浮式結(jié)構(gòu)物二階波浪力求解方法比較研究

歐紹武，付世曉

(1. 上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240; 2. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

浮式結(jié)構(gòu)物二階波浪力求解方法比較研究

歐紹武1, 2，付世曉1, 2

(1. 上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240; 2. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

對遠(yuǎn)場法、近場法和中場法這幾種常用的二階波浪力計算方法進(jìn)行了總結(jié)，并結(jié)合算例對它們之間的差異進(jìn)行了研究，重點(diǎn)分析了網(wǎng)格密度、浮體形狀、水深等因素的影響。此外，還對全QTF法和Newman近似這兩種不規(guī)則波中的二階力計算方法進(jìn)行了討論，比較了不同水深條件下兩種方法求得的二階波浪力譜之間的差異。研究結(jié)果表明，遠(yuǎn)場和中場法給出的結(jié)果基本一致，且具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性；而近場法受網(wǎng)格密度、浮體形狀等因素影響較大；Newman近似給出的結(jié)果在頻率較低時與全QTF法接近，但在頻率較高時存在一定的誤差。

二階波浪力；遠(yuǎn)場法；近場法；中場法；全QTF法；Newman近似

Abstract: The commonly used methods in calculating second-order wave drift forces, such as far-field integration, near-field integration and middle-field integration, are summarized. The difference between these methods are studied by several examples, with special emphasis on element density, model shape and water depth. In addition, the drift forces in irregular sea with different water depths are calculated by both full-QTF method and Newman’s approximate, and the difference between two methods is further discussed through spectrum analysis. The results show that far-field integration and middle-filed integration give similar results with better robustness, while near-field integration is largely influenced by element density and model shape. It also shows that the results given by the Newman’s approximation are close to those by the full QTF method at low frequencies, but with certain errors when the frequency is higher.

Keywords: second-order drift force; far-field integration; near-field integration; middle-field integration; full-QTF; Newman’s approximate

對于海洋結(jié)構(gòu)物而言，在不規(guī)則波浪的作用下，受到的波浪力包含一階和二階成分。一階波浪力幅值較大，與波高成線性關(guān)系且頻率與波浪相同。而二階波浪力包括定常二階力、低頻二階力和高頻二階力三部分，幅值相對較小，且與波高的平方成比例。由于二階波浪力的存在，使得波浪中的海洋結(jié)構(gòu)物不僅存在波頻的搖蕩運(yùn)動，而且還存在長周期的漂移運(yùn)動，這一運(yùn)動的頻率遠(yuǎn)低于不規(guī)則波的特征頻率。對于錨泊的海洋浮式結(jié)構(gòu)物如FPSO、半潛平臺等而言，二階波浪力中的低頻成分有可能與錨泊系統(tǒng)的固有頻率接近而產(chǎn)生共振，從而引起相當(dāng)大的水平運(yùn)動，在錨泊系統(tǒng)中產(chǎn)生較大的附加應(yīng)力，對錨泊系統(tǒng)的安全構(gòu)成威脅。

對二階波浪力的深入研究源于20世紀(jì)60年代。Maruo[1]在由自由面、物面以及一個遠(yuǎn)離浮體的控制面圍城的流域內(nèi)，應(yīng)用動量和能量守恒方程，得到了浮體在規(guī)則波中的平均二階力的表達(dá)式。該理論之后由Newman[2]及Faltinsen等[3]加以推廣。上述方法均是在遠(yuǎn)離浮體的控制面上積分，具有計算簡便的優(yōu)點(diǎn)，但只能求出二階力中的定常部分，被稱為遠(yuǎn)場積分法。后來，Molin[4], Pinkster[5], Ogilvie[6]等提出了壓力積分法，直接求出物面上壓力的所有二階分量，然后在物面上積分，求得二階力在各坐標(biāo)軸上的分量。這種方法又被稱為近場積分法，它可以清晰地顯示出二階力的各種組成部分，能夠用于計算定常、低頻和高頻二階力。但與遠(yuǎn)場積分相比，該方法計算相對復(fù)雜費(fèi)時，計算結(jié)果容易受物面形狀及網(wǎng)格劃分的影響。近年來，Chen[7]在近場積分法的基礎(chǔ)上提出一種新的二階力計算方法，被稱為中場積分法。其做法是首先在浮體附近建立一個控制面，然后利用斯托克斯公式和高斯公式，將近場積分法公式中對物面的積分轉(zhuǎn)化成在控制面及平均水線面上的積分。這一方法能夠用于計算定常、低頻和高頻二階力，同時，由于控制面可以選取解析的性狀，避免了浮體表面網(wǎng)格劃分對速度勢求解精度的影響，具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。

對不規(guī)則波中的浮式錨泊系統(tǒng)而言，低頻二階力預(yù)報是十分重要的。對于低頻二階力的計算，可以采用近場積分法或者中場積分法求解完整的二階傳遞函數(shù)矩陣，被稱為全QTF法，但這些方法需要求解二階速度勢，求解過程極其耗時。工程中常使用Newman[8]提出的利用定常二階力近似低頻二階力的方法，該方法被稱為Newman近似。

在錨泊浮式海洋結(jié)構(gòu)物的運(yùn)動響應(yīng)預(yù)報中，選取合適的方法，對二階波浪力進(jìn)行準(zhǔn)確考慮是十分重要的。在以往的研究中，有學(xué)者曾分別對上述方法中的某一種或兩種的特點(diǎn)進(jìn)行過討論[9-12]，但這些研究均是基于某一特定的船型開展的，得出的結(jié)論存在一定的局限性。本文首先對上述幾種常用的二階力計算理論進(jìn)行了梳理，隨后結(jié)合一些算例就網(wǎng)格劃分、物體形狀、水深等因素對這幾種方法計算結(jié)果的影響進(jìn)行了分析，并在此基礎(chǔ)上對它們的適用性進(jìn)行了討論。

1 基本理論

1.1勢流理論

為了討論浮體在波浪中的運(yùn)動，這里定義三個坐標(biāo)系[13]，分別是：大地坐標(biāo)系OXYZ，原點(diǎn)位于靜水面上，用于描述波浪入射角β；隨體坐標(biāo)系OAXAYAZA，原點(diǎn)固結(jié)在浮體重心處，隨船一起搖蕩；參考坐標(biāo)系OBXBYBZB，原點(diǎn)始終位于浮體的平衡位置，不隨浮體一起搖蕩，當(dāng)浮體靜止時，其與隨體坐標(biāo)系重合。三個坐標(biāo)系均為右手系，Z軸垂直向上，浮體靜止時，三個坐標(biāo)系的X,Y軸平行，如圖1所示。

圖1 坐標(biāo)系及浪向角定義Fig. 1 Definition of coordinate system and wave direction

本文討論的浮體二階波浪力計算基于勢流理論，流體滿足無黏、無旋、不可壓縮三個基本假定，當(dāng)簡諧的入射波頻率為ω時，總的速度勢可以表示為：

其中，φI是入射勢；φD為繞射勢，是固定不動的結(jié)構(gòu)物在入射波作用下產(chǎn)生的速度勢；φR表示輻射勢，是浮體在靜水中搖蕩產(chǎn)生的速度勢。φp=φD+φR是由于結(jié)構(gòu)物存在而產(chǎn)生的速度勢，又稱為擾動勢。

速度勢滿足下列定解條件：

1)Laplace方程：

2φ=0 (流域內(nèi))

2)統(tǒng)一的線性化的自由面條件：

3)物面條件：

其中，(n1,n2,n3)=n，(n4,n5,n6)=r×n，n表示浮體表面某點(diǎn)的單位外法向量；r表示從浮體隨體系原點(diǎn)到該點(diǎn)的矢徑。

4)水底條件：

5)遠(yuǎn)方輻射條件：

假設(shè)海底是水平的，自由表面無限長，根據(jù)Airy波理論可以得到入射勢的表達(dá)式為：

其中，A為波幅，β為浪向角，h為水深，k為波數(shù)。由色散關(guān)系確定：

輻射勢和繞射勢的定解問題可以利用格林函數(shù)法求得。在柱坐標(biāo)系(R,θ,z)下，距離浮體很遠(yuǎn)(R→∞)的某點(diǎn)的繞射勢和輻射勢可以表示為[7]：

其中，K(θ)稱為Kochin函數(shù)，定義為：

式中：S為浮體的濕表面；σ(Q)為表面的源強(qiáng)。

1.2遠(yuǎn)場法

遠(yuǎn)場法的基本思想是在由物面S、自由面SF、半徑無限大的垂直柱面S∞和水底平面SB圍成的流域內(nèi)，運(yùn)用動量和能量守恒方程，得到浮體所受的平均二階力。Newman[2]給出的平均二階力的表達(dá)式為：

從表達(dá)式來看，遠(yuǎn)場法是在一個柱面上積分，對浮體表面網(wǎng)格劃分不敏感，因此具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性，在工程中被廣泛應(yīng)用。但同時，由于遠(yuǎn)場法需要選取無限大控制面，故只能用于計算單浮體的平均二階力。

1.3近場法

近場法的基本思想是直接求出物面上壓力所有的二階分量，并在物面上進(jìn)行積分，以求得二階波浪力(力矩)在各坐標(biāo)軸上的分量。具體做法是將速度勢、壓力、瞬時波面升高、運(yùn)動向量等均展開成ε的級數(shù)的形式，然后在浮體的瞬時濕表面上積分，并精確至二階[13]：

注意式中已將浮體的瞬時濕表面分成平均濕表面S0，和因波浪及浮體運(yùn)動引起的濕表面變化ΔS。式中帶括號的上標(biāo)(0)、(1)、(2)表示對應(yīng)物理量的階次。

p(0)，p(1)，p(2)分別為靜壓力、一階動壓力和二階動壓力，由下面的式子確定：

注意這里為了避免混亂，引入了符號x1,x2,x3來表示x,y,z三個方向。類似的，后面還將使用α1,α2,α3來表示α,β,γ三個歐拉角。式中，向量X表示浮體表面一點(diǎn)在參考坐標(biāo)系下的位置，定義為：

浮體表面法向N的定義與X類似，為：

N=n+α(1)×n+D·n=n(0)+εN(1)+ε2N(2)

將上面式子代入式(18)，保留二階項(xiàng)可以得到二階漂移力的表達(dá)式如下：

在不規(guī)則海況中，入射波可以記為各種頻率的規(guī)則波的疊加，即：

若只研究差頻二階力，則可將表達(dá)式化簡成以下形式：

從近場法的推導(dǎo)過程可知，該方法具有普適性，能應(yīng)用于單體或者多體系統(tǒng)，并能夠給出六個自由度上包括定常、低頻和高頻成分在內(nèi)的所有二階力分量。但由于近場法需要在船體表面積分，在船體表面存在尖角的地方容易產(chǎn)生奇點(diǎn)，進(jìn)而對計算結(jié)果造成影響。

1.4中場法

中場法從近場法發(fā)展而來，其基本思想是在浮體附近建立一個封閉的控制面，然后對近場法的二階漂移力計算公式使用雙參數(shù)的斯托克斯公式和高斯公式，將其轉(zhuǎn)換成在浮體表面S、自由面SF及控制面C上的積分[7]，即：

F=ρ?S[Φ(·n)+()(X·n)]ds-ρg∮ΓΘkdl-

M=ρ?Sx×[Φ(·n)+()(X·n)]ds-ρg∮ΓΘ(x×k)dl-

式中：Γ為浮體與自由面的交線；ΓC為控制面與自由面的交線；Θ定義為：

式(22)，(23)是通用的公式，可用于計算包括和頻和差頻成分在內(nèi)的六個方向上的所有二階力。若只需計算平面內(nèi)三個方向(橫蕩、縱蕩和艏搖)的平均二階力，則可將上述公式進(jìn)一步簡化成在控制面及其與自由面的交線上的積分，即：

式中：〈·〉表示在一個周期內(nèi)取平均值。

從表達(dá)式來看，中場法將積分轉(zhuǎn)換成了在控制面及其與自由面交線上的積分，受物體幾何形狀影響較小，能夠應(yīng)用于單體或者多體的情況，并能給出六個自由度上的定常、低頻及高頻二階力。

1.5Newman近似

對不規(guī)則波中的浮式錨泊系統(tǒng)而言，低頻二階力預(yù)報是十分重要的。對于低頻二階力的計算，常用的方法主要有兩種：第一種是利用近場法式(19)或者中場法式(22)、式(23)直接計算完整的QTF矩陣，然后根據(jù)不規(guī)則波時歷計算低頻二階力，被稱為全QTF法；另一種方法是根據(jù)規(guī)則波下計算得到的平均二階力，使用近似的方法得到QTF矩陣，其中使用最廣泛的是Newman近似。

一般而言，ωi,ωj平面內(nèi)的所有頻率均對二階力有貢獻(xiàn)，但二階力的幅值通常都比較小，因此只有頻率接近錨泊系統(tǒng)固有頻率的二階力會對浮體的運(yùn)動響應(yīng)有明顯影響。頻率差Δω等于固有頻率ωn在ωi,ωj平面內(nèi)表示兩條線ωi=ωj±ωn，而大多數(shù)情況下，浮式錨泊系統(tǒng)在水平面內(nèi)運(yùn)動的固有頻率都遠(yuǎn)小于波浪頻率，此時這兩條線接近QTF矩陣的對角線。Newman近似[8]認(rèn)為，這種情況下QTF矩陣中的非對角元素Tωi,ωj可以用對角元Tωi,ωi來表示：

上式是原始的Newman近似公式，該式還有多種修正的表達(dá)式，其中使用最多的是[14]：

與全QTF法相比，Newman近似能夠極大地提高計算效率，在浮式錨泊系統(tǒng)固有頻率很低的情況下有較高的精度，但其完全忽略了二階速度勢的影響，在某些情況下的正確性有待討論。

2 數(shù)值計算

2.1數(shù)值模型

本文的數(shù)值計算主要基于Hydrostar軟件[15]，共涉及到兩種主尺度相近的模型，分別是方Weigly船和半橢球體，其主要參數(shù)如表1所示。

表1 模型的主要參數(shù)Tab. 1 Models’ main characteristic parameters

2.2浮體形狀及網(wǎng)格劃分的影響

為了研究網(wǎng)格劃分對不同二階力計算方法的影響，選取網(wǎng)格數(shù)為400、800、1 200、2 000和4 000五種情況，進(jìn)行比較分析。數(shù)值計算中的波浪頻率選取為0.05～2.5 rad/s，間隔0.05 rad/s，浪向角選取45°，浮體濕表面及中場積分法所用的控制面如圖2所示。

圖2 濕表面及控制面模型(網(wǎng)格數(shù)N=1 200)Fig. 2 Panel model of control surface and wet surface (element number N=1 200)

圖3給出了不同網(wǎng)格密度下Weigly船的一階縱蕩、橫蕩和艏搖運(yùn)動RAO。其中，無符號的曲線表示縱蕩；帶“o”的曲線表示橫蕩；帶“*”的曲線表示中場法艏搖。從計算結(jié)果來看，各網(wǎng)格密度下的結(jié)果吻合得很好，表明網(wǎng)格密度對一階運(yùn)動RAO沒有明顯的影響。

圖3 不同網(wǎng)格密度下Weigly船和橢球體的運(yùn)動RAOFig. 3 Motion RAOs of weigly ship and ellipsoid with different element densities

圖4給出了不同網(wǎng)格密度下，分別用遠(yuǎn)場法、近場法和中場法計算平均二階力的結(jié)果。其中，帶“x”的曲線表示遠(yuǎn)場法；帶“o”的曲線表示中場法；無符號的曲線表示近場法。

圖4 不同網(wǎng)格密度下Weigly船和橢球體的平均二階力Fig. 4 Mean drift force of Weigly ship and ellipsoid with different element densities

總體而言，三種方法給出結(jié)果隨頻率的變化趨勢相同，中場法和遠(yuǎn)場法給出的結(jié)果基本一致，且具有較好的收斂性。對于算例中的兩個模型，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)大于1 200時，中場法和遠(yuǎn)場法的結(jié)果基本不再隨網(wǎng)格數(shù)變化而變化；但對于近場法，在波浪頻率較大時，不同的網(wǎng)格密度下計算結(jié)果有較大的差異，隨著網(wǎng)格密度的提高，近場法與其它兩種方法的結(jié)果有趨同的傾向。此外，在波浪頻率較低時，三種方法的結(jié)果基本一致，但隨著波浪頻率的增大，近場法的結(jié)果與遠(yuǎn)場法和中場法的結(jié)果出現(xiàn)了一定的差異。值得注意的是，在波浪頻率為0.75～1 rad/s時，近場法給出的Weigly船的縱蕩二階力與中場法和遠(yuǎn)場法的結(jié)果有較大的差異，其原因可能是Weigly船的表面存在尖角，進(jìn)行壓力積分時這些地方容易產(chǎn)生奇點(diǎn)，進(jìn)而對計算結(jié)果造成影響。相比之下，表面相對光滑的橢球體則不存在這類問題，波浪頻率較低時(1.2 rad/s以下)三種方法的結(jié)果基本一致。

2.3水深的影響

一般而言，不同水深下浮體所受的波浪力及其運(yùn)動響應(yīng)存在一定的差異，常用的三種二階波浪力計算方法的原理不同，其在不同水深條件下給出的預(yù)報結(jié)果可能存在一定的差異。為了比較這種差異，這里以橢球體為例，網(wǎng)格數(shù)選取N=2 000，水深與吃水之比選取無限大(inf)，10，5，2，1.5五種情況進(jìn)行分析，如圖5所示。其中，帶“*”的曲線表示遠(yuǎn)場法；帶“o”的曲線表示中場法；無符號的曲線表示近場法。從圖5中的結(jié)果來看，在各種水深條件下，遠(yuǎn)場法給出的結(jié)果均與中場法一致。而對于近場法，由于算法的不同，在算例中的幾種水深條件下，給出的平均二階力結(jié)果與遠(yuǎn)場法和中場法略有差異，但隨水深變化的規(guī)律與基本一致，即隨水深的變淺而有一定程度的增大。這一現(xiàn)象表明，在淺水條件下預(yù)報平均二階力時，三種方法均適用。

圖5 不同水深下橢球體的平均二階力Fig. 5 Mean drift force of ellipsoid at different water depths

2.4Newman近似與全QTF法的差異

由于Newman近似簡單地根據(jù)二階傳遞函數(shù)的定常項(xiàng)(對角元項(xiàng))得到QTF矩陣的其余部分，這種做法難免會帶來一定的誤差。

圖6 橢球體的橫蕩QTF矩陣Fig. 6 Sway QTF matrix of ellipsoid

為了研究Newman近似與全QTF法的差異，這里以橢球體為例，網(wǎng)格數(shù)選取N=2 000，水深/吃水選取無限大，利用中場法求得平均二階力，然后利用Newman近似求出近似的QTF矩陣，如圖6(a)所示；圖6(b)則給出了直接用中場法求出的完整的QTF矩陣。由圖可知，在對角線附近(圖中兩根虛線之間的位置)，兩種方法給出的結(jié)果基本一致，表明兩種方法對二階力中頻率很低的部分預(yù)報結(jié)果是相近的。但在遠(yuǎn)離對角線的位置，兩者存在明顯的差異，Newman近似得出的QTF矩陣較為平滑，具有明顯的規(guī)律性；而全QTF法的結(jié)果在非對角元上波動較大，存在明顯的峰谷交替現(xiàn)象。這一結(jié)果表明，兩種方法對頻率稍高的二階力成分預(yù)報的結(jié)果可能存在差異。

為了進(jìn)一步說明兩種方法的預(yù)報結(jié)果的差異，根據(jù)式(21)計算了不同水深條件下，不規(guī)則波中橢球體所受的二階力時歷，并進(jìn)一步利用FFT給出了相應(yīng)的二階力譜，如圖7所示。其中不規(guī)則波選取ITTC雙參數(shù)譜，有效波高Hs=1 m，特征周期T1=4.6 s，其譜形如圖8所示。

圖7中H/d表示水深與吃水之比，其中虛線表示Newman近似的結(jié)果，帶“o”的實(shí)線表示全QTF法的結(jié)果。顯然，在頻率較低的情況下(小于0.1 rad/s)，Newman近似與全QTF法給出的結(jié)果基本一致；但在稍高的頻段內(nèi)(0.1～0.8 rad/s)，兩種方法存在明顯的差異，大多數(shù)情況下，Newman近似的結(jié)果明顯大于全QTF法的結(jié)果。此外，在水深較小的情況下(H/d=1.5)，全QTF法的結(jié)果中，0.2～0.6 rad/s范圍內(nèi)的艏搖二階力明顯大于Newman近似的值，原因是淺水條件下二階速度勢對二階力有較大的貢獻(xiàn)，而Newman近似完全忽略了這一項(xiàng)的影響，從而導(dǎo)致較大的誤差。

圖7 橢球體的橫蕩二階力譜Fig. 7 Sway drift spectrum of ellipsoid

圖8 ITTC雙參數(shù)譜(Hs=1 m， T1=4.6 s)Fig. 8 Two-parameter ITTC spectrum (Hs=1 m， T1=4.6 s)

3 結(jié) 語

通過上述討論，可以得出以下結(jié)論：

1) 遠(yuǎn)場積分法只能用于單浮體計算，能給出縱蕩、橫蕩和艏搖三個自由度上的平均二階力；近場積分法清楚地解釋了二階力的來源，具有普適性，能應(yīng)用于單體或者多體系統(tǒng)，并能夠給出六個自由度上包括定常、低頻和高頻成分在內(nèi)的所有二階力分量；中場積分法能應(yīng)用于單體或者多體系統(tǒng)，也能用于計算二階力的定常、低頻和高頻部分。

2) 三種方法給出的結(jié)果在波浪頻率較低時(1.2 rad/s以下)差異不大。但隨著波浪頻率的提高，遠(yuǎn)場法與中場法表現(xiàn)出更好的數(shù)值穩(wěn)定性，網(wǎng)格密度對結(jié)果影響不大；相比之下，近場法的結(jié)果受網(wǎng)格密度影響比較明顯。此外，使用近場法計算具有尖角的結(jié)構(gòu)時可能會出現(xiàn)誤差。

3) 三種方法給出的平均二階力隨水深變化的規(guī)律一致，即隨水深的變淺而有一定程度的增大，表明這三種方法對深水或淺水的情況均適用。

4) Newman近似與全QTF法給出的結(jié)果在對角線附近基本一致，但在遠(yuǎn)離對角線的位置，兩者存在明顯的差異。從不規(guī)則波下的響應(yīng)譜來看，在頻率很低(0.1 rad/s以下)的情況下，Newman近似與全QTF法給出的結(jié)果基本一致；但隨著頻率的增大，Newman近似出現(xiàn)了明顯的誤差。此外，在水深較淺的情況下，二階速度勢對二階力有較大貢獻(xiàn)，導(dǎo)致浮體某些自由度的低頻二階力將會發(fā)生明顯的變化，但Newman近似忽略了這一影響。

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A comparative study on the numerical methods of second-order drift forces on floating structures

OU Shaowu1, 2, FU Shixiao1, 2

(1. State Key Laboratory of Ocean Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China; 2. Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration, Shanghai 200240, China)

U661.1

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2017.04.013

1005-9865(2017)04-0100-10

2016-08-15

歐紹武(1991-)，男，碩士研究生，主要從事多體水動力研究。E-mail:shaowuloveh@163.com

付世曉。E-mail:shixiao.fu@sjtu.edu.cn