基于雙層Euler梁理論的土工格室加筋體變形計算*

張玲，程欽桂，趙明華

(湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082)

基于雙層Euler梁理論的土工格室加筋體變形計算*

張玲?，程欽桂，趙明華

(湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082)

針對路堤工程中車輛荷載直接作用于路面板，再經路堤填土傳遞作用于土工格室加筋墊層的荷載傳遞實際，并考慮路堤填土剛度、地基土的排水固結效應對土工格室加筋體受力變形的影響，將土工格室加筋體視為置于Kelvin地基上的下梁、路面板視為置于Winkler地基上的上梁，基于雙層Euler梁理論，建立考慮路面板-路堤-土工格室加筋墊層-地基土相互作用的上下梁撓曲變形微分方程并求解.將本文解答所得格室加筋體內力位移與傳統彈性地基梁法計算結果進行比較，兩者吻合良好.在此基礎上，分析了格室體剛度、路堤填土剛度、地基反力系數、地基土固結度等因素對路面板及格室體撓曲變形的影響.結果表明：路面板及格室加筋墊層的撓曲變形會隨著格室體剛度的增大及地基反力系數的增大而減小，隨地基土固結度的增大而增大；此外，路堤填土剛度增大會減小路面板的撓曲變形但會增大格室加筋墊層的撓曲變形.

變形;土工格室加筋體；雙層梁；Kelvin地基模型；Winkler地基模型

Abstract：For an embankment engineering，vehicle loads act on the pavement faceplate directly and then affect geocell reinforcement through the embankment fill.Considering this load transfer mechanism，and the effect of embankment fill stiffness and consolidation of soft soil，a geocell reinforced subgrade was regarded as a lower beam placed on Kelvin foundation and the pavement facelate was regarded as a upper beam placed on Winkler foundation.On the basis of the double-Euler-beam theory，a deformation control differential equation of geocell reinforcement and its solutions were proposed by taking into account the effect of the interaction among the pavement faceplate embankment fill，geocell reinforcement，and foundation soil.There is a good agreement when internal force and displacement calculated by the method in this paper are compared with internal force and displacement calculated by traditional method for elastic foundation beam.On this basis，the factors influencing the stress-deformation characteristics of the geocell reinforcement such as stiffness of geocell reinforcement，stiffness of embankment fill，coefficient of subgrade reaction force and the degree of consolidation of foundation soil,were discussed.The results show that flexural deformations of both pavement and geocell reinforcement reduce with the increment of stiffness of geocell reinforcement and the increment of coefficient of subgrade reaction force.And the deformations increase with the development of the consolidation of foundation soil.In addition，with higher embankment fill stiffness，the deformation of the pavement is smaller，while the deformation of geocell reinforcement is larger.

Keywords：deformation；geocell reinforcement；the double beam；Kelvin foundation model；Winkler foundation model

土工格室作為一種新型的土工合成材料，是由聚合物寬條帶經由強力焊接或鉚接鍵連接成的立體網狀物.因其優(yōu)異的工程性能而廣泛應用于軟土地基加固、路基邊坡防護、高速公路擴建、路基支擋工程、沙漠地區(qū)筑路等工程中[1-7].

然而到目前為止，土工格室加筋地基的理論研究尚處于初級階段，其變形計算尚無統一方法.而變形是路堤設計的一個重要參數，關于其計算方法也越來越受到學術界的重視.分析格室加筋地基受力變形時，可將其視為置于彈性地基上的有限長梁，采用彈性地基梁法進行計算.如趙明華等[8-9]視土工格室加筋墊層為彈性地基梁，提出了考慮筋土界面摩阻效應的土工格室加筋體的受力變形分析方法；張福海等[10]視土工格室加筋墊層為具有一定剛度的梁板，并提出了考慮水平抗力的雙參數法土工格室加筋體的受力變形分析方法.但上述方法仍存在一些問題與不足，如將車輛荷載視為直接作用于格室加筋體上的集中荷載，并未考慮車輛荷載是直接作用于路面板，再經過路堤填土傳遞作用于格室體上的荷載傳遞實際情況，且不能反映路堤剛度對土工格室加筋體受力變形的影響.邊學成等[11]視路基填料和地基土層為采用雙參數的 Pasternak 模型，克服了傳統 Winkler 地基模型無法考慮路基填料和地基中應力擴散的缺點，但未考慮地基土的排水固結效應.

因此，本文在前人研究的基礎上，分別采用Winkler模型和Kelvin模型模擬路堤填料和地基土，基于雙層Euler梁理論，視路面板為置于Winkler彈性地基的上梁，格室加筋體為置于Kelvin地基上的下梁，提出考慮路面板-路堤填土-土工格室加筋墊層-地基土之間相互作用的土工格室加筋體受力變形的計算公式，并給出相應解答.

1 模型的建立及公式推導

1.1 模型的建立

對如圖1(a)所示的典型的路基路面結構進行分析，由上至下分別為：路面結構、路堤填土、土工格室加筋墊層和地基土.為簡化計算，沿垂直路堤縱向取單位寬度的路基路面結構進行分析.視路面板為長2l1、剛度EI1的上梁、土工格室加筋墊層為長2l2、剛度EI2的下梁；車輛荷載為集中荷載，直接作用于路面板，再經由路堤填土作用于格室加筋墊層上.采用Winkler彈性地基模型模擬路堤填土，則其可提供的地基反力p1為：

p1=k1(y1-y2)

(1)

式中：y1為路面板的撓曲變形；y2為土工格室加筋墊層的撓曲變形；k1為路堤填土地基反力系數，其值與土的性質有關，可通過室內模型試驗或現場載荷試驗確定，也可查經驗值表粗估[13].當路堤填土高度較小，可將路堤填土作薄壓縮層處理，故k1取值參考文獻[13]如式(2)所示：

(2)

考慮墊層下地基土的排水固結效應影響，采用如圖1(b)所示的Kelvin地基模型模擬地基土.根據太沙基有效應力原理，可得：

p2=σ′+ue

(3)

式中：p2為地基土可提供的總反力； σ′為有效應力；ue為t時刻的平均超孔隙水壓力.

有效應力σ′可按式(4)計算：

σ′=k2y2

(4)

式中：k2為地基反力系數.

(a) 典型路堤工程橫截面圖

(b)沉降計算模型圖 圖1 路堤下土工格室加筋體沉降計算模型示意圖

根據固結度的定義，t時刻的超孔隙水壓力ue與t時刻地基的固結度U存在如下關系：

ue=u0(1-U)

(5)

式中：u0為初始孔隙水壓力，u0=p2；固結度U可根據實際情況，采用一維或二維固結理論計算.

將式(4)，(5)代入式(3)，整理后可得：

(6)

1.2 變形控制微分方程的建立及求解

根據對稱原則，取路面板的中點為坐標原點，只對其右半部分(x≥0)進行分析.根據車輛集中荷載位置及上下梁的橫截面尺寸，將梁的右半部分劃分為若干段進行分析，第i段長度為li,(i=1,2,…,N-1)，第N段的長度為l2-l1.

當0≤x≤l1時，如圖1所示，上梁(路面結構層)上表面作用有車輛荷載，下表面作用有路堤填土提供的地基反力；而下梁(土工格室加筋墊層)上表面除作用有因車輛荷載引起的Winkler彈簧(路堤填土)的反力外，還作用有來自路堤填土的自重.為簡化計算，路堤填土的自重按面積相等原則將梯形分布荷載等效為均布矩形荷載，與此同時，下梁下表面受到地基土地基反力作用.分別在上梁和下梁取一微段進行受力分析，根據彈性地基梁理論，可得上梁、下梁撓曲變形控制微分方程分別為：

(7)

和

(8)

式中：EI1為路面板的抗彎剛度，EI2為土工格室的抗彎剛度.

將方程(7)變形后可得：

(9)

對方程(9)求4次導，并結合方程(8)，可得：

(10)

其通解為：

(11)

當li≤x≤l2時，由圖1(b)可知，僅有下梁，此時下梁上表面僅作用路堤填土自重，可得其變形控制微分方程：

(12)

方程(12)可改寫成：

(13)

其通解為：

y2,i=eλ3ξi(D1,icosλ3ξi+D2,isinλ3ξi)+

(14)

基于Euler-Bernoulli 梁理論，可得轉角θi、彎矩Mi和剪力Qi如下：

(15)

(16)

(17)

式中下標j=1表示上梁，j=2表示下梁，i=1，2，…，N.

式(11)中待定系數Cj,i(j=1，2，…，8；i=1，2，…，N-1)及式(14)中待定系數Dj,i(j=1，2，3，4；i=N)需通過以下邊界和連續(xù)條件求得.

1)邊界條件

(ⅰ)對于上梁，在x=0時，梁的轉角和剪力都為0；在x=l1時，梁的彎矩和剪力為0.

(ⅱ)對于下梁，在x=0時，梁的轉角和剪力都為0；在x=l2時，梁的彎矩和剪力為0.即：

對于上梁：

當x=0時，y1=0，Q1=0；

當x=l1時，M1=0，Q1=0；

對于下梁：

當x=0時，y2=0，Q2=0；

當x=l2時，M2=0，Q2=0；

2)連續(xù)條件

y1,i-1|ξi-1=li-1=y1,i|ξi=0；

θ1,i-1|ξi-1=li-1=θ1,i|ξi=0；

M1,i-1|ξi-1=li-1=M1,i|ξi=0;

Q1,i-1|ξi-1=li-1=Q1,i|ξi=0-F1.

y2,i-1|ξi-1=li-1=y2,i|ξi=0；

θ2,i-1|ξi-1=li-1=θ2,i|ξi=0；

M2,i-1|ξi-1=li-1=M2,i|ξi=0；

Q2,i-1|ξi-1=li-1=Q2,i|ξi=0.

結合邊界條件和連續(xù)條件，求得待定系數，代入式(11)，(14)分別可得上、下梁任意點的撓曲變形，再由式(15)～(17)分別可得上、下梁任意點的轉角，彎矩和剪力.

2 算例驗證

為驗證本文方法公式推導及編制程序的正確性，將本文方法所得下梁的內力位移計算結果與傳統彈性地基梁法[13]計算結果進行比較.采用本文的雙層梁理論分析計算傳統單層地基梁時，為忽略上梁及路堤填土剛度的影響，分別取上梁的剛度、長度，地基填土剛度為一相對小值，參數取值具體如下：F1=100 kN作用于梁的中點，γ1=20 kN/m3，h=1 m，EI1=1 kN·m2，k1=0.01 kN/m2，l1=0.01 m，k2=12.5 MN/m2，EI2=208.33 MN·m2，l2=5 m.

兩種方法的計算結果如圖2～4所示.由圖可見，忽略上梁影響時，本文方法計算所得的下梁撓曲變形y，轉角θ，彎矩M與傳統彈性地基梁法計算結果基本一致.

圖2 兩種方法撓曲變形y的比較

圖3 兩種方法轉角θ的比較

圖4 兩種方法彎矩M的比較

3 影響參數分析

為進一步分析土工格室加筋墊層的抗彎剛度EI2，路堤填土反力系數k1，地基土反力系數k2，地基土固結度U等因素對路面板中點和土工格室加筋墊層中點的撓度變形的影響，對某一路堤下格室加筋地基進行分析，基本計算參數如下：EI1=200 MN·m2，k1=50 MN/m2，l1=5 m，h=5 m，EI2=10 MN·m2，k2=5 MN/m2，l2=12.5 m，a=1.0 m，b=1.8 m，F1=50 kN，γ1=20 kN/m3，U=100%.

3.1 3種不同方法格室體變形的比較

圖5為將車輛荷載等效為1 m高填土路堤、車輛荷載直接作用土工格室和本文雙層梁法計算所得的路堤橫截面上土工格室加筋墊層的撓曲變形.

由圖5可見，對車輛荷載作不同的處理所得的格室體的撓曲變形有較大差異.將車輛荷載直接等效為一定高度的路堤填土自重，或直接將車輛荷載視為集中力作用于格室加筋墊層上，雖計算相對簡便，可直接采用傳統彈性地基梁分析，但均不能反映車輛荷載經由路面板、路堤填土擴散的實際，且結果與本文的雙層梁理論所得的格室加筋體的撓曲變形差異較大.將車輛荷載直接等效為一定高度的路堤填土自重時，中心點處的撓曲變形偏小，且橫截面上各點因車輛荷載引起的附加變形相等，這明顯與實際情況不符.將車輛荷載視為集中力直接作用于格室加筋墊層上時，無疑又夸大了車輛荷載對格室加筋體受力變形的影響.因此本文基于雙層地基梁理論所得的格室加筋體的撓曲變形因能反映車輛荷載-路面板-路堤填土-加筋墊層相互作用而更能符合實際情況.

圖5 3種方法撓曲變形y2的對比

3.2 土工格室加筋墊層抗彎剛度的影響

圖6，圖7分別為路面板中點的撓度變形y1,0、土工格室加筋墊層中點的撓度變形y2,0與土工格室加筋墊層抗彎剛度EI2的關系曲線.

由圖6可見，當其它條件不變時，路面板中點的撓度變形隨著土工格室加筋墊層抗彎剛度的增大而減小.當加筋墊層EI2從10 MN·m2增加到100 MN·m2時，路面板中點的撓度變形y1,0從25.09 mm減少到24.76 mm，減小幅度不大.

圖6 y1,0與EI2的關系

由圖7可見，當其它條件不變時，土工格室加筋墊層中點的撓度變形隨著土工格室加筋墊層抗彎剛度的增大而減小，但減小幅度不大，當加筋墊層EI2從10 MN·m2增加到100 MN·m2時，土工格室加筋墊層中點的撓度變形y2,0從24.63 mm減少到24.30 mm.

圖7 y2,0與EI2的關系

對比圖6、圖7亦可見，由于荷載作用下，路堤填土自身的壓縮性，路面板的撓曲變形略大于格室加筋墊層的撓曲變形.

3.3 路堤填土反力系數k1的影響

圖8，圖9為路面板中點的撓度變形y1,0、土工格室加筋墊層中點的撓度變形y2,0與路堤填土反力系數k1的關系曲線.

圖8 y1,0與k1的關系

圖9 y2,0與k1的關系

由圖8，圖9可見，當其它條件不變時，路面板中點的撓度變形隨路堤填土反力系數的增大而減?。煌凉じ袷壹咏顗|層中點的撓度變形隨著地基反力系數的增大而增大.當路堤填土反力系數k1從50 MN/m2增至500 MN/m2時，路面板中點的撓度變形y1,0從25.09 mm減少到24.73 mm，加筋墊層中點的撓度變形y2,0從24.63 mm增加到24.68 mm，變化幅度都不大.其原因可能是路堤填土密實度等物理力學特性越好，路堤填土反力系數越大，其可提供的豎向反力也越大，路面板就越不易產生撓曲變形，故路面板中點撓曲變形也就隨路堤填土反力系數k1的增大而逐漸減小.而路堤填土地基反力系數越大，填土剛度越大，經路堤Winkler彈簧作用于格室體上反力越大,相應的撓曲變形也就越大，故格室體中點撓曲變形反而隨路堤填土反力系數k1的增大而增大.

3.4 地基反力系數k2的影響

圖10，圖11為路面板中點的撓度變形y1,0、土工格室加筋墊層中點的撓度變形y2,0與地基反力系數k2的關系曲線.

圖10 y1,0與k2的關系

圖11 y2,0與k2的關系

由圖10，圖11可見，當地基反力系數k2從5 MN/m2增至50 MN/m2時，路面板中點的撓度變形y1,0從25.09 mm.減少到3.12 mm，加筋墊層中點的撓度變形y2,0從24.63mm減少到2.56mm.其原因是當其它條件不變時，由于地基土物理力學特性越好，強度越大，從而地基反力系數越大，其可提供的豎向反力也越大，因此，路面板中點和土工格室加筋墊層中點的撓度變形都隨著地基反力系數的增大而減小.但其對撓曲變形減小的趨勢是先隨k2的增加減小幅度較大，當k2大于某一值時，減小的幅度逐漸變小.如圖10～圖11，k2從5 MN/m2增至35 MN/m2時，y1,0從25.09 mm減少到4.20 mm，減小了83%，y2,0從24.63 mm減少到3.65 mm，減小了85%；但當k2從35 MN/m2增至50 MN/m2時，y1,0從4.20 mm減少到3.12 mm，減小了26%，y2,0從3.65 mm減少到2.56 mm，減小了30%.

由此可見，合理提高地基反力系數是控制路基過量沉降的有效措施之一，但當地基反力系數大于某一值時，提高地基反力系數對減小路基路面沉降的作用不再明顯.

3.5 地基土固結度的影響

圖12 y1,0與U的關系

圖12，圖13為路面板中點的撓度變形y1,0、土工格室加筋墊層中點的撓度變形y2,0與地基土固結度U的關系曲線.對于飽和軟粘土地基，當其它條件不變時，隨著時間的推移，地基土排水固結，固結變形不斷增大，從而使得路面板中點和土工格室加筋墊層中點的撓度變形都隨著地基土固結度的增大而增大.由圖12，圖13可見，當固結度U從20%增至100%時，路面板中點的撓度變形y1,0從5.62 mm增加到25.09 mm，加筋墊層中點的撓度變形y2,0從5.09 mm增加到24.63 mm.

圖13 y2,0與U的關系

4 結 語

1)將土工格室加筋路堤中的路面板結構視為上梁，土工格室加筋墊層視為下梁，采用Winkler彈性地基模型模擬路堤填土，Kelvin地基模型模擬墊層下地基土以考慮地基土體隨時間的排水固結作用，基于Euler雙層梁理論導得土工格室加筋體的撓曲變形微分方程，并獲得解析解.通過與傳統彈性地基梁法計算結果的比較分析驗證了本文解答的正確性.

2)本文撓曲變形計算方法從車輛荷載是直接作用路面板結構，并經由路堤填土傳遞至格室加筋墊層，再通過加筋墊層作用于地基土的這一荷載傳遞實際出發(fā)，可考慮路面板-路堤填土-土工格室加筋墊層-地基土之間的相互作用對土工格室撓曲變形的影響.

3)基于本文理論，探討分析了格室體剛度、路堤填土剛度、地基土剛度、地基土固結度等4個因素對路面板結構及土工格室加筋墊層受力變形的影響，研究表明：格室體剛度增大10倍，路面板結構及格室加筋墊層的撓取變形減小值在5%以內；但地基反力系數增大10倍，路面板結構及格室加筋墊層的撓取變形減小值在80%以上.因此在實際設計過程中可優(yōu)先考慮通過有效地基處理增大地基土的剛度以達到減小路面沉降的目的.

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Deformation Calculation of Geocell Reinforcement Based on the Double Euler Beams Theory

ZHANG Ling?，CHENG Qingui，ZHAO Minghua

(College of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China )

1674-2974(2017)09-0114-08

10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2017.09.014

2016-07-23

國家自然科學基金資助項目(青年基金)(51208191)，National Natural Science Foundation of China(51208191)

張玲(1982-)，女，浙江臨海人，湖南大學副教授，博士

?通訊聯系人，E-mail：zhanglhd@163.com

TU443

A