從一道復(fù)數(shù)試題說開去

廣東省佛山市南海中學(xué) 周鴻高 (郵編:528211)

從一道復(fù)數(shù)試題說開去

廣東省佛山市南海中學(xué) 周鴻高 (郵編:528211)

1 試題重現(xiàn)

我校2018屆高二下學(xué)期中段考試?yán)頂?shù)命制了這樣一道復(fù)數(shù)試題:

題13已知z－|z|＝－1＋i,則復(fù)數(shù)z＝________________．

本題是一道基礎(chǔ)題,主要考查復(fù)數(shù)及其模的概念、復(fù)數(shù)相等的條件以及復(fù)數(shù)的運算．其正確的解答為:設(shè)z＝a＋bi(a、b∈R),則|z|＝,代入整理得＋i,所以解得a＝0,b＝1,所以z＝i．即填i．

從解答過程可以看出,運算簡單,試題基礎(chǔ),是一道送分題,命題者預(yù)設(shè)得分率將會高達0．95以上．但考試結(jié)果卻讓我們大跌眼鏡．筆者教學(xué)兩個班級,一個班額58人,是年級理科平行班;一個班額44人,是年級理科重點班;兩個班級共計102名考生參加本次考試,本題答題情況與得分情況如下:

班別考生數(shù)______________________________答 題_情_況i－1 2＋1 2 i空白1＋i 其他平均得分(本題5分)得分率220班 5814 25 6 4 9 1．210．24 221班 4415 21 2 1 5 1．700．34合計__102_29________46__________________________________85_141．420．28

筆者所教的兩個班級,本題合計平均得分僅為1．42分,得分率低至0．28,與送分題的定位形成巨大的反差．更不可思議的是,多達46人填寫了錯誤答案我們幾個老師竟然不知道是怎么得到的．后來請教了一名填寫這個錯誤答案的考生,她是這樣解答的:

設(shè)z＝a＋bi(a、b∈R),則|z|＝|a|＋|b|i,代入整理得a－|a|＋(b－|b|)i＝－1＋i,所以解得,所以z故填

當(dāng)學(xué)生寫完這個錯誤的解答過程后,筆者愈發(fā)百思不得其解:為什么學(xué)生會認為|z|＝|a|＋|b|i,筆者清楚地知道,在整個復(fù)數(shù)的教學(xué)過程中,從來沒有出現(xiàn)過這樣的表示．不管是課本里,還是課堂上,都清晰地描述:|z|＝,稱為復(fù)數(shù)的模．當(dāng)筆者問這個學(xué)生為什么會認為|z|＝|a|＋|b|i時,她的回答是:不知道哦,z 不是表示絕對值嗎?

絕對值?!不就有|z|＝z或－z嗎?本題只能|z|＝－z,于是就有z－|z|＝2z＝－1＋i,所以故填

這應(yīng)該是錯誤答案的正確解答過程．筆者原來還以為正確答案是i,過于簡單,考生不相信,所以另外計算出復(fù)雜的答案,以保證正確率．但就是想不出如何計算出的錯誤結(jié)果．而上述的解答過程讓筆者的想法再次反轉(zhuǎn):考生根本就沒算出答案i,或者是怕代入計算麻煩,或者是根本就沒想起復(fù)數(shù)的模,而是絕對值,如此處理更加簡捷,答案又不奇葩．這從還有27人填寫其他的答題情況可以看出,應(yīng)該有些考生在處理的計算時出現(xiàn)錯誤．

2 考后反思

每次測試過后,老師和學(xué)生都會進行考后反思,主要做兩樣事情:一是分析結(jié)果的成因,二是提出改進的設(shè)想．

2．1 這是誰的錯?

如此一道送分題,結(jié)果與預(yù)設(shè)背道而馳,其成因值得深思．筆者回憶復(fù)數(shù)的整個教學(xué)過程,清晰地描述過復(fù)數(shù)的模的涵義與符號記法,并就教材習(xí)題進行了練習(xí)．本題結(jié)合復(fù)數(shù)的加減運算與復(fù)數(shù)相等命制試題,筆者在教學(xué)復(fù)數(shù)運算的時候,因為課時緊張,只解決教材上的習(xí)題．而教材習(xí)題沒有涉及復(fù)數(shù)的模與運算結(jié)合,所以考試之前沒有做過類似的習(xí)題．這樣看來,是否可以歸結(jié)為老師的疏忽造成的后果,這是老師的錯．如果能及時進行相關(guān)練習(xí),就能避免錯誤的產(chǎn)生．事實未盡是如此．可以看看本次測試的第1題及其答題情況:

題1復(fù)數(shù)的虛部是( )

班別 考生數(shù)___________________________________答題情況__________________________________________________________A_BC__D得分率220班 58 14 38 1 5 0．65 221班 44 6 37 0 1 0．84__合計______102______20_________________________________75_1_6_0．73

本題的答題情況同樣讓人吃驚．筆者在整個復(fù)數(shù)教學(xué)過程,每節(jié)課都特意說明復(fù)數(shù)的實部和虛部,介紹復(fù)數(shù)的概念時,更是通過好多個實例讓學(xué)生說出實部與虛部．如此的重復(fù)強調(diào),依舊結(jié)果慘烈．這樣看來,是否可以歸結(jié)為學(xué)生的心不在焉、不落實造成的后果,這是學(xué)生的問題．筆者再次到位詢問學(xué)生,是什么原因?qū)е逻x擇錯誤答案?一部分學(xué)生的回答是:計算出后,看到A選項有就選了,沒留意到是否有i,以為是數(shù)字的區(qū)別．同樣的心思可以在本次測試的第9題及其答題情況再次佐證:

題9設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),在(0,＋∞)上有xf′(x)＋f(x)＞0,且f(2)＝0,則不等式xf(x)＜0的解集為( )

A．(0,2) B．(－∞,－2)∪(0,2)

C．(－2,0)∪(0,2) D．(－∞,－2)∪(2,＋∞)

班別 考生數(shù)___________________________________答題情況__________________________________________________________A_BC__D得分率220班 58 0 28 18 12 0．32 221班 44 0 14 28 2 0．64__合計______102________0__________________________________42_46_14_0．45

考試之前,筆者評講了周測上這樣的一道試題:

練習(xí)12設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),在 (0,＋∞)上有xf′(x)＋f(x)＞0且f(－2)＝0,則不等式f(x)＞0的解集為( )

A．(0,2) B．(－∞,－2)∪(0,2)

C．(－2,0)∪ (0,2) D．(－2,0)∪ (2,＋∞)

結(jié)果考生在考試時一看到上面試題,根本沒有推理運算,就直接選B或D答案(選B是因為結(jié)構(gòu)類似,選D是因為位置相同)．這樣看來,是否可以歸結(jié)為試題的類似給考生投機取巧的機會造成的后果,是命題者的故意為之,是試題的錯．我們可能會因此責(zé)怪學(xué)生,學(xué)得太死了．那是從測試結(jié)果不理想得到的結(jié)論．如果因此而很多考生選擇正確答案(比如試題命制成正確答案為B選項的形式),我們可能就認為學(xué)生學(xué)會了,或者有較高的考試技巧．

通過上面分析,考生之所以解答本道試題極不理想,其本質(zhì)原因在于對符號 z 沒有正確理解．因為不理解,所以沒練過就無法做對;因為不理解,所以即使有印象也想不起來;因為不理解,所以如果有練過,類似題會做,稍微變化一樣做錯．

2．2 改進的做法．

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是需要做題的,并且做題需要有數(shù)量和時間保證的．?dāng)?shù)量保證不是說題量越多越好,而是題型要全面,涉及的知識點、考點要到位,不能只是簡單的重復(fù)．用于練習(xí)鞏固的習(xí)題可以通過變式以題組的形式布置給學(xué)生,引導(dǎo)學(xué)生理解相關(guān)考點如何以試題的形式呈現(xiàn),逐漸學(xué)會正確分析理解題意,及時找到正確的解題思路與方法,才能有效提高解題的正確率．時間保證不是說必須投入很多的時間在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上,現(xiàn)實是不可能做到的．學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)繁重,除了數(shù)學(xué)還有其他學(xué)科,而時間是有限的,如果在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上花更多的時間,勢必減少其他學(xué)科的學(xué)習(xí)時間,影響其他學(xué)科的成績．時間保證是指如何在有限的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時間內(nèi),保證學(xué)習(xí)的有效性．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是需要大量思維活動的,所謂“消耗大量的腦細胞”．這就需要學(xué)生首先安排一個自我精神狀態(tài)最好的時間段用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),一般位于整個學(xué)習(xí)時間的前半段為宜．其次在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時間里,要讓腦子動起來,勤思考、多運算,不要一碰到不會的就問老師、就看答案、就放棄,經(jīng)過自己努力把題目解答出來,可以快速的提高自己的解題能力,這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義．

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是需要考試的,考試的主要功能就是檢驗學(xué)習(xí)的效果．為了讓考試能夠更好的檢驗出真實的學(xué)習(xí)效果,必須提高命制試題的質(zhì)量．比如考點的覆蓋要全面,考查范疇的分布要均勻、比例適當(dāng),還有試題的放置心中有數(shù)、難易適合．如上述討論的這道復(fù)數(shù)題,放置于填空題的第一題,定位為基礎(chǔ)題、容易題,從命題者的角度看,是適當(dāng)?shù)模缓罂荚嚽闆r讓人大跌眼鏡,容易題竟成了難題．再次閱讀本道試題,似乎有值得商榷的細節(jié):z是復(fù)數(shù),是在后面才出現(xiàn),也許學(xué)生看到z－|z|,理所當(dāng)然就得到z－|z|＝z－(－z)＝2z,錯誤不自覺產(chǎn)生而無察覺．如果改為:已知z是復(fù)數(shù),滿足z－|z|＝－1＋i,則z＝______．是否情況會好一些呢?一份高質(zhì)量的試題,需要千錘百煉,是提高檢驗信度的有效做法．

3 思過遐想

一道定位容易的試題考成了一道難題,毫無疑問這是一次“教學(xué)事故”．但是“事故”的程度有多大?“事故”對我們的教育教學(xué)有何反思與啟發(fā)呢?筆者遐想了一番,向同行們賜教．

3．1 不著急

教育與學(xué)習(xí)是急不來的．本次測試之所以考生會在“陰溝里翻船”,除了主觀因素之外,筆者認為時間倉促是重要的客觀因素．考試之前僅用四個課時完成復(fù)數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí),沒有練習(xí)、消化、鞏固的過程．而復(fù)數(shù)雖說是實數(shù)的擴充,相關(guān)知識與實數(shù)大同小異,卻有不少知識似是而非．對這些不同的接受需要改變固有的認知,才能理解到位,是需要時間的,是需要通過錯誤來進行警醒的．教育也是一樣．我們都清楚的知道,很多學(xué)生的學(xué)習(xí)不理想,大都是源于不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣．老師們也費了很大力氣、花了很多時間試圖改善他們的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣,可是往往收效甚微,搞得一些老師心急如焚,感嘆“怎么就不開竅呢?”“冰凍三尺非一日之寒”,如果說教育是個改善不良習(xí)慣的過程,那教育必須得慢下來,教育工作是需要耐心的．

3．2 要磨煉

學(xué)習(xí)是需要過程的,這個過程是用來磨煉的,不是用來等待的．本次測試還有一道試題讓筆者印象深刻:

題22已知函數(shù)R)在x＝1處的切線方程為(b∈R)．

(1)求a、b的值;

略解(1)a＝b＝－1;

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題具有題型多樣,綜合性強,解題沒有套路等特點,常常被命制成壓軸題．能把這種試題做好的考生都是數(shù)學(xué)尖子生,并且需要在平時堅持做題．筆者意識到這一點,有針對性地灌輸了一些解題意識,并時常布置一些習(xí)題給學(xué)生見識、嘗試解答．本次測試之前,筆者剛好布置了如下一道練習(xí):

練習(xí)設(shè)函數(shù),曲線y＝f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2．

(1)求a、b的值;

(2)證明:f(x)＞1．

略解(1)a＝1,b＝2;

可以發(fā)現(xiàn),兩道題是一模一樣的,筆者所選的練習(xí)題出自2014年新課標(biāo)全國卷I理21題．照理,如此的“猜題成功”(測試題不是筆者命制,筆者也不知題)應(yīng)該可以讓考生在壓軸題上“威武一番”吧,事實卻是“濤聲依舊”．本題筆者所教的重點班平均分僅為2．3分,沒有考生能夠解答出全題．這說明即使我們給時間給練習(xí),也未必能達到應(yīng)有的效果．學(xué)習(xí)是需要磨煉的．教育也如此,我們的苦口婆心收效甚微,我們的耐心極限逐漸趨近．因為學(xué)生沒有碰到挫折,沒有經(jīng)歷深刻的觸動內(nèi)心的教訓(xùn),所以他們不改無所謂．所謂沒磨煉,不成材,由此可見一斑．

3．3 路漫漫

給予時間,經(jīng)歷磨煉,就能學(xué)得好、考得好、做得好嗎?仍然未必．立體幾何題學(xué)習(xí)了向量法后有著固定的解題套路,成了考試的穩(wěn)定得分點．為了讓學(xué)生保持做題的感覺,平時的持續(xù)性練習(xí)是老師的“慣用伎倆”,且練習(xí)不會是單純的重復(fù),會有各種刁鉆冷僻的命制點出現(xiàn),讓學(xué)生經(jīng)歷磨煉,以達到確實掌握的目的．也許命題者深知老師們平時的套路,或許想檢驗同學(xué)們的磨題效果如何,本次測試的立體幾何題顯然是花了心思命制的:

題20在右圖所示的六面體中,面ABCD是邊長為2的正方形,面ABEF是直角梯形,∠FAB＝90°,AF//BE,BE＝2AF＝4．

(1)求證:AC//平面DEF;

(2)若二面角E－ABD為60°,求直線CE和平面DEF所成角的正弦值．

這樣的一道試題,考試結(jié)果不理想是可以預(yù)知的,但整個年級平均分僅為2．9分,就大出乎意外了．說明即使給予了時間,經(jīng)歷了磨煉還是不夠的,還要有持續(xù)性．教育也一樣,“吃一塹長一智”對部分人而言也只是暫時的,他們可能是“吃一塹暫時長一智”或者“吃幾塹才長一智”．如此看來,教育與學(xué)習(xí)是沒有休止符的,即使是對舊的知識,已有的本領(lǐng),已經(jīng)改掉的毛病,都可能會遺忘,會生疏,會重犯．這是一條漫長的路,路漫漫,需要大家齊心協(xié)力,共同奮斗．

2017-06-26)