增進(jìn)學(xué)生理解 弘揚(yáng)主體精神
——數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)從邏輯分析轉(zhuǎn)向心理分析的視點(diǎn)

淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張 昆 (郵編:235000)

聚焦新課程

增進(jìn)學(xué)生理解 弘揚(yáng)主體精神
——數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)從邏輯分析轉(zhuǎn)向心理分析的視點(diǎn)

淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張 昆 (郵編:235000)

數(shù)學(xué)教學(xué)所要傳授的知識相對固定(其最低限度已經(jīng)寫入課程標(biāo)準(zhǔn))．但是,通過何種方式來傳授這種已經(jīng)設(shè)定了的知識,卻隨著教師的教學(xué)理念不同,預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)不同,持有的教學(xué)觀念不同,獲得的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)不同,理解特定數(shù)學(xué)知識性質(zhì)不同,揣摩發(fā)生特定知識的學(xué)生認(rèn)知方式不同,估計(jì)發(fā)生知識時(shí)學(xué)生現(xiàn)場心理活動意向不同,存在多種選擇余地．不同的教學(xué)設(shè)計(jì)對發(fā)揮數(shù)學(xué)知識的教育價(jià)值,促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)發(fā)展的結(jié)果大相徑庭、迥然有別．本文主要探討數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),尊重學(xué)生的想法,即提高教學(xué)的有效性．我們先從歷史上非常有名的一個(gè)知識點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)的課例說起．

1 從馬克斯·韋特海麥的一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)課例說起

早期的格式塔心理學(xué)家把他們對知覺過程的分析擴(kuò)展到思維的發(fā)展,并且在某些重要的方面,他們預(yù)見了并奠定了直到現(xiàn)在的對于認(rèn)識發(fā)展的系統(tǒng)闡述的基礎(chǔ)．格式塔心理學(xué)發(fā)展史中的許多有名人物雖然主要地談?wù)摰街X,但也確實(shí)涉及到了認(rèn)識,其中,考夫卡在《心理的發(fā)展》一書中提供了一個(gè)詳細(xì)的理論分析,試圖說明兒童的認(rèn)識發(fā)展;苛勒運(yùn)用這些原則去解釋類人猿解決問題的行為;馬克斯·韋特海麥在他的《創(chuàng)造性思維》中對課堂教學(xué)的有效和無效以及按照知覺的完形原則學(xué)習(xí)進(jìn)行了詳盡的分析,這些認(rèn)識與原理對數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性標(biāo)準(zhǔn)提供了有意義的參考．這里引入韋特海麥提供的一個(gè)課題(平行四邊形面積)教學(xué)活動的課例:求平行四邊形的面積公式．

師:上一堂課我們學(xué)習(xí)了如何求一個(gè)長方形的面積,你們都懂了嗎?

生1:懂了．一個(gè)長方形的面積等于兩邊的乘積．

師:(板書平行四邊形圖形,圖1),這個(gè)四邊形叫平行四邊形,一個(gè)平行四邊形是一個(gè)四邊形的平面,它的對邊相等且平行(教師在圖1的四個(gè)角上寫上a、b、c、d)．

師:我從左上角畫一條垂直線,從右上角畫一條垂直線,我把底邊向右延長,我把這兩個(gè)新點(diǎn)表上e和f(圖2)．

接著,教師著手證明定理——平行四邊形的面積等于底乘高的積．證明的活動過程是通過確立某些角和邊的等量關(guān)系和一對三角形的全等來進(jìn)行的．到此,教師提出了許多問題,都是要求平行四邊形的面積,但它們的大小、邊和角不相同,學(xué)生都能夠順利地完成．在結(jié)束這節(jié)課以前,教師指定了十多個(gè)這類問題作為家庭作業(yè)．如此看來,這節(jié)課應(yīng)該是比較成功的了．

不過,一天后,這個(gè)班的下一節(jié)課,我又去了．課開始時(shí),教師叫一個(gè)學(xué)生來證明平行四邊形的面積．學(xué)生正確地回答了……一個(gè)書面的作業(yè),得到了很好的效果．此時(shí),我問教師是不是讓我在這個(gè)班提出一個(gè)問題．這位教師答應(yīng)了,顯然,他以他的課為榮．

我在黑板上畫了一個(gè)圖3,讓學(xué)生求它的面積．

生2:老師,我們還沒有學(xué)習(xí)過這個(gè)．

另外的學(xué)生忙起來了．他們把圖形抄在紙上,像被教的那樣畫輔助線,從兩個(gè)上角向下畫垂直線和延長底邊(圖4)．然后,他們看起來迷惑、發(fā)窘．經(jīng)過一段時(shí)間思考以后,有些同學(xué)看起來是完全不愉快的;他們自信地在他們的圖下寫著“面積等于底乘高”——一個(gè)正確的設(shè)想,但也許完全是盲目的．當(dāng)問他們能否證明在這種情況下它也是正確的時(shí),他們露出了迷惑．另一些同學(xué)則情況完全不同,他們是愉快的,他們在笑．他們把他們的紙轉(zhuǎn)動了一個(gè)角度……[1]．

韋特海麥所出示的圖3當(dāng)然就是這個(gè)任課教師所出示的圖1,只不過將其進(jìn)行了一些轉(zhuǎn)動而已．顯然,經(jīng)過任課教師所教學(xué)的圖1,對于許多學(xué)生來說,他們的收獲只是掌握了一個(gè)狹隘的練習(xí),而沒有對知識形成實(shí)質(zhì)性的理解,韋特海麥所設(shè)定的主旨強(qiáng)調(diào)的是,以確定增進(jìn)理解的,并且依據(jù)對所包含的過程的心理分析而不是邏輯分析的教學(xué)方法來教解決問題的技巧．作為數(shù)學(xué)教師必須清醒地認(rèn)識到,這種從邏輯分析向心理分析轉(zhuǎn)化與過渡的技巧必須作為數(shù)學(xué)教師教學(xué)設(shè)計(jì)的一項(xiàng)主導(dǎo)性目標(biāo),只有心理分析的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)活動的有效性．在教師的努力下,這項(xiàng)目標(biāo)是可以實(shí)現(xiàn)的．

2 例示數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)從邏輯分析轉(zhuǎn)向心理分析的實(shí)現(xiàn)

由上述的材料可以發(fā)現(xiàn),從“邏輯分析”方式轉(zhuǎn)化為“心理分析”方式的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)就是教師追求數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的一項(xiàng)非常有價(jià)值的教學(xué)技藝．因此,為了研究數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的有效性,以求獲得從“邏輯分析”型的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為“心理分析”型數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的具體途徑,它的一般環(huán)節(jié)與關(guān)鍵環(huán)節(jié),它的具體步驟,啟發(fā)一般教師可以認(rèn)識到它的本質(zhì),并且萌生相應(yīng)的數(shù)學(xué)教學(xué)觀念,形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的技藝,從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的有效性,最大程度地發(fā)揮數(shù)學(xué)課程資源的教育價(jià)值,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)新課程所擬定的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)．對于韋特海麥這個(gè)課例,我們需要對其進(jìn)行進(jìn)一步解釋,從中提煉出相關(guān)的要素,以使我們數(shù)學(xué)教學(xué)可以得到更為直接的啟示．

眾所周知,對于受教育者而言,相對來說問題所提供的信息往往顯得雜亂無章,不是輕而易舉就能理出頭緒的．于是,要達(dá)到真正地解決問題,就必須經(jīng)由意識機(jī)能的過濾、比較、辨別,從中選擇出一項(xiàng),或幾項(xiàng)的關(guān)聯(lián)作為支點(diǎn)信息,并且依據(jù)這一支點(diǎn)信息,調(diào)用附著在觀念上的存儲在記憶庫中眾多知識框架中大致地選擇出某一“知識框架”作套用支點(diǎn)式信息的“凝聚核”,將其他諸多信息吸附到這個(gè)“凝聚核”的周圍,意識機(jī)能再對其進(jìn)行調(diào)整與排列等運(yùn)作,使外在于主體的信息構(gòu)成一種不穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)輪廓．意識機(jī)能又通過自己的監(jiān)控系統(tǒng),對由于自己的工作所選擇出來的結(jié)構(gòu)輪廓進(jìn)行評價(jià)、判斷,最終將外在問題提供的支點(diǎn)信息生成的結(jié)構(gòu)輪廓,與主體所選擇出作為“凝聚核”的記憶庫知識框架兩者之間的相關(guān)元素進(jìn)行對比、比較,試圖匹配(如圖5所示)．[2]

由此可知,數(shù)學(xué)知識的重要性在于它提供了解決問題的框架——組織外在信息的“凝聚核”——解決問題的工具,這個(gè)框架圖也可以對數(shù)學(xué)發(fā)生數(shù)學(xué)知識的實(shí)質(zhì)性理解一種解釋,學(xué)生只有清醒地意識到是由自己已經(jīng)掌握的知識套用了外在數(shù)學(xué)化信息的過程,此時(shí),才真正地對知識產(chǎn)生了理解．但是,我們知道,工具是客觀的、死的、物質(zhì)性的材料,它不能自行地直接作用于問題．這些可套用外在信息的知識框架的“凝聚核”是人的意識機(jī)能的產(chǎn)物,也就是說,在解決面臨的數(shù)學(xué)問題時(shí),意識機(jī)能始終處于激活的狀態(tài),具有能動性的一面．它不斷地對已經(jīng)具有的工具進(jìn)行組合、調(diào)整與重組,使之變成適應(yīng)性更廣泛,使用更方便,或者是直接創(chuàng)造出全新的工具．例如,伽羅瓦引進(jìn)了“置換群(加羅瓦群)”這一工具徹底解決了高次(五次或五次以上)方程根式解不存在的論斷,這完全是意識機(jī)能的創(chuàng)造性發(fā)揮的產(chǎn)物,并不是伽羅瓦對前人的所獲得的數(shù)學(xué)知識的累加而自然產(chǎn)生了這一論斷．

我們不去討論是我們遺傳基因提供了先天的知識框架(“凝聚核”)呢?還是感官的通道對外在的知覺的不斷積累,經(jīng)由意識機(jī)能長期醞釀而得到了這一框架呢?重要的是,在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中,當(dāng)學(xué)生面臨數(shù)學(xué)問題時(shí),如果他找不到現(xiàn)成的、可套用外在信息的知識框架,那么,是教師..將這種作為“凝聚核”的知識框架直接提供給學(xué)生呢?還是讓學(xué)生從自己意識機(jī)能中創(chuàng)造性地構(gòu)建出知識框架,以此來套用問題提供的信息,從而使那些問題所設(shè)定的分散的信息構(gòu)成相對有序的結(jié)構(gòu)輪廓呢?如何回答這一問題,對能否發(fā)揮利用數(shù)學(xué)資源的教育價(jià)值,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育高層次目標(biāo)影響巨大且至關(guān)重要．

“邏輯分析”型方式的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì),更多地只是將這種封裝外在信息的知識框架的“凝聚核”直接地交于學(xué)生,學(xué)生不理解為什么會發(fā)現(xiàn)這個(gè)“凝聚核”;而“心理分析”型方式的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì),更多地是啟發(fā)學(xué)生自己構(gòu)建這種“凝聚核”,從而真正通過教學(xué)活動過程,促進(jìn)學(xué)生對經(jīng)由學(xué)習(xí)而發(fā)生的數(shù)學(xué)知識的實(shí)質(zhì)性地理解．因此,在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),我們教師要作出最大努力,力求將“邏輯分析”型方式的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為“心理分析”型的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)．我們再看兩個(gè)具體的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的課例．

課例1數(shù)軸定義:規(guī)定原點(diǎn)、正方向與單位長度的直線叫數(shù)軸．

師:有理數(shù)組成:負(fù)有理數(shù)、零、正有理數(shù)(板書)．

師;今天,可以用一直線上的點(diǎn)表示有理數(shù)嗎?

生1:負(fù)數(shù)、正數(shù)都無限多,零只有一個(gè),首先試試在MN上任取一點(diǎn)O,規(guī)定用它表示零(如圖6)．

師:如此,點(diǎn)O將直線MN分成三部分,自身表示有理數(shù)0,稱點(diǎn)O為“原點(diǎn)”．于是,負(fù)、正數(shù)該由射線OM,或射線ON(除端點(diǎn)O)上的點(diǎn)來表示．究竟哪一條射線上的點(diǎn)表示負(fù)數(shù),哪一條射線上的點(diǎn)表示正數(shù)呢?(學(xué)生想出許多區(qū)分方案)

師:這些方案中,那種更簡單、更實(shí)用呢?

生:用箭頭!

師:在圖6的直線MN上畫一個(gè)箭頭．規(guī)定用具有箭頭的射線上的點(diǎn)表示正數(shù),反之,表示負(fù)數(shù)．稱箭頭為“正方向”(如圖7)．

師:在圖7中表示有理數(shù)＋2?(兩個(gè)同學(xué)選擇不同的點(diǎn)A和點(diǎn)B,都聲稱要表示＋2．如圖8)

師:哪一個(gè)才是真正表示＋2的點(diǎn)呢?(學(xué)生決定用一把“尺子”來裁決,以原點(diǎn)O為起點(diǎn),在具有正方向的那條射線上次第量兩尺,規(guī)定“尺子”落腳的終點(diǎn)C為表示＋2的點(diǎn)．如圖9)

師:“尺子”是一個(gè)度量長度的“單位”,稱之為“單位長度”．

師(板書):規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸．

數(shù)學(xué)教科書是采用向教師提供了運(yùn)用“溫度計(jì)”這種實(shí)物類比的手段促成學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)軸定義的,溫度計(jì)中表示零度的點(diǎn)就是數(shù)軸的“原點(diǎn)”,零上的溫度就是數(shù)軸上表示正有理數(shù)的那段區(qū)域,零下的溫度就是數(shù)軸上表示負(fù)有理數(shù)的那段區(qū)域．許多教師基本上沿用教科書的手段,其實(shí),這種教學(xué)途徑就是沿著“邏輯分析”方式而不是“心理分析”方式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的．當(dāng)筆者向?qū)W習(xí)過了數(shù)軸定義的學(xué)生提問,“數(shù)軸定義中的‘原點(diǎn)’有什么作用時(shí)”,九成以上學(xué)生都不能很好地回答這個(gè)問題．這就說明教科書所提供的這種教學(xué)途徑存在較大缺陷．我們給出的教學(xué)設(shè)計(jì)就是依據(jù)學(xué)生的“心理分析”過程展開,極大地增進(jìn)了課堂教學(xué)的有效性．

課例2已知:如圖10,在 △ABC 中,∠ADC＝∠BAC．求 證:∠CAD ＝∠CBA．[3]

師:請用不同標(biāo)識在圖

10中標(biāo)示出所求結(jié)論與已知條件中各存在的一對相等角．

生1:在圖10中,已知條件∠ADC＝∠BAC中的∠BAC被AD分割開來,圖形的覆蓋影響了探索問題的思路．因此,我想應(yīng)該首先解決覆蓋問題……

師:這是一個(gè)好建議!大家不妨可以動手試一試．

學(xué)生操作圖形活動的關(guān)鍵環(huán)節(jié)實(shí)錄:首先把圖10中的△ADC平移出來,得到了圖11與圖13,其次,根據(jù)已知條件∠ADC＝∠BAC①和要證明的結(jié)論∠CAD＝∠CBA②,把圖11變換換成圖12的位置形態(tài)．到此,學(xué)生成功地運(yùn)用標(biāo)識標(biāo)示出了圖10中的兩對相等角,即①,②兩個(gè)等式,并且將圖形轉(zhuǎn)化利于進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)某些條件的狀態(tài)．

師:大家做得非常好!現(xiàn)在請對比圖12與圖13,你有新發(fā)現(xiàn)嗎?

生2:比較圖12與圖13中的這兩個(gè)三角形之間角的關(guān)系可得(筆者精心設(shè)計(jì)板書):

已知條件是∠ADC＝∠BAC ①

所求結(jié)論是∠CAD＝∠CBA ②

還有公共角∠ACD＝∠BCA ③

師:對照圖12與圖13提供的信息,那么①②③意味著什么?

生3:在這三個(gè)等式中,①和③成立,②是求證的結(jié)論,應(yīng)該成立．可是……

師:怎么辦?

生:……

師:如果從整體上把握與體察,在①②③這三個(gè)角相等的等式中,這些角具有什么樣的特征?它對我們有什么啟發(fā)?

生4:應(yīng)用“三角形的內(nèi)角和等于180°”……

師:生3同學(xué)提出了一種很好的想法．如何應(yīng)用“三角形的內(nèi)角和等于180°”呢?

生5:①②③三個(gè)等式的左邊的三個(gè)角是△DAC的三個(gè)內(nèi)角,右邊的三個(gè)角是△ABC的三個(gè)內(nèi)角．于是,我們把這三個(gè)角的等式左、右兩邊分別相加就得到了這兩個(gè)三角形各自的內(nèi)角和,都等于180°,即

師:如何應(yīng)用④⑤兩個(gè)等式?

生6:兩個(gè)等式左邊也相等(都等于180°),即∠DAC＋∠ADC＋∠DCA＝∠ABC＋∠BAC＋∠ACB⑥．將⑥的左、右兩邊分別對應(yīng)地減去①與③的左、右兩邊,就可得到②成立[4]．

這道題的教學(xué)設(shè)計(jì)活動,過去采用了∠BAC＝∠BAD＋∠CAD⑦,∠ADC＝∠BAD＋∠CBA⑧．比較⑦⑧,由于∠ADC＝∠BAC,∠BAD是公共角,故知∠CAD＝∠CBA．這就是典型“邏輯分析”方式教學(xué)設(shè)計(jì),當(dāng)在教學(xué)實(shí)踐中認(rèn)識到,這種教學(xué)在很大程度上掩蓋了學(xué)生思維活動過程,逼著學(xué)生采用記憶的手段來記住問題的解答方法,這種教學(xué)手段是摧毀學(xué)生自信心與探究熱情的利器,我們想想大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)的那種身陷重圍的痛楚、舉步維艱的困惑、欲行又止的難局,就會深切地感受到我們的平面幾何推理論證教學(xué)的失敗其實(shí)就隱藏我們?nèi)绱说摹斑壿嫹治觥狈绞降慕虒W(xué)活動中．這就逼著我們教師一定要從這種“邏輯分析”方式教學(xué)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為“心理分析”方式教學(xué)設(shè)計(jì)．

3 簡要結(jié)語

數(shù)學(xué)的“邏輯分析”方式的過程要求褪盡鉛華,洗去塵梓,純而又純,超凡脫俗,以至于簡練到一塵不染;而“心理分析”方式的過程要求出自心意,平淡無奇,自然流暢,渾然天成,以至于趨近于無浮躁痕跡．在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要悉心地分析所要教學(xué)的數(shù)學(xué)知識,分析學(xué)生發(fā)生具體數(shù)學(xué)知識時(shí)心理活動的繞不過去的環(huán)節(jié),在掌握這兩者的基礎(chǔ)上,進(jìn)行教學(xué)法的加工．其中要特別注意的是;以“邏輯分析”方式為線索,以“心理分析”方式為目標(biāo),整合這兩者的優(yōu)勢,是發(fā)揮數(shù)學(xué)課程資源的教育價(jià)值,實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)目標(biāo)的基本保證．對此,我們一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)該思之再思,慎之又慎!

1 [美]克雷奇,克拉奇菲爾德,利維森,等．心理學(xué)綱要(上冊)[M]．周先庚,林傳鼎,張述祖,等譯．北京:文化教育出版社,1980:141-142

2 張昆,曹一鳴．完善數(shù)學(xué)教師教學(xué)行為的實(shí)現(xiàn)途徑[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2015,24(1):33-37

3 馬復(fù)．義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)·七年級上[M]．北京:北京師范大學(xué)出版社,2013:121

4 張昆．整合數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的取向——基于知識發(fā)生的邏輯取向與心理取向研究[J]．中國教育學(xué)刊,2011(6):52-55

2017-07-20)