巴拿赫空間中斜演化半流的多項(xiàng)式三分性的2個(gè)刻畫

岳田

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院，湖北 十堰 442002）

巴拿赫空間中斜演化半流的多項(xiàng)式三分性的2個(gè)刻畫

岳田

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院，湖北 十堰 442002）

分別利用2個(gè)和4個(gè)投影族給出了巴拿赫空間中斜演化半流的多項(xiàng)式三分性的2個(gè)刻畫。

巴拿赫空間；斜演化半流；多項(xiàng)式三分性

Abstract:Two characterizations for the polynomial trichotomy of skew-evolution semiflows in Banach spaces were given by means of two projection families and four projection families respectively.

Key words:Banach space;skew-evolution semiflows;polynomial trichotomy

近年來關(guān)于有限或無限維Banach空間中演化方程解的漸近行為（穩(wěn)定性、膨脹性、二分性、三分性）研究取得了突破性的進(jìn)展，獲得了非常豐富的成果［1-10］。作為二分性的推廣，三分性成了動(dòng)力系統(tǒng)最為復(fù)雜的漸近性質(zhì)之一，尤其在解決分歧理論中起著重要作用。關(guān)于三分性的概念首先由Sack?er和Sell引入［1］，接著Elaydi與Hajek給出了微分系統(tǒng)指數(shù)三分的概念［2-3］，隨后關(guān)于三分性的研究獲得了極大關(guān)注。如文獻(xiàn)［4］研究了Banach空間中演化算子一致指數(shù)三分的充要條件；文獻(xiàn)［5］給出了Banach空間中演化算子一致指數(shù)三分的等價(jià)定義；文獻(xiàn)［6］利用斜積流對(duì)相應(yīng)的動(dòng)力系統(tǒng)的指數(shù)三分性及容許性進(jìn)行了刻畫。

由于斜演化半流在刻畫動(dòng)力系統(tǒng)的漸近行為方面比強(qiáng)連續(xù)算子半群、演化算子、斜積流更為合適，進(jìn)而近年來對(duì)其研究較多［7-10］。因?yàn)橹笖?shù)型漸近行為的條件要求比較苛刻，對(duì)其適當(dāng)弱化，則導(dǎo)致了多項(xiàng)式漸近行為的相關(guān)概念產(chǎn)生，如文獻(xiàn)［10］對(duì)Banach空間中斜演化半流的一致多項(xiàng)式穩(wěn)定性及一致多項(xiàng)式不穩(wěn)定性的性質(zhì)進(jìn)行了研究。文中在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，給出Banach空間中斜演化半流的多項(xiàng)式三分性的2個(gè)刻畫。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)(X,d)為一度量空間，V為一實(shí)或復(fù)的Ban?ach空間，B(V)為V上所有有界線性算子全體構(gòu)成的集合。記I為V上的恒等算子，

定義1［7-8］映射φ:T×X→X稱為X上的演化半流，如果滿足

式中：?t≥0，?(t,s)，(s,t0)∈Δ；?x∈X。

定義2［7-8］映射Φ:T×X→B(X)稱為演化半流φ上的演化上循環(huán)，如果滿足

式中：?(t,s),(s,t0)∈Δ，?(t,x)∈R+×X，?x∈X。

定義3［7-8］映射C:T×Y→Y，

稱為Y上的斜演化半流，其中Φ為演化半流φ上的演化上循環(huán)。

定義4［9］稱映射P:X→B(V)為V上的投影族，如果滿足P2(x)=P(x),?x∈X。

定義5 稱三投影族{Pi}i∈{1,2,3}與斜演化半流C=(φ,Φ)相容，如果滿足

式中：?x∈X，?x∈X，?i,j∈{1,2,3}，i≠j，?(t,s,x)∈Δ×X，?(x,v)∈Y。

定義6 稱斜演化半流C=(φ,Φ)為多項(xiàng)式三分，如果存在常數(shù)α1,α2＞1，非減函數(shù)N:R+→[1,+∞)及3個(gè)與C相容的投影族{Pi}i∈{1,2,3}使得

對(duì)?(t,s,r,x,v)∈Θ×Y成立。

2 主要結(jié)論

眾所周知，多項(xiàng)式二分性是利用2個(gè)投影族來進(jìn)行刻畫，多項(xiàng)式三分性作為其推廣。利用2個(gè)投影族來刻畫斜演化半流的多項(xiàng)式三分性。

定義7 稱投影族{Ri}i∈{1,2}與斜演化半流C=(φ,Φ)相容，如果滿足

式中：?x∈X,?(x,v)∈Y,?(t,s,x)∈Δ×X,?i∈{1,2}。

定理1 斜演化半流C=(φ,Φ)是多項(xiàng)式三分的，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)α1,α2＞1，非減函數(shù)N:R+→[1,+∞)及2個(gè)與C相容的投影族{Ri}i∈{1,2}使得

對(duì)?(t,s,r,x,v)∈Θ×Y成立。

證明：必要性。令R1=P1，R2=P2。則由定義5中式（10）～（12）可知定義7中式（17）～（18）和式（21）成立。利用式（9）和式（11）可得

對(duì)?(x,v)∈Y成立，即式（19）成立，類似可得式（20）成立。投影族R1,R2與斜演化半流C相容。

顯然由定義6中式（13）～（14）可得式（22）～（23）。由式（11）～（12）和式（14）～（15）可得

對(duì)?(t,s,r,x,v)∈Θ×Y成立，即式（24）成立，類似可得式（25）。

充分性。令P1=R1,P2=R2,P3=I-R1-R2。則由式（17）～（21）可得式（9）～（12）成立。而且有（22）?（13），（23）?（14），下證式（15）。

由于P3=(I-R1)(I-R2)，利用式（24）得

對(duì)?(t,s,r,x,v)∈Θ×Y成立，即式（15）成立，類似可證式（16）。從而斜演化半流C是多項(xiàng)式三分的。

為了利用4個(gè)投影族來刻畫斜演化半流的多項(xiàng)式三分性質(zhì)，先給出定義8。

定義8 稱投影族{Ti}i∈{1,2,3,4}與斜演化半流C=(φ,Φ)相容，如果滿足如下條件：

式中：?(t,s,x)∈Δ×X，?(x,v)∈Y，?i∈{1,2,3,4}，?x∈X。

定理2 斜演化半流C=(φ,Φ)是多項(xiàng)式三分的當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)α1,α2＞1，非減函數(shù)N:R+→[1,+∞)以及4個(gè)與C相容的投影族{Ti}i∈{1,2,3,4}使得

對(duì)?(t,s,r,x,v)∈Θ×Y成立。

證明：類似定理1，此處略。

［1］Sacker R J，Sell G R.Existence of Dichotomies and In?variant Splittings for Linear Differential Systems,III［J］.Journal of Differential Equations，1976，22（2）：497-522.

［2］Elaydi S，Hajek O.Exponential Trichotomy of Differential Systems［J］.Journal of Mathematical Analysis&Applica?tions，1988，129（2）：362-374.

［3］Elaydi S，Hajek O.Exponential Dichotomy and Trichoto?my of Nonlinear Differential Equations［J］.Differential&Integral Equations，1990，3（6）：1201-1224.

［4］Megan M，Stoica C.On Uniform Exponential Trichotomy of Evolution Operators in Banach Spaces［J］.Integral Equations&Operator Theory，2008，64（4）：499-506.

［5］Megan M，Stoica C.Equivalent Definitions for Uniform Exponential Trichotomy of Evolution Operators in Banach Spaces［J］.Hot Topics Oper.Th.，2008，9（1），151-158.

［6］Sasu A L，Sasu B.Admissibility and Exponential Trichoto?my of Dynamical Systems Described by Skew-product Flows［J］.Journal of Differential Equations，2016，260（2）：1656-1689.

［7］Megan M，Stoica C.Exponential Instability of Skew-evo?lution Semiflows in Banach Spaces［J］.Stud.Univ.“Babes-Bolyai”Math.，2008，53（1）：17-24.

［8］Stoica C，Megan M.On Uniform Exponential Stability for Skew-evolution Semiflows on Banach Spaces［J］.Nolin?ear Analysis，2010，72（3）：1305-1313.

［9］Stoica C.Trichotomy for Dynamical Systems in Banach Spaces［J］.The Scientific World Journal，2013：Article ID 793813，1-8.

［10］岳田，雷國(guó)梁，宋曉秋.線性斜演化半流一致指數(shù)膨脹性的若干刻畫［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2016（3）：433-442.

Two Characterizations for the Polynomial Trichotomy of Skew-evolution Semiflows in Banach Spaces

Yue Tian
（SchoolofScience,HubeiUniversity ofAutomotive Technology,Shiyan 442002,China）

O177.2

A

1008-5483（2017）03-0059-03

10.3969/j.issn.1008-5483.2017.03.015

2017-02-28

湖北省自然科學(xué)基金（2014CFB629）；湖北汽車工業(yè)學(xué)院校預(yù)研基金（2014XY06）；湖北汽車工業(yè)學(xué)院本科教學(xué)建設(shè)與改革項(xiàng)目（JX201766）

岳田（1988-），男，四川南江人，助教，碩士，從事微分系統(tǒng)定性理論的研究。E-mail：ytcumt@163.com