數(shù)列組的廣義仿射線性相關(guān)性研究

馮志新

（吉林師范大學(xué)，吉林 四平 136000）

數(shù)學(xué)與信息科學(xué)

數(shù)列組的廣義仿射線性相關(guān)性研究

馮志新

（吉林師范大學(xué)，吉林 四平 136000）

給出了數(shù)列組的廣義仿射線性相關(guān)性與仿射線性相關(guān)性、數(shù)列組之間廣義仿射線性表出和等價與仿射線性表出與等價的概念，探討了它們之間的關(guān)系,并得到了一些判斷數(shù)列組廣義仿射線性相關(guān)性與仿射線性相關(guān)性的充分與必要條件。同時，給出了幾個性質(zhì)定理，證明了廣義仿射線性表出和仿射線性表出具有傳遞性。

數(shù)列組；廣義仿射線性相關(guān)；仿射線性相關(guān)；廣義仿射等價；仿射等價

0 引言

文獻[1]和[2]給出了向量組的線性相關(guān)性的概念和一些重要結(jié)論。文獻[3]給出了強線性相關(guān)性的概念和結(jié)論。文獻[4]和[5]將仿射和強仿射的概念引入到向量組中。文獻[6]和[7]將線性相關(guān)性和廣義線性相關(guān)性引入到數(shù)列組中。在以上研究基礎(chǔ)上，將向量組的有限維的情形推廣至數(shù)列組的無窮維，將仿射線性相關(guān)性質(zhì)引入到數(shù)列組上，同時推廣到廣義的情形是十分必要的。

1 定義

為了敘述方便，文中出現(xiàn)的數(shù)、數(shù)列和數(shù)列組均是定義在實數(shù)域R上的，后面不再指出。

定義1.1 對于數(shù)列 { yn}與數(shù)列組 A : { x1n}，{x2n}，…，{xmn}，若存在常數(shù)a，以及一組不全為零的m個數(shù)1， ，…， ，有j=1，2，3，…，則稱數(shù)列可由數(shù)列組A廣義仿射線性表出，或稱數(shù)列 { yn}為數(shù)列組A的一個廣義仿射線性組合數(shù)列。當(dāng)a=0時，稱數(shù)列{ yn}為數(shù)列組A的一個齊次廣義仿射線性組合，或仿射線性組合；當(dāng)a≠0時，稱數(shù)列{ yn}為數(shù)列組A的一個非齊次廣義仿射線性組合。

定義1.3 設(shè)A與B為定義在數(shù)域F上的數(shù)列組，若數(shù)列組B中的任一數(shù)列都可以由數(shù)列組A廣義仿射線性表出，則稱數(shù)列組B可以由數(shù)列組A廣義仿射線性表出。

定義1.4 設(shè)A與B為定義在數(shù)域F上的數(shù)列組，如果A與B可以互相廣義仿射線性表出，則稱數(shù)列組A與B廣義仿射等價。

2 主要結(jié)果

不妨設(shè) λm≠ 0 ，且有 λm= - λ1- λ2- …- λm?1，于是有

證明 首先證明定理的必要性。設(shè)數(shù)列組A廣義仿射線性相關(guān)，則對于 j=1，2，3，…，總存在常數(shù)a，與一組不全為零的m個數(shù) λ1, λ2,? ? ?,λm，使得在數(shù)列組A中任取一個數(shù)列 {xkn}，則有于是

對于定理的充分性，由已知，對于 j=1，2，3，…，一定存在常數(shù)a，與不全為零的m-1個數(shù) λ1, λ2,? ? ?,λk?1, λk+1,? ? ,λm∈F，使得

證明 不妨設(shè) { xkn}即為 { xmn}，而{xm?1,n? xmn}≡C為常數(shù)數(shù)列，則對于 j=1，2，3，…，取常數(shù) a=-C，與不全為零的m-1個數(shù) λ1=λ2=??=λm?2= 0 ,λm?1=1，使得

即有B : { x1n? xmn} ,{ x2n? xmn} , ? ?,{ xm?1,n?xmn}廣義線性相關(guān)，并且

令 λm=?1，則有故數(shù)列組A廣義仿射線性相關(guān)。

推論2.3 若數(shù)列組A : { x },{ x }, ? ?,{ x }(m ≥2)中存在兩個相同數(shù)列，則A仿射線性相關(guān)。

定理2.4 已知數(shù)列組 A : { x1n} ,{ x2n} , ? ??, {xmn}，B : { y1n} ,{ y2n} , ? ??, {ysn}與數(shù)列 { zn}，若 { zn}可由A廣義仿射線性表出，A可由B廣義仿射線性表出，則{zn}可以由B廣義仿射線性表出。

證明 已知 { zn}可由A廣義仿射線性表出，則對于 j=1，2，3，…，存在常數(shù)a，以及一組不全為零的m個數(shù) λ1, λ2,? ? ?,λm，使得

又A可由B廣義仿射線性表出，則對于每一個數(shù)列 { xin}存在常數(shù) bi，i=1，2，…，m，以及不全為零的數(shù) μi1，μi2，…，μis，i=1，2，…，m，使得

且有

推論2.4 已知數(shù)列組A，B與C，若A可由B仿射線性表出，B可由C仿射線性表出，則A可由C仿射線性表出。

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2013.

［2］張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［3］楊聞起.強線性相關(guān)性與弱無關(guān)性［J］.寶雞文理學(xué)院學(xué)報，2009，29（2）:1-3.

［4］香花.關(guān)于仿射線性相關(guān)性的探討［J］.數(shù)學(xué)實踐與認(rèn)識，2012，42（7）:219-225.

［5］香花.強仿射線性相關(guān)性與強線性相關(guān)性［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報，2013，36（3）:211-215.

［6］楊建華.數(shù)列組的齊次線性相關(guān)性［J］.武漢工程大學(xué)學(xué)報，2009，31（9）:81-82.

［7］楊建華.數(shù)列組的廣義線性相關(guān)性［J］.武漢工程大學(xué)學(xué)報，2009，31（12）:79-81.

Research on the Generalized Affine Linear Correlation of Sequence Group

FENG Zhi-xin
(Jilin Normal University,Siping 136000，China)

In this paper，the generalized affine linear correlation of sequence group，the generalized affine equivalence and affine equivalence between several sequence groups are given.It discusses the relationship between them and gets some sufficient and necessary condition judgments of the generalized affine equivalence and affine equivalence between several sequence groups.The judgment theorems and property theorems are given.And the paper proves the transitivity of the generalized affine linear table out and affine linear table out.

sequence group；generalized affine linear correlation；affine linear correlation；generalized affine equivalence；affine equivalence

O151

A

1674-3229（2017）03-0005-03

2017-01-05

國家自然科學(xué)基金項目（71501082）；四平市科技局項目（2014064）

馮志新（1979-），女，碩士，吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。