一種特殊的多米諾擴(kuò)縮運(yùn)算

劉小青 許 進(jìn)

?

一種特殊的多米諾擴(kuò)縮運(yùn)算

劉小青 許 進(jìn)*

(北京大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 北京 100871);(北京大學(xué)高可信軟件技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100871)

該文提出一種稱為334擴(kuò)縮運(yùn)算的多米諾擴(kuò)縮運(yùn)算。使用該運(yùn)算構(gòu)造了一類特殊的極大平面圖——334-型極大平面圖，證明了該類圖均為樹(shù)型2-色不變?nèi)χ?，且每個(gè)-階334-型極大平面圖恰有個(gè)2-色不變?nèi)χ皞€(gè)樹(shù)著色。證明了該運(yùn)算可用于構(gòu)造純樹(shù)著色極大平面圖，并提出猜想：若極大平面圖是純樹(shù)(純?nèi)?，混?著色，則對(duì)實(shí)施334擴(kuò)(縮)輪運(yùn)算后，所得之圖仍是純樹(shù)(純?nèi)Γ旌?著色。

半封漏斗；樹(shù)型2-色不變?nèi)χ患儤?shù)著色；334擴(kuò)輪運(yùn)算

1 引言

文獻(xiàn)[6,7]對(duì)平面圖的著色類型進(jìn)行了研究，將著色分為樹(shù)著色和圈著色，依據(jù)著色類型將4-色平面圖分為3類：純樹(shù)著色型、純?nèi)χ秃突旌现?，并提出了純?shù)著色猜想“一個(gè)平面圖是純樹(shù)著色圖當(dāng)且僅當(dāng)它是正二十面體或啞鈴極大平面圖”，若該猜想成立，則著名的已有43年歷史的唯一4-色平面圖猜想成立。文獻(xiàn)[13]定義了一類特殊的圈著色2-色不變?nèi)χ诖嘶A(chǔ)上，將4-色非Kempe平面圖的Kempe等價(jià)類分為樹(shù)型，圈型和循環(huán)圈型，這也是非Kempe平面圖存在的根源。若一個(gè)-色圖的都有-著色構(gòu)成一個(gè)Kempe等價(jià)類，則稱該圖為Kempe圖。

本文給出了一種構(gòu)造具有相同著色類型的極大平面圖類的方法，包含334擴(kuò)輪運(yùn)算和334縮輪運(yùn)算。具體安排如下：第2節(jié)給出了334擴(kuò)輪運(yùn)算及334縮輪運(yùn)算的定義；第3節(jié)基于334擴(kuò)縮運(yùn)算研究了一類樹(shù)型2-色不變?nèi)χ珮O大平面圖334-型極大平面圖的基本性質(zhì)；第4節(jié)討論了334-型極大平面圖的著色性質(zhì)；第5節(jié)給出了用334擴(kuò)輪運(yùn)算構(gòu)造純樹(shù)著色極大平面圖的方法。

文中未給出的相關(guān)定義、記號(hào)與理論參見(jiàn)文獻(xiàn)[6,13-15]。

圖1 漏斗與45-型半封漏斗子圖

2 334擴(kuò)縮運(yùn)算

把圖1(a)中所示的圖稱為漏斗，其中度數(shù)為1的頂點(diǎn)稱為漏頂；度數(shù)為3的頂點(diǎn)稱為漏腰；2個(gè)度數(shù)為2的頂點(diǎn)稱為漏底。若一個(gè)圖的頂點(diǎn)導(dǎo)出子圖是漏斗，則該子圖稱為漏斗子圖。334擴(kuò)縮運(yùn)算本質(zhì)上是一種多米諾擴(kuò)縮運(yùn)算[14]，其中，334擴(kuò)輪運(yùn)算包含2次擴(kuò)3-輪運(yùn)算以及一次擴(kuò)4-輪運(yùn)算；334縮輪運(yùn)算包含2次縮3-輪運(yùn)算以及一次縮4-輪運(yùn)算。設(shè)是一個(gè)極大平面圖，圖是一個(gè)標(biāo)號(hào)如圖1(b)所示的半封漏斗。若是的一個(gè)子圖，且，，則稱是的一個(gè)45-型半封漏斗子圖，簡(jiǎn)稱為45-型子圖。

334擴(kuò)輪運(yùn)算的對(duì)象圖是極大平面圖中的45-型子圖。334擴(kuò)輪運(yùn)算，記作，是指按照如下步驟，將的一個(gè)45-型子圖(如圖1(b)所示)變成圖2(a)~2(d)中最右邊所示構(gòu)形的過(guò)程：

圖2 選擇不同漏腰和漏底的334擴(kuò)輪運(yùn)算過(guò)程示意圖

(2)在圖2(a)與圖2(d)中，2個(gè)最右邊構(gòu)形的區(qū)別僅是構(gòu)形的內(nèi)部頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)不同，若對(duì)一個(gè)極大平面圖的同一個(gè)45-型子圖分別實(shí)施如圖2(a)和圖2(d)所示過(guò)程的334擴(kuò)輪運(yùn)算，則得到2個(gè)相同的極大平面圖，故視這2個(gè)構(gòu)形是相同的；同理，圖2(b)與圖2(c)中2個(gè)最右邊的構(gòu)形是相同的。

圖3(a)，圖3(d)，圖3(e)，圖3(h)中最右邊構(gòu)形的區(qū)別僅是構(gòu)形的頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)方式不同，對(duì)一個(gè)極大平面圖的同一個(gè)334子圖分別實(shí)施如圖3(a)，圖3(d)，圖3(e)，圖3(h)所示過(guò)程的334縮輪運(yùn)算，則得到4個(gè)相同的極大平面圖，故視圖3(a)，圖3(d)，圖3(e)，圖3(h)中最右邊的構(gòu)形是相同的；同理，圖3(b)，圖 3(c)，圖3(f)，圖3(g)中最右邊的構(gòu)形是相同的。

圖3 選擇不同被收縮點(diǎn)對(duì)的334縮輪運(yùn)算過(guò)程示意圖

3 334-型極大平面圖

3.1334-型極大平面圖及構(gòu)造

圖4所示的圖是階數(shù)最小的最小度為4且含45-型子圖的極大平面圖，稱為8-階334-型極大平面圖，記作。

3.2 334-型極大平面圖的基本性質(zhì)

由定理2可推出下述結(jié)論：

證明 由前面討論知，任意334子圖僅有一個(gè)與之不相同的334子圖。

圖4 8-階334-型極大平面圖 圖5 2個(gè)12-階334-型極大平面圖

若將圖5(a)中上方的334子圖替換為與之不相同的334子圖，如圖6(a)所示，則得到一個(gè)與圖5(b)同構(gòu)的圖；若將圖5(a)中下方的334子圖替換為與之不相同的334子圖，如圖6(b)所示，則得到一個(gè)與圖5(b)同構(gòu)的圖。若將圖5(b)中的任意一個(gè)334子圖替換為與之不相同的334子圖，則得到與圖5(a)同構(gòu)的圖。故時(shí)結(jié)論成立。

圖6 定理3證明示意圖

由推論1和定理3，可直接推出下述結(jié)論：

定理4 每個(gè)334-型極大平面圖恰有4個(gè)4度頂點(diǎn)。

8-階334-型極大平面圖為如圖4所示的圖，其度序列為44445555，結(jié)論成立。12-階334-型極大平面圖共有2個(gè)，分別如圖5(a)，圖5(b)所示，它們均恰含4個(gè)4度頂點(diǎn)，結(jié)論成立。

圖7 2個(gè)不相同的334子圖　　　　　　圖8 2個(gè)不相同的45-型子圖

4 334-型極大平面圖著色性質(zhì)

在擴(kuò)4-輪運(yùn)算過(guò)程中，對(duì)象子圖2-長(zhǎng)路的內(nèi)點(diǎn)被劃開(kāi)成為2個(gè)頂點(diǎn)，如圖9所示，將該內(nèi)點(diǎn)稱為擴(kuò)點(diǎn)，由劃開(kāi)產(chǎn)生的2個(gè)頂點(diǎn)稱為擴(kuò)點(diǎn)的拷貝頂點(diǎn)。類似，把擴(kuò)5-輪運(yùn)算對(duì)象子圖的漏腰稱為擴(kuò)點(diǎn)，擴(kuò)點(diǎn)被劃開(kāi)后產(chǎn)生的2個(gè)頂點(diǎn)稱為擴(kuò)點(diǎn)的拷貝頂點(diǎn)。

圖9 擴(kuò)縮4-輪運(yùn)算的示意圖

圖10 的所有著色

定理5 每個(gè)334-型極大平面圖均是樹(shù)型2-色不變?nèi)χ?/p>

圖11 的所有著色

圖12 的所有著色

證畢

5 構(gòu)造純樹(shù)著色極大平面圖

利用334擴(kuò)輪運(yùn)算，除了構(gòu)造334-型極大平面圖，還可以構(gòu)造其它非常重要的圖類，例如，純樹(shù)著色極大平面圖。7至11階最小度的極大平面圖共有54個(gè)[14]，其中純樹(shù)著色的圖只有1個(gè)[6,7]，記作，如圖13(a)所示。共有3個(gè)45-型子圖。對(duì)其中的任意一個(gè)45-型子圖實(shí)施334擴(kuò)輪運(yùn)算，均得到如圖13(b)所示的13-階純樹(shù)著色極大平面圖，記為。

由定理5知，從一個(gè)最小度為4的8-階樹(shù)型2-色不變?nèi)χ珮O大平面圖出發(fā)，實(shí)施任意次數(shù)的334擴(kuò)輪運(yùn)算后，所得之圖均是樹(shù)型2-色不變?nèi)χ?；再由定?知，從一個(gè)最小度為4的9-階純樹(shù)著色極大平面圖出發(fā)，實(shí)施任意次數(shù)的334擴(kuò)輪運(yùn)算后，所得之圖也都是純樹(shù)著色的?；谶@些結(jié)論，我們進(jìn)一步提出如下猜想：

圖13 和

6 結(jié)束語(yǔ)

本文給出了一種稱為334擴(kuò)縮運(yùn)算的擴(kuò)縮運(yùn)算，它能夠構(gòu)造具有相同著色類型的4-色極大平面圖。在后續(xù)工作中，我們將對(duì)文中給出的猜想予以論證，并進(jìn)一步研究不同著色類型圖所具有的特殊性質(zhì)。

[1] MOHAR B. Kempe Equivalence of Colorings[M]. Graph Theory in Paris. Birkh?user Basel, 2006: 287-297. doi: 10.1007/978-3-7643-7400-6_22.

[2] VERGNAS M L and MEYNIEL H. Kempe classes and the Hadwiger conjecture[J]., 1981, 31(1): 95-104. doi: 10.1016/S0095-8956(81) 80014-7.

[3] FEGHALI C, JOHNSON M, and PAULUSMA D. Kempe equivalence of colourings of cubic graphs[J]., 2015, 49: 243-249. doi: 10.1016/ j.endm.2015.06.034.

[4] MCDONALD J, MOHAR B, and SCHEIDE D. Kempe equivalence of edge-colorings in subcubic and subquartic graphs[J]., 2012, 70(2): 226-239. doi: 10.1002/jgt.20613.

[5] BELCASTRO S M and HAAS R. Counting edge-Kempe- equivalence classes for 3-edge-colored cubic graphs[J]., 2014, 325(13): 77-84. doi: 10.1016/ j.disc.2014.02.014.

[6] 許進(jìn). 極大平面圖的結(jié)構(gòu)與著色理論(3): 純樹(shù)著色與唯一4-色極大平面圖猜想[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2016, 38(6): 1328-1353. doi: 10.11999/JEIT160409.

XU J. Theory on structure and coloring of maximal planar graphs(3): Purely tree-colorable and uniquely 4-colorable maximal planar graph conjectures[J].&, 2016, 38(6): 1328-1353. doi: 10.11999/JEIT160409.

[7] XU J, LI Z P, and ZHU E Q. On purely tree-colorable planar graphs[J]., 2016, 116(8): 532-536. doi: 10.1016/j.ipl.2016.03.011.

[8] GREENWELL D and KRONK H V. Uniquely line-colorable graphs[J]., 1973, 16(4): 525-529. doi: 10.4153/CMB-1973-086-2.

[9] THOMASON A G. Hamiltonian cycles and uniquely edge colourable graphs[J]., 1978, 3: 259-268. doi:10.1016/S0167-5060(08)70511-9.

[10] FIORINI S and WILSON R J. Edge colouring of graphs[J]., 1977, 23(1): 237-239.

[11] FISK S. Geometric coloring theory[J]., 1977, 24(3): 298-340. doi: 10.1016/0001-8708 (77)90061-5.

[12] TOMMY R J and BJARNE T. Graph Coloring Problems[M].New York: USA, John Wiley & Sons, Inc., 1994: 1-295.

XU J. Theory on structure and coloring of maximal planar graphs (4):-operations and Kempe equivalent classes[J].&, 2016, 38(7): 1557-1585. doi: 10.11999/JEIT160483.

[14] 許進(jìn). 極大平面圖的結(jié)構(gòu)與著色理論(2): 多米諾構(gòu)形與擴(kuò)縮運(yùn)算[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2016, 38(6): 1271-1327. doi: 10.11999/JEIT160224.

XU J. Theory on structure and coloring of maximal planar graphs(2): Domino configurations and extending-contracting operations[J].&, 2016, 38(6): 1271-1327. doi: 10.11999/JEIT 160224.

[15] BONDY J A and MURTY U S R. Graph Theory[M]. New York: USA, Springer, 2008: 8-200.

劉小青： 女，1986年生，博士生，研究方向?yàn)閳D論與組合優(yōu)化.

許 進(jìn)： 男，1959年生，教授，研究方向?yàn)閳D論與組合優(yōu)化、生物計(jì)算機(jī)、社交網(wǎng)絡(luò)與信息安全等.

Special Type of Domino Extending-contracting Operations

LIU Xiaoqing XU Jin

(,,100871,);(,,100871,)

In this paper, a new domino extending-contracting operation, called 334 extending-contracting operation, is put forward, on the basis of which, it is proposed to construct a particular kind of graphs, i.e., 334-type maximal planar graphs, and proved that all those graphs are tree-type and 2-chromatic cycle-unchanged colored and every 334-type maximal planar graphs of orderhas exactly2-chromatic cycled-unchanged colorings andtree-colorings. Additionally, it is proved that an infinite family of purely tree-colored graphs can be generated by implementing a series of 334 extending-wheel operations, and conjectured that if a maximal planar graphis purely tree-colored (purely cycle-colored or impure-colored), then the graph obtained by implementing one 334 extending-wheel (contracting-wheel) operation onis still purely tree-colored (purely cycle-colored or impure-colored).

Semi-funnels; Tree-type and 2-chromatic cycle-unchanged colored; Purely tree-colored; 334 extending- wheel operations

O157.5

A

1009-5896(2017)01-0221-10

10.11999/JEIT160886

2016-08-29；改回日期：2016-12-06；

2016-12-14

許進(jìn) jxu@pku.edu.cn

國(guó)家973計(jì)劃項(xiàng)目(2013CB329600)，國(guó)家自然科學(xué)基金(61372191, 61472012, 61472433, 61572046, 61502012, 61572492, 61572153, 61402437)

The National 973 Program of China (2013CB329600), The National Natural Science Foundation of China (61372191, 61472012, 61472433, 61572046, 61502012, 61572492, 61572153, 61402437)