一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)及其投影同步

申玉發(fā)，劉建平

(河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院，河北 秦皇島，066004)

一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)及其投影同步

申玉發(fā)，劉建平

(河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院，河北 秦皇島，066004)

構(gòu)造了一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)，針對該超混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為進(jìn)行了詳細(xì)分析；然后，給出了基于該系統(tǒng)投影同步的狀態(tài)觀測器，并通過數(shù)值仿真探討了投影同步誤差，說明了同步觀測器的正確性及有效性。超混沌系統(tǒng)比一般混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為更為復(fù)雜且難以預(yù)測，將其應(yīng)用在保密通信領(lǐng)域中時(shí)具有較高的安全性。

混沌吸引子；平衡點(diǎn)；耗散性；Lyapunov 指數(shù)；Lyapunov 維數(shù)；投影同步

1963年，Lorenz[1]在研究大氣層現(xiàn)象時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)了混沌吸引存在，自此關(guān)于混沌動力學(xué)的研究受到學(xué)者們廣泛關(guān)注。時(shí)至今日，針對混沌理論的研究已經(jīng)成為非線性科學(xué)的一個(gè)研究熱點(diǎn)問題，該理論被認(rèn)為是20世紀(jì)人類認(rèn)識和改造世界的一次新的革命。隨著新混沌系統(tǒng)的不斷構(gòu)建和發(fā)現(xiàn)，人們對混沌現(xiàn)象研究也更加深入，豐富的混沌理論也促進(jìn)了混沌系統(tǒng)在通信加密[2～4]、故障診斷[5]等工程領(lǐng)域的應(yīng)用。目前，國內(nèi)外研究人員已經(jīng)提出了許多新的不同類型的混沌系統(tǒng)，如Chen 混沌系統(tǒng)[6]，Róssler 混沌系統(tǒng)[7]，Qi混沌系統(tǒng)[8]，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)[9]，多翼混沌系統(tǒng)[10]，最簡并行記憶器混沌系統(tǒng)[11]，以及各種新超混沌系統(tǒng)[12,13]等。

由于三維混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)上較為簡單，設(shè)計(jì)電路較易，因此將其應(yīng)用于通信加密工程時(shí)，加密效果不是很好。其原因主要在于三維混沌的帶寬較窄，數(shù)字濾波器能濾掉部分混沌序列，導(dǎo)致加密信號容易被破譯[14]。而超混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列信號帶寬較寬，能在一定程度上彌補(bǔ)如上不足，在利用混沌同步加密信息處理時(shí)，加密的效果會相對較好。

本次研究將提出一個(gè)與現(xiàn)有各類混沌系統(tǒng)都是拓?fù)洳坏葍r(jià)的新的超混沌系統(tǒng)。通過對其耗散性、平衡點(diǎn)、Lyapunov 指數(shù)(簡記為LE)和Lyapunov 維數(shù)(簡記為LD)的動力學(xué)特性進(jìn)行分析，以說明該系統(tǒng)確實(shí)是混沌系統(tǒng)。進(jìn)一步，給出一個(gè)基于該系統(tǒng)投影同步的狀態(tài)觀測器，并通過數(shù)值仿真探討了投影同步誤差，以表明所給同步觀測器的有效性。

1 一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)及其動力學(xué)分析

本次研究構(gòu)建的超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

(1)

其中參數(shù)a,b,c為實(shí)常數(shù)。

當(dāng)取參數(shù)a=0.45,b=0.45,c=15時(shí)，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明系統(tǒng)存在混沌吸引子，新超維混沌系統(tǒng)的二維相圖如圖1所示。

下面，筆者從系統(tǒng)(1)的耗散性和吸引子的存在性、平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性，及其Lyapunov 指數(shù)和Lyapunov 維數(shù)等3個(gè)方面，對系統(tǒng)(1)進(jìn)行動力學(xué)分析。

1.1 系統(tǒng)的耗散性和吸引子的存在性

首先，由于

(2)

其次，方程(2)表明體積元V0在時(shí)刻t時(shí)收縮為體積元V0e-(a+c)t，即當(dāng)t→∞時(shí)，每個(gè)體積元的系統(tǒng)軌跡以速率-a-c逼近到0。最終所有系統(tǒng)軌跡線會被封閉在體積為0的集合上，這恰恰表明了混沌吸引子的存在性。

圖1 系統(tǒng)(1)吸引子的二維相圖

1.2 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性

系統(tǒng)(1)存在2個(gè)非線性項(xiàng)，1個(gè)交叉乘積項(xiàng)，1個(gè)反正切函數(shù)，狀態(tài)變量分別為x1,x2,x3,x4。為了求解系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)，令系統(tǒng)(1)的右端為0，得如下方程組

(3)

對(3)求解可得x2=0，x3=0，x4=0，以及

(4)

式(4)為超越方程，0是其平凡解，(4)的非平凡解的解析形式無法得到，只能求其數(shù)值解。注意到

可知arctan(x1)的導(dǎo)函數(shù)在x1=0處達(dá)到最大值，且最大值為1。因此，當(dāng)a≥b時(shí)，系統(tǒng)(1)具有唯一平衡點(diǎn)S0(0,0,0,0)；當(dāng)a

對于參數(shù)a=0.45,b=4.5,c=15，因a

S0(0,0,0,0),S1(15.044 2,0,0,0),S2(-15.044 2,0,0,0)

為對系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)做線性化處理，求系統(tǒng)(1)的雅可比矩陣

對于平衡點(diǎn)S0(0,0,0,0)，由det|Js-λI|=0解得Js對應(yīng)的特征值為

λ1=1.372 4,λ2=-0.911 2+1.456 3i,λ3=-0.911 2-1.456 3i,λ4=-15

其中λ1為正實(shí)值；λ2,λ3為負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)值；λ4為負(fù)實(shí)值。

對于非零平衡點(diǎn)S1,S2，即分別對應(yīng)x1=15.044 2及x1=-15.044 2，均求得Js對應(yīng)的特征值為

λ1=-0.694 3,λ2=0.122 1+0.777 6i,λ3=0.122 1-0.777 6i,λ4=-15

其中λ1為負(fù)實(shí)值；λ2,λ3為正實(shí)部的共軛復(fù)值；λ4為負(fù)實(shí)值。

如上特征值的形式說明了3個(gè)平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定鞍點(diǎn)。系統(tǒng)(1)的3個(gè)不穩(wěn)定鞍點(diǎn)的存在性進(jìn)一步表明該系統(tǒng)有可能具有混沌特性。

1.3Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)

在混沌系統(tǒng)中，相鄰系統(tǒng)軌跡線之間的關(guān)系，主要是通過Lyapunov指數(shù)LE和Lyapunov維數(shù)LD來定量描述。LE的正負(fù)個(gè)數(shù)也是判斷系統(tǒng)是不是混沌系統(tǒng)的最重要特征。正的LE說明在初始狀態(tài)相鄰的情況下，隨時(shí)間的演變，系統(tǒng)的軌線在某方向上會以指數(shù)速率分離。因此致使相鄰軌線的相關(guān)性越來越差，其結(jié)構(gòu)也就變得越來越難以預(yù)測，最終呈現(xiàn)出混沌吸引子現(xiàn)象。因此，存在正的LE就可斷定系統(tǒng)吸引子的存在，而同時(shí)存在2個(gè)正的LE且LD不是整數(shù)就可以斷定系統(tǒng)是超混沌。

利用雅可比矩陣法[15]編譯的MATLAB程序，輸出新系統(tǒng)的LE指數(shù)譜(圖2)，其中系統(tǒng)(1)的4個(gè)LE分別為

LE1=0.120 675,LE2=0.107 688,LE3=-0.670 406,LE4=-15.005 382

而Lyapunov維數(shù)

由此可見，系統(tǒng)(1)存在2個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，且LD不是整數(shù)，這就說明了系統(tǒng)(1)為超混沌系統(tǒng)。

圖2 系統(tǒng)(1)的LE譜

2 系統(tǒng)的投影同步與數(shù)值仿真

混沌系統(tǒng)的同步控制作為混沌控制的一個(gè)非常重要的研究方向，其過程就是通過選擇合適的混沌同步控制方法，使兩個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同但初始取值不同的混沌系統(tǒng)，或者兩個(gè)結(jié)構(gòu)不相同的混沌系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡最終達(dá)到漸近一致，即完成同步控制。本節(jié)針對所提出的超混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)觀測器，實(shí)現(xiàn)該超混沌系統(tǒng)的投影同步。

2.1 系統(tǒng)的投影同步

為了給出系統(tǒng)(1)投影同步的狀態(tài)觀測器，并探討其在平衡點(diǎn)處的漸近穩(wěn)定性，需要借助文獻(xiàn)[16]中的一個(gè)結(jié)論。

引理[16]如果一個(gè)n維混沌系統(tǒng)在某個(gè)平衡點(diǎn)處的雅可比矩陣的所有特征根λ1,λ2,…,λn均滿足|arg(λi)|>π/2(i=1,2,…,n)，其中arg(λi)表示λi的輔角，那么這個(gè)系統(tǒng)在該平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

定理投影比例因子為α，則超混沌系統(tǒng)(1)的投影同步狀態(tài)觀測器可定義為

(5)

證明 在參數(shù)a=0.45,b=4.5,c=15時(shí)，記

則系統(tǒng)(1)可改寫為Dx(t)=Ax+BF(x)。

根據(jù)極點(diǎn)配置技術(shù)選取反饋增益矩陣K，使A+K的特征值為p=[-5 -5 -5 -5]，可得

考慮投影同步誤差e(t)=y(t)-αx(t)，注意到式(5)可以改寫為

Dy(t)=(A+K)y-αKx+αBF(x)

即有

(6)

顯然，式(6)是線性的，而且不隨時(shí)間t的變化而變化。矩陣(A+K)的所有特征值λi=-5(i=1,2,3,4)都滿足∣arg(λi)∣>π/2，根據(jù)引理可知系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(5)的投影同步誤差e(t)=y(t)-αx(t)是漸近穩(wěn)定的，即

這表明由系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(5)構(gòu)成的系統(tǒng)滿足投影同步。

2.2 系統(tǒng)的數(shù)值仿真

令驅(qū)動系統(tǒng)為式(1)，響應(yīng)系統(tǒng)為式(5)，選取它們的初始點(diǎn)分別為(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0))=(3,3,3,3),(y1(0),y2(0),y3(0),y4(0))=(-3,-3,-3,-3)。

這里僅以比例因子α=2為例，模擬系統(tǒng)(1)和(5)投影同步的誤差效果(圖3)。圖3表明，相對應(yīng)的原系統(tǒng)軌跡曲線與觀測器軌跡曲線在很短的時(shí)間內(nèi)趨于重合，系統(tǒng)(1)和(5)達(dá)到了投影同步，從數(shù)值上證明了所設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測器是正確且有效的。

圖3 比例因子α=2時(shí)，系統(tǒng)(1)和(5)投影同步的曲線對比

3 結(jié) 論

本次研究構(gòu)建了一個(gè)四維超混沌系統(tǒng)，通過對其動力學(xué)行為進(jìn)行了詳細(xì)的理論解析，驗(yàn)證了該系統(tǒng)的混沌特性。進(jìn)一步，設(shè)計(jì)了一個(gè)基于該系統(tǒng)投影同步的狀態(tài)觀測器，并通過數(shù)值仿真探討了投影同步誤差，說明了同步觀測器的有效性。

[1] Lorenz E N.混沌的本質(zhì)[M].劉式達(dá),劉式適,嚴(yán)中偉，譯.北京:氣象出版社,1997.

[2] Luo Y L,Du M H.A self-adapting image encryption algorithm based on spatiotemporal chaos and ergodic matrix[J].Chinese Physics B,2013,22(8):080 503.

[3] 謝鯤,雷敏,馮正進(jìn).一種超混沌系統(tǒng)的加密特性分析[J].物理學(xué)報(bào),2005,54 (3):1 267-1 272.

[4] 劉樂柱,張季謙,許貴霞,等.一種基于混沌系統(tǒng)部分序列參數(shù)辨識的混沌保密通信方法[J].物理學(xué)報(bào),2014,63(1):010 501-1-010 501-6.

[5] 劉宗華.混沌動力學(xué)基礎(chǔ)極其應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社,2006.

[6] 陳關(guān)榮,呂金虎.Lorenz 系統(tǒng)族的動力學(xué)分析、控制與同步[M].北京：科學(xué)出版社,2003.

[7] R?ssler O E.An equation for continuous chaos[J].Physical Letters A,1976,57(5):397-398.

[8] Qi G Y,Du S Z,Chen G R,et al.On a four-dimensional chaotic system[J].Chaos Solitons & Fractals,2005,23(5):1 671-1 682.

[9] 趙品棟,張曉丹.一類分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的研究[J].物理學(xué)報(bào),2008,57(5):2 791-2 798.

[10] 胡國四.一類具有四翼吸引子的超混沌系統(tǒng)[J].物理學(xué)報(bào),2009,58(6):3 734-3 741.

[11] 周小勇.一個(gè)新混沌系統(tǒng)及其電路仿真[J].物理學(xué)報(bào),2012,61(3):030 504-1-030 504-9.

[12] Liu M H,Feng J C.A new hyperchaotic system[J].Acta Physica Sinica,2009,58(7):4 457-4 462.

[13] 程杰,張?zhí)m.一個(gè)新超混沌系統(tǒng)的脈沖修正投影同步[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015，33(2):133-135，138.

[14] 唐良瑞,李靜,樊冰.一個(gè)新四維自治超混沌系統(tǒng)及其電路實(shí)現(xiàn)[J].物理學(xué)報(bào),2009,58(3):1 446-1 455.

[15] 劉揚(yáng)正,姜長生,林長圣.一類四維混沌系統(tǒng)切換混沌同步[J].物理學(xué)報(bào), 2007,56(2):707-712.

[16] 王興元.混沌系統(tǒng)的同步及在保密通信中的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2012.

(責(zé)任編輯：朱寶昌)

Abstract: The dynamic behavior of hyper-chaos is more complex and unpredictable than the chaos, which usually induces a higher safety when it is applied in the field of communication. In this paper, we constructed a new hyper-chaos and presented a detailed analysis for its dynamic behavior firstly. With the purpose of realizing projective synchronization for the proposed hyper-chaos, we designed a state observer. Finally, we also investigated the error of the projective synchronization. The results of simulation experiment showed that the designed state observer was correct and effective.

Keywords:chaotic attractors;equilibrium point;dissipativity;Lyapunov index;Lyapunov dimension;projective synchronization

ANewHyper-ChaosandItsProjectiveSynchronization

SHEN Yufa,LIU Jianping

(School of Mathematics and Information Science & Technology,Hebei Normal University of Science & Technology,Qinhuangdao Hebei,066004,China)

O193

A

1672-7983(2017)02-0001-06

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2017.02.001

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(項(xiàng)目編號：11571091)；河北科技師范學(xué)院科學(xué)研究基金項(xiàng)目(項(xiàng)目編號：自然科學(xué)2017-04)。

2017-06-22

申玉發(fā)(1965-)，男，博士，教授。主要研究方向：圖論及復(fù)雜性科學(xué)。