶根式的二元一次方程無(wú)法解出x、y,但是通過根式換元,對(duì)條件進(jìn)行變形和整理,轉(zhuǎn)化為幾何問題,實(shí)在是巧妙．

以上幾個(gè)例子我們充分挖掘了問題中的隱圓．在平面解析幾何中,很多題目中對(duì)動(dòng)點(diǎn)的軌跡往往只字不提,甚至連“動(dòng)點(diǎn)”這樣的關(guān)鍵詞都不出現(xiàn),而只是提供一些“安靜”的點(diǎn)、位置、距離或者數(shù)量關(guān)系,而在這“安靜”的表象背后卻隱藏著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化,我們?nèi)裟芑半[性”為“顯性”,就找到了此類問題的核心所在!其實(shí)不僅圓有“隱性”軌跡,其他圓錐曲線也有類似問題．在平時(shí)的教學(xué)中,如何突出重視“軌跡思想”“軌跡意識(shí)”的培養(yǎng)與訓(xùn)練,以提升學(xué)生解決問題的能力,這才是最根本的．

1 童其林．隱性軌跡問題[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué),2010(8):24-26

2017-06-26)