一種適用于污水處理的Kalman濾波器

李 睿，閆 芳

（哈爾濱鍋爐廠有限責(zé)任公司，黑龍江 哈爾濱 150046）

一種適用于污水處理的Kalman濾波器

李 睿，閆 芳

（哈爾濱鍋爐廠有限責(zé)任公司，黑龍江 哈爾濱 150046）

在城市污水處理系統(tǒng)中，為更好地預(yù)測污水管的流量以方便管理部門投放藥物，設(shè)計(jì)了一種Kalman濾波器，可在噪聲統(tǒng)計(jì)信息未收集完備的情形下，進(jìn)行預(yù)測和控制，用系統(tǒng)辨識(shí)的方法估計(jì)出噪聲統(tǒng)計(jì)信息，然后用噪聲統(tǒng)計(jì)信息的估值代入Kalman濾波器中進(jìn)行濾波運(yùn)算，通過Matlab仿真對(duì)算法進(jìn)行說明。仿真結(jié)果表明，該濾波器具有良好的一致性。

城市污水處理系統(tǒng)；Kalman濾波器；一致性

0 引言

隨著污水處理工藝的改進(jìn)和控制手段的發(fā)展，人們對(duì)污水的認(rèn)識(shí)已經(jīng)達(dá)到視其為資源的地步，即污水是一種可以循環(huán)利用的資源。但是，在污水處理的過程中，存在著各種問題，如污水管網(wǎng)的參數(shù)難以測量、傳感器容易失靈等。污水管一般需要管理部門按時(shí)投藥，以中和污水中的酸性物質(zhì)和硫化物，而投藥量與污水的流量緊密相關(guān)，所以能提前預(yù)測未來的污水流量非常重要。El-Din和Smith等[1]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測了污水管的流量，Lumley等[2]用在線建模的方法預(yù)測流量，但是這些方法只能做單步預(yù)測，預(yù)測時(shí)間太短。鄧自立[3-4]提出用ARMA模型成功實(shí)現(xiàn)多步預(yù)測，但并未考慮到傳感器在污水這種惡劣環(huán)境中的脆弱性。為了解決單個(gè)傳感器過于脆弱的問題，本研究采用多傳感器信息融合技術(shù)，基于ARMA模型，通過Kalman濾波方式，實(shí)現(xiàn)對(duì)污水流量進(jìn)行多步控制。

1 問題的提出

系統(tǒng)有狀態(tài)方程和觀測方程如式（1）和（2）所示。

X（t）為狀態(tài)向量，可以是傳感器探測到的位置速度等數(shù)據(jù)，F(xiàn)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，w ( t )為過程噪聲，輸入噪聲的方差Q的大小表示在每次觀測時(shí)隨著環(huán)境的變化帶來的不穩(wěn)定性的高低。y（it）為第i個(gè)傳感器的觀測結(jié)果，H為觀測矩陣，v（it）為第i個(gè)傳感器的觀測噪聲，方差Ri可以理解為與傳感器的精度有關(guān)。假設(shè)以下條件成立：

1）輸入噪聲w( t )和觀測噪聲v（it）。它們是相互獨(dú)立的白噪聲 (用通俗的話說即它們相互之間沒有關(guān)系。因?yàn)闇y量噪聲與傳感器的誤差有關(guān)，是個(gè)基本不變的值，一般來說它不受系統(tǒng)狀態(tài)的影響，而輸入噪聲與系統(tǒng)的實(shí)時(shí)狀態(tài)有關(guān))。

2）觀測結(jié)果y（it）是有界的(意為觀測值不能是發(fā)散的)。

問題是在存在輸入噪聲和測量噪聲的情形下，當(dāng)輸入噪聲方差和測量噪聲方差未知時(shí)，在假設(shè)1)和2)成立的條件下，如何根據(jù)觀測結(jié)果y（it）獲得對(duì)X（t）的 Kalman 濾波器。

2 Kalman濾波器

對(duì)于狀態(tài)方程（1），可將（2）代入（1）得自回歸滑動(dòng)平均模型(ARMA模型)：

可定義

則有關(guān)系

在式（5）中，由于 y（t）是已知的，r（t）的自相關(guān)函數(shù)可由采樣方法求得，

式（5）的右側(cè)為一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)序列，則（5）式可構(gòu)成一個(gè)滑動(dòng)平均模型 (Moving Average Model)，利用相關(guān)函數(shù)法構(gòu)造相容的線性方程組可得，

式（7）是一個(gè)未知量為Q和Ri的線性方程組，該方程組是相容的，故可以得到Q和R的估值( t)

i和( t)。對(duì)于該ARMA模型，一般來說可以通過最小二乘法的擴(kuò)展形式如增廣最小二乘法、最小二乘輔助變量法和相關(guān)函數(shù)法來估計(jì)噪聲方差的值[6]，根據(jù)Kalman濾波方法可得，

增益K（t）的融合估值由式（9）得到的局部估值的算術(shù)平均得到，這樣得到的融合估值有著比局部估值更高的精確度。由式（8）和（9）得到的運(yùn)算結(jié)果即可得到Kalman濾波器，有關(guān)系

該計(jì)算較簡單，是該濾波方法的流程圖。

圖1 濾波方法流程圖

3 算法仿真

問題：對(duì)于由式（1）和（2）組成的污水處理系統(tǒng)，當(dāng)輸入噪聲方差和測量噪聲方差未知時(shí)，求得其相應(yīng)的Kalman濾波器。

仿真中取采樣周期T=1s，取輸入噪聲方差真實(shí)值Q=0.9，測量噪聲方差真實(shí)值為R1=0.2、R2=0.3、R3=0.4，對(duì)本例子進(jìn)行Matlab仿真，圖2為對(duì)增益方差和測量噪聲方差的收斂圖，圖中虛線表示噪聲方差，實(shí)線表示真實(shí)值?？梢钥吹疆?dāng)t取較大的數(shù)時(shí)，估計(jì)值收斂于真實(shí)值。

圖2 增益的局部和融合估值

圖3為本文算法得到的Kalman濾波器和穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器的比較圖，圖中線代表最優(yōu)濾波器，點(diǎn)代表本算法得到的濾波器，可以看到每一時(shí)刻都收斂于最優(yōu)濾波器。

圖3 本文算法所得的Kalman濾波器

4 結(jié)論

以上對(duì)于噪聲未知的污水控制系統(tǒng)，基于ARMA模型，通過Kalman濾波方式，對(duì)流量進(jìn)行多步控制。仿真表明，對(duì)于控制算法增益的融合估值收斂于真實(shí)值，說明本算法具有良好的一致性。

［1］El-Din A.G，Smith D.W.A neural network model to predict the wastewater inflow incorporating rainfall events ［J］.Water Research，2002，36（5）:1115-1126.

［2］Lumley D.On-lineinstrumentconfirmation［J］.WaterScience and Techonledge，2002，45（4-5）:469-476.

［3］鄧自立.自校正濾波理論及應(yīng)用［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2003：23-31.

［4］Deng Z L，Gao Y,Li C B，et al.Self-tuning decoupled information fusion Kalman state component filters and their convergence［J］.Automatica，2012，（44）:685-695.

A Kind of Kalman Filter for Sewage Treatment

LI Rui，YAN Fang
（Harbin Boiler Company Limited，Harbin 150046，China)

In the citysewage treatment system,in order tobetter predict the sewage pipe flowtofacilitate the management of drug delivery，a kind of Kalman filter is presented,which can predict and control sewage pipe flow even when the noise statisticsis in not completely collected.The estimated noise statistics is obtained by the method of system identification，and then the filtering operation valuation is obtained by substituting the noise statistics into the Kalman filter.Matlab simulation is used toshowthis algorithm，the simulation results could explain the good consistencyofthis filter.

citysewage treatment system；Kalman filter；consistency

X52

A

1674-3229（2017）03-0064-03

2017-05-04

李睿(1987－)，男，碩士研究生，哈爾濱鍋爐廠有限公司水務(wù)科技分公司工程師，研究方向：水處理、海水淡化。