機械優(yōu)化設(shè)計論文

馮棟磊+陳鴻波

摘 要：機械優(yōu)化設(shè)計是以數(shù)學規(guī)劃為理論基礎(chǔ)，以電子計算機為工具，尋求機械最優(yōu)設(shè)計參數(shù)的近代先進設(shè)計方法之一。采用優(yōu)化方法，對提高新產(chǎn)品的設(shè)計水平和改進現(xiàn)有設(shè)備的設(shè)計方案是極有價值的。隨著電子計算機在我國越來越廣泛的應用，機械優(yōu)化設(shè)計方法的推廣應用以及進一步的研究發(fā)展也就有了可靠的保證。

關(guān)鍵詞：優(yōu)化設(shè)計；數(shù)學建模；一維優(yōu)化；無約束優(yōu)化

一、前言

優(yōu)化設(shè)計是20世紀60年代初發(fā)展起來的一門新學科，它將最優(yōu)化原理和計算技術(shù)應用于設(shè)計領(lǐng)域，為工程設(shè)計提供一種重要的科學設(shè)計方法。采用這種新的設(shè)計方法，人們可以從眾多的設(shè)計方案中尋找出最佳的設(shè)計方案，從而大大提高設(shè)計的效率和質(zhì)量。

二、正文

一、優(yōu)化設(shè)計概述

1.1從傳統(tǒng)設(shè)計到優(yōu)化設(shè)計

一項機械產(chǎn)品的設(shè)計，一般需要經(jīng)過調(diào)查分析、方案擬定、技術(shù)設(shè)計、零件工作圖繪制等環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)設(shè)計方法通常在調(diào)查分析的基礎(chǔ)上，參照同類產(chǎn)品通過估計、經(jīng)驗類比或試驗來確定初始設(shè)計方案。然后，根據(jù)初始設(shè)計方案的設(shè)計參數(shù)進行強度、剛度、穩(wěn)定性等性能分析計算，檢查各性能是否滿足設(shè)計指標要求。如果不完全滿足性能指標的要求，設(shè)計人員將憑借經(jīng)驗或直觀判斷對參數(shù)進行修改。這樣反復進行分析計算一性能檢驗一參數(shù)修改，直到性能完全滿足設(shè)計指標的要求為止。整個傳統(tǒng)設(shè)計過程就是人工試湊和定性分析比較的過程，主要的工作是性能的重復分析，至于每次參數(shù)的修改，僅僅憑借經(jīng)驗或直觀判斷，并不是根據(jù)某種理論精確計算出來的。實踐證明，按照傳統(tǒng)設(shè)計方法作出的設(shè)計方案，大部分都有改進提高的余地，而不是最佳設(shè)計方案。

傳統(tǒng)設(shè)計方法只是被動地重復分析產(chǎn)品的性能，而不是主動地設(shè)計產(chǎn)品的參數(shù)。從這個意義上講它沒有真正體現(xiàn)“設(shè)計”的含義。其實“設(shè)計”一詞本身就包含優(yōu)化的概念。作為一項設(shè)計不僅要求方案可行、合理，而是應該是某些指標達到最優(yōu)的理想方案。

現(xiàn)代化的設(shè)計工作已不再是過去那種憑借經(jīng)驗或直觀判斷來確定結(jié)構(gòu)方案，也不是像過去“安全壽命可行設(shè)計”方法那樣，即在滿足所提出要求的前提下，先確定結(jié)構(gòu)方案，再根據(jù)安全壽命等準則，對該方案進行強度、剛度等的分析、校對，然后進行修改，以確定結(jié)構(gòu)尺寸。而是借助計算機，應用一些精確度較高的力學的數(shù)值分析方法進行分析計算，并從大量的可行設(shè)計方案中尋找出一種最優(yōu)的設(shè)計方案，從而實現(xiàn)用理論設(shè)計代替經(jīng)驗設(shè)計，用精確計算代替近似計算，用優(yōu)化設(shè)計代替一般的安全壽司可行性設(shè)計。

1.2優(yōu)化設(shè)計發(fā)展概況

第二次世界大戰(zhàn)期間，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運籌學，研究出了許多用古典微分法和變分法所不能解決的最優(yōu)化方法。20世紀50年代發(fā)展起來的數(shù)學規(guī)劃理論形成了應用數(shù)學的一個分支，為優(yōu)化設(shè)計奠定了理論基礎(chǔ)。20世紀60年代計算機和計算技術(shù)的發(fā)展為優(yōu)化設(shè)計提供了強有力的手段，是工程技術(shù)人員能夠能夠從大量繁瑣的計算工作中解放出來，把主要精力轉(zhuǎn)化到優(yōu)化方案選擇的方向上來。雖然近30多年來優(yōu)化設(shè)計方法已在許多工業(yè)部門得到應用，但最優(yōu)化技術(shù)成功地運用于機械設(shè)計還是在20世紀60年代后期開始的；雖然歷史較短，但進展迅速。在機構(gòu)綜合、機械零部件設(shè)計、專用機械設(shè)計和工藝設(shè)計方面都獲得應用并取得一定成果。

機構(gòu)運動參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計是機械優(yōu)化設(shè)計中發(fā)展較早的領(lǐng)域，不僅研究了連桿機構(gòu)、凸輪機構(gòu)等再現(xiàn)函數(shù)和軌道的優(yōu)化設(shè)計問題，而且還提出一些標準化程序。機構(gòu)動力學優(yōu)化設(shè)計方面也有很大 ，如慣性力的最優(yōu)平衡，主懂件力矩的最小波動等的優(yōu)化設(shè)計、液壓軸承和滾動軸承的優(yōu)化設(shè)計以及軸、彈簧、制動器等的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化。除此之外，在機床、鍛壓設(shè)備、壓延設(shè)備、起重運輸設(shè)備、汽車等的基本參數(shù)、基本工作機構(gòu)和主體結(jié)構(gòu)方面也進行了優(yōu)化設(shè)計工作。

近年來發(fā)展起來的計算機輔助設(shè)計（CAD），在引入優(yōu)化設(shè)計方法后，使得在設(shè)計過程中既能夠不斷選擇設(shè)計參數(shù)并評選出最優(yōu)設(shè)計方案，又可以加快設(shè)計速度，縮短設(shè)計周期。

在科學技術(shù)發(fā)展要求機械產(chǎn)品更新周期日益縮短的今天，把優(yōu)化設(shè)計方法與計算機輔助設(shè)計結(jié)合起來，使設(shè)計過程完全自動化，已成為設(shè)計方法的一個重要發(fā)展趨勢。

1.3 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型

1.3.1設(shè)計變量

一個設(shè)計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示。這些基本參數(shù)可以是構(gòu)件長度、截面尺寸、某些點的坐標值等幾何量，也可以是重量、慣性矩、力或力矩等物理量，還可以是應力、變形、固有頻率、效率等代表工作性能的導出量。但是，對某個具體的優(yōu)化設(shè)計問題，并不是要求對所有的基本參數(shù)都用優(yōu)化方法進行修改調(diào)整。例如，對某個機械結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，一些工藝、結(jié)構(gòu)布置等方面的參數(shù)，或者某些工作性能的參數(shù)，可以根據(jù)已有的經(jīng)驗預先取為定值。這樣，對這個設(shè)計方案來說，它們就成為設(shè)計常數(shù)。而除此之外的基本參數(shù)，則需要在優(yōu)化設(shè)計過程中不斷進行修改、調(diào)整，一直處于變化的狀態(tài)，這些基本參數(shù)稱作設(shè)計常數(shù)，又叫做優(yōu)化參數(shù)。設(shè)計變量的全體實際上是一組變量，稱作設(shè)計變量向量。向量中分量的次序完全是任意的，可以根據(jù)使用的方法任意選取。一旦規(guī)定了這樣一中向量的組成，則其中任意一個特定的向量都可以說是一個“設(shè)計”。由n個設(shè)計變量為坐標所組成的實空間稱作設(shè)計空間。一個“設(shè)計”，可用設(shè)計空間中的一點表示，此點可看成是設(shè)計變量向量的端點（始點取在坐標原點），稱作設(shè)計點。

1.3.2約束條件

設(shè)計空間是所有設(shè)計方案的集合，但這些設(shè)計方案有些是工程上所不能接受的（例如面積取負值等）。如果一個設(shè)計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行（或可接受）設(shè)計，反之則稱為不可行（或不可接受）設(shè)計。

一個可行設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。在工程問題中，根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成性能約束和邊界約束兩大類。針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足強度、剛度或穩(wěn)定性等要求，衍架某點變形不超過給定值。不是針對性能要求，只是對設(shè)計變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許選擇的尺寸范圍，衍架的高在其上下限范圍之間的要求就屬于邊界約束。endprint

約束又可按其數(shù)學表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型。

約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，這類約束稱作顯式約束。有的只能表示成隱式形式，這類約束稱作隱式約束。

1.3.3可行域與非可行域

在設(shè)計空間中，滿足所有約束條件的區(qū)域稱為可行域。在設(shè)計空間中，至少不滿足一個約束條件的區(qū)域稱為非可行域。

1.3.4目標函數(shù)

在所有的可行設(shè)計中，有些設(shè)計比另一些要“好些”，如果確實是這樣，則“較好”的設(shè)計比“較差”的設(shè)計必定具備某些更好的性質(zhì)。倘若這種性質(zhì)可以表示成設(shè)計變量的一個可計算函數(shù)，則我們就可以考慮優(yōu)化設(shè)計這個函數(shù)，以得到“更好”的設(shè)計。這個用來使設(shè)計得以優(yōu)化的函數(shù)稱作目標函數(shù)。用它可以評價設(shè)計方案的好壞，所以它又被稱作評價函數(shù)，用以強調(diào)它對設(shè)計變量的依賴性。目標函數(shù)可以是結(jié)構(gòu)重量、體積、功耗、產(chǎn)量、成本或其他性能指標（如變形、應力等）和經(jīng)濟指標等。

建立目標函數(shù)是整個優(yōu)化設(shè)計過程中比較重要的問題。當對某一設(shè)計性能有特定的要求，而這個要求又很難滿足時，則若針對這一性能進行優(yōu)化將會取得滿意的效果。但在某些設(shè)計問題中，可能存在兩個或兩個以上需要優(yōu)化的指標，這將是多目標函數(shù)的問題。例如，設(shè)計一臺機器，期望得到最低的造價和最少的維修費用。

目標函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設(shè)計空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用目標函數(shù)等值面的方法。

二、一維優(yōu)化方法

2.1概述

一維優(yōu)化方法是優(yōu)化方法中最簡單、最基礎(chǔ)的方法。雖然多數(shù)優(yōu)化設(shè)計都是多維優(yōu)化問題，但是許多求解多維優(yōu)化問題的優(yōu)化方法，是把多維優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列的一維優(yōu)化問題進行求解。因此，一維優(yōu)化方法是多維優(yōu)化方法的重要基礎(chǔ)。

2.2一維優(yōu)化方法的應用價值

在多維優(yōu)化方法中，有一大類多維優(yōu)化方法的主要任務(wù)，是確定能使函數(shù)值很快下降的方向即確定搜索方向，以及構(gòu)成高效的迭代模式。而具體求解時，是把多維優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列的一維優(yōu)化問題，反復調(diào)用一維優(yōu)化方法求解優(yōu)化迭代式，最終獲得多維優(yōu)化問題的最優(yōu)解。因此，一維優(yōu)化方法并不僅用于求解一維優(yōu)化問題，而更多地應用于多維優(yōu)化的求解中。

2.3一維優(yōu)化方法的策略

一維優(yōu)化方法常采用分兩步走的策略：

（1）尋找即確定具有使函數(shù)值最小的最優(yōu)步長所在的區(qū)間—單峰區(qū)間。

（2）在已知的單峰區(qū)間上，尋找出最優(yōu)步長。

三、無約束優(yōu)化方法

3.1概述

有些實際問題，其數(shù)學模型本身就是一個無約束優(yōu)化問題，或者除了在非常接近最終極小點的情況下，都可以按無約束問題來處理。研究無約束優(yōu)化問題的另一個原因是，通過熟悉它的解法可以為研究約束優(yōu)化問題打下良好的基礎(chǔ)。第三個原因是，約束優(yōu)化問題的求解可以通過一系列無約束優(yōu)化方法來達到。所以無約束優(yōu)化問題的解法是優(yōu)化設(shè)計方法的基本組成部分，也是優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。

3.2最速下降法

在最速下降法中，相鄰兩個迭代點上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負梯度方向，因此相鄰兩個搜索方向互相垂直。這就是說在最速下降法中，迭代點向函數(shù)極小點靠近的過程，走的是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索方法互相垂直，形成“之”字形的鋸齒現(xiàn)象。

最速下降法是一個求解極值問題的古老算法，早在1847年就已由柯西（Cauchy）提出。此法直觀、簡單。由于它采用了函數(shù)的負梯度方向作為下一步的搜索方向，所以收斂速度較慢，越是接近極值點收斂越慢，這是它的主要缺點。應用最速下降法可以使目標函數(shù)在開頭幾步下降很快，所以它可與其它無約束優(yōu)化方法配合使用。特別是一些更有效的方法都是在對它改進后，或在它的啟發(fā)下獲得的，因此最速下降法仍是許多有約束和無約束優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。

3.3牛頓型方法

牛頓方法和最速下降法一樣，也是求解極值問題古老的算法之一。

牛頓法和阻尼牛頓法統(tǒng)稱為牛頓型方法。這類方法的主要缺點是每次迭代都要計算函數(shù)的二階導數(shù)矩陣，并對該矩陣求逆。這樣工作量很大。特別是矩陣求逆，當維數(shù)高時工作量更大。另外，從計算機存儲方面考慮，牛頓型方法所需的存儲量也是很大的。最速下降法的收斂速度比牛頓法慢，而牛頓法又存在上述缺點。針對這些缺點，近年來人們研究了很多改進的算法，如針對最速下降法（梯度法）提出只用梯度信息，但比最速下降法收斂速度快的共軛梯度法；針對牛頓法提出變尺度法等。

3.4變尺度法

變量的尺度變換是放大或縮小各個坐標。通過尺度變化可以把函數(shù)的偏心程度降低到最低限度。尺度變換技巧能顯著地改進幾乎所有極小化方法的收斂性質(zhì)。

3.5坐標輪換法

坐標輪換法是每次搜索只允許一個變量變化，其余變量保持不變，即沿坐標方向輪流進行搜索的尋優(yōu)方法。它把多變量的優(yōu)化問題輪流地轉(zhuǎn)化成單變量（其余變量視為常來）的優(yōu)化問題，因此又稱這種方法為變量輪換法。在搜索過程中可以不需要目標函數(shù)的導數(shù)，只需要目標函數(shù)值信息。這比前面所討論的利用目標函數(shù)導數(shù)信息建立搜索方向的方法要簡單得多。

這種方法的收斂效果與目標函數(shù)等值線的形狀有很大關(guān)系。如果目標函數(shù)為二元二次函數(shù)，其等值線為圓或長短軸平行于坐標軸的橢圓時，此法很有效。一般經(jīng)過兩次搜索即可達到最優(yōu)點。

采用坐標輪流法只能輪流沿著坐標方向搜索，盡管也能使函數(shù)值步步下降，但要經(jīng)過多次曲折迂回的路徑才能達到極值點；尤其在極值點附近步長很小，收斂很慢，所以坐標輪流法不是一種很好的搜索方法。

三、小結(jié)

最優(yōu)化技術(shù)實在20世紀60年代發(fā)展起來的，它建立在近代數(shù)學、最優(yōu)化方法和計算機程序設(shè)計的基礎(chǔ)上，已成為解決復雜問題的一種有效工具，并成為計算機輔助設(shè)計應用中的一個重要方面。優(yōu)化設(shè)計是屬于創(chuàng)新設(shè)計，它使設(shè)計工作從過去的完全經(jīng)驗設(shè)計及類比設(shè)計中解放出來，在理論上建議設(shè)計對象的優(yōu)化數(shù)學模型，按現(xiàn)代的設(shè)計方法進行計算，設(shè)計出符合人為要求的新產(chǎn)品。創(chuàng)新的設(shè)計可能是零件、部件、整機以及各行業(yè)的工程。實踐證明，現(xiàn)存的產(chǎn)品中，不論是通過經(jīng)驗設(shè)計還是類比設(shè)計而產(chǎn)生的，產(chǎn)品大部分存在繼續(xù)改進提高的余地。優(yōu)化設(shè)計提供了一次設(shè)計成功的基礎(chǔ)。所謂“一次設(shè)計”當然指的是最優(yōu)方案，而又不需要反復地使用、試驗及改進，這樣的創(chuàng)新設(shè)計，其方案是最優(yōu)的。在設(shè)計上力圖一次成功，這是設(shè)計上的一次飛躍，具有重要意義，對設(shè)計工作者的設(shè)計方法及習慣引起了重大的變化。不必說航空、航天等工程設(shè)計力求一次成功，即使是各行業(yè)的民用產(chǎn)品，一次設(shè)計成功也將大大縮短設(shè)計周期、降低成本以提高競爭力。因此，為了適應科技發(fā)展以及經(jīng)濟建設(shè)的需要，采用新的設(shè)計方法是很必要的。

參考文獻：

[1]吳軍.基于有限元技術(shù)的增壓器優(yōu)化設(shè)計與分析[D].東南大學，2006.

[2]何丹.基于正交試驗設(shè)計的脫水壓縮機有限元結(jié)構(gòu)分析與優(yōu)化[D].江蘇科技大學，2011.

[3]羅國平.刮板輸送機的優(yōu)化設(shè)計與故障分析[D].東北大學，2006

[4]劉瑩.船舶航速和航向控制及機槳匹配研究[D].哈爾濱工程大學，2009

[5]李元科.工程最優(yōu)化設(shè)計.北京：清華大學出版社，2006.endprint