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    中國古代記數(shù)法及其數(shù)學(xué)教育意義

    2017-10-10 14:54胡重光
    湖南教育·C版 2017年9期
    關(guān)鍵詞:省略計(jì)數(shù)符號(hào)

    胡重光

    談到中國古代數(shù)學(xué),不由得對我國不久前去世的著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生產(chǎn)生深深的懷念。他是第一位認(rèn)識(shí)到中國古代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和重大意義的數(shù)學(xué)家。1992年,在《紀(jì)念李儼錢寶琮誕生100周年國際學(xué)術(shù)研討會(huì)賀詞》中,他對中國古代數(shù)學(xué)作了如下的評(píng)價(jià):“中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展,自有其與西方迥異的途徑與體系。位值制是我國獨(dú)有的重大創(chuàng)造。奠基其上的各種算法化的計(jì)算方法,是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一,通過天元的引進(jìn),并使一些幾何問題也可有系統(tǒng)地化為方程問題進(jìn)行算法化的處理。近代數(shù)學(xué)之所以凌駕于以往數(shù)學(xué)之上,一個(gè)關(guān)鍵的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是解析幾何的創(chuàng)立……使艱澀難行的歐幾里得式演繹推理轉(zhuǎn)化為易于駕馭的單純計(jì)算,而這正是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特色與所遵循的基本道路……”

    本文僅就我國獨(dú)創(chuàng)的位值制記數(shù)法進(jìn)行一個(gè)初步的探討。

    我們現(xiàn)在的記數(shù)法全稱叫“十進(jìn)位值制記數(shù)法”。采用這種記數(shù)法,只用10個(gè)符號(hào),就可以記下無論多大的數(shù)(從理論上說),并且書寫和計(jì)算都十分簡便,以至于馬克思稱之為“人類最妙的發(fā)明之一”。但是這一發(fā)明不是一蹴而就的,而是經(jīng)歷了漫長的發(fā)展時(shí)期。記數(shù)法的發(fā)展史包含深刻的數(shù)學(xué)思想,對數(shù)學(xué)教育有重要的啟發(fā)作用。

    人類最初的記數(shù)法,按使用的符號(hào)的性質(zhì),可大致分為三類。第一類是用專門的符號(hào)來記數(shù)的,古埃及、巴比倫和瑪雅人的記數(shù)法都屬于這一類。

    巴比倫人的文字是刻在泥板上的,因此呈楔形,有趣的是1和60的符號(hào)只有大小的不同。古埃及的記數(shù)法是以10為基的,巴比倫的記數(shù)法則是以60為基的?,斞湃说挠洈?shù)法的主要特點(diǎn)是使用了一個(gè)專門代表20的符號(hào),形狀像一個(gè)人的面部,并且是以20為基的。所有這些符號(hào)都是特別造出來用于記數(shù)的。

    第二類是用現(xiàn)成的字母來記數(shù),古希臘、羅馬、印度的記數(shù)法都屬于這一類。希臘字母有27個(gè),古希臘人用頭9個(gè)字母代表1到9的數(shù),中間9個(gè)字母代表10到90的數(shù),末9個(gè)字母代表100到900的數(shù)。古羅馬人的記數(shù)法現(xiàn)在還常用來標(biāo)記順序,他們只用7個(gè)大寫字母記數(shù),并有一套記數(shù)規(guī)則:相同的字母排在一起表示相加;較小的數(shù)排在較大的數(shù)的左邊表示相減,排在右邊表示相加;在一串?dāng)?shù)字的右下方加一個(gè)m,則表示把這個(gè)數(shù)擴(kuò)大1000倍。例如,29635用古羅馬記數(shù)法寫成:XXIXmDCXXXV。

    M·克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》上載有公元前3世紀(jì)后印度的一套記數(shù)符號(hào)(如圖所示)。

    他認(rèn)為“這一組記號(hào)的出色之處是它給1到9的每個(gè)數(shù)都有單獨(dú)的記法”,并推測“這種寫法也許是由于以該數(shù)名稱的第一個(gè)字母來代替它而產(chǎn)生的”。如果他的推測正確,則這種記數(shù)法也屬于第二類。

    這兩類記數(shù)法的一個(gè)共同特點(diǎn)是,都用重復(fù)書寫某一個(gè)符號(hào)的方法表示更大的數(shù)。例如,要表示500,就要把表示100的符號(hào)寫5次。數(shù)學(xué)史家稱之為“加法累數(shù)制”。這種方法有兩個(gè)缺點(diǎn):一是書寫很長,很大的數(shù)幾乎難以記數(shù);二是計(jì)算非常困難,即使專家也很難掌握。例如,古羅馬記數(shù)法用M代表1000,要寫一百萬,就要寫1000個(gè)M。

    第三類是中國古代和受其影響的亞洲一些地區(qū)的記數(shù)法。據(jù)錢寶琮的研究,殷墟甲骨文中有以下13個(gè)記數(shù)符號(hào)(如圖所示)。

    與前兩類記數(shù)法比較后可以發(fā)現(xiàn),在古埃及記數(shù)法中,十、百、千、萬的符號(hào)是數(shù)字,而在中國古代記數(shù)法中,這些符號(hào)不是數(shù)字,而是計(jì)數(shù)單位。中國古代的記數(shù)符號(hào)分為兩類:數(shù)字符號(hào)和單位符號(hào)。10以上的數(shù)要用兩種符號(hào)結(jié)合起來記,例如,500記為“五百”不用把“百”的符號(hào)連寫五次。這樣,不但記數(shù)很簡單,而且計(jì)算時(shí)只要對相同計(jì)數(shù)單位的量數(shù)作計(jì)算就可以了,所有的計(jì)算都?xì)w結(jié)為10個(gè)數(shù)碼的計(jì)算,十分簡便。在甲骨文中,數(shù)字符號(hào)和單位符號(hào)是合寫在一起的。以后的記數(shù)法已不用合文,例如,8620記為“八千六百二十”。除了沒有“零”外,與現(xiàn)代漢語的記法已沒有什么區(qū)別。

    中國很早就有了系統(tǒng)的計(jì)數(shù)單位,《國語·鄭語》記載史伯對鄭桓公說:“合十?dāng)?shù)以訓(xùn)百體,出千品,具萬方,計(jì)億事,材兆物,收經(jīng)入,行女亥極。”這段話清楚地表明,中國古代的記數(shù)法使用了計(jì)數(shù)單位,其中十、百、千、萬、億、兆、經(jīng)、女亥都是十進(jìn)的計(jì)數(shù)單位。采用這種記數(shù)法,很自然地把一個(gè)數(shù)字的各計(jì)數(shù)單位按從大到小的順序排列,很有規(guī)律。

    采用計(jì)數(shù)單位是十進(jìn)位值制記數(shù)法發(fā)展的關(guān)鍵一步。奇怪的是,在眾多的古代文明中,只有中國古代文明做到了這一點(diǎn)。

    到公元前2世紀(jì)之后,中國的記數(shù)法又有了新的發(fā)展,出現(xiàn)了算籌記數(shù)法。這種記數(shù)法采用小竹棍來擺數(shù)字,其記數(shù)符號(hào)與以前的很不相同,并有縱式和橫式兩種:

    省略計(jì)數(shù)單位是十進(jìn)位值制記數(shù)法發(fā)展的又一關(guān)鍵,而且十分巧妙:單位雖然沒有了,但它的作用還在,而記數(shù)法卻大大簡化了,達(dá)到了完美的地步。

    如果我們把算籌體的數(shù)字寫在紙上就會(huì)發(fā)現(xiàn),表示0的空位很容易出錯(cuò)或誤解,特別是幾個(gè)0連在一起時(shí),于是用一個(gè)符號(hào)表示空位就大有必要了。我國古代通常用□表示空位,為了書寫快捷,把□寫成0是很自然的。由此看來,0的采用,應(yīng)該是中國古代記數(shù)法合乎邏輯的發(fā)展結(jié)果。西方數(shù)學(xué)史家一般認(rèn)為0是印度人發(fā)明的,但是至今無人對發(fā)明的過程作出合乎邏輯的說明,雖然古印度數(shù)學(xué)對0的特點(diǎn)(如不能做除數(shù))做了一些研究,但這并不能作為發(fā)明0這個(gè)符號(hào)的證明。endprint

    由算籌記數(shù)法又發(fā)展出珠算(珠算產(chǎn)生的年代已很難確定,中國有關(guān)算盤的記載最早出現(xiàn)在3世紀(jì)前后的《數(shù)術(shù)記遺》一書),珠算的記數(shù)法與算籌記數(shù)法基本相同,但珠算計(jì)算速度極快。算盤是中國古代最優(yōu)秀的計(jì)算工具,它在數(shù)學(xué)教育上的價(jià)值更是寶貴的。

    回顧記數(shù)法的發(fā)展過程我們看到,記數(shù)法經(jīng)歷了最初不用計(jì)數(shù)單位,進(jìn)而采用計(jì)數(shù)單位,最后又省略計(jì)數(shù)單位這樣一個(gè)“否定之否定”的發(fā)展過程。計(jì)數(shù)單位在記數(shù)法的發(fā)展中起到了決定性的作用。美國著名科普作家I·阿西莫夫說“從無開始計(jì)數(shù)”,意思是0是記數(shù)法的關(guān)鍵數(shù)碼。以上分析表明,0的產(chǎn)生是省略計(jì)數(shù)單位的結(jié)果,因此單位才是記數(shù)法的關(guān)鍵因素,應(yīng)該說“從單位開始計(jì)數(shù)”。

    進(jìn)一步還可發(fā)現(xiàn),記數(shù)法與記量法是一致的,計(jì)數(shù)單位相當(dāng)于計(jì)量單位。例如,長度的記量就是先確定一系列長度單位:毫米、厘米、分米、米……以及相鄰單位的進(jìn)率。如果規(guī)定最小單位為厘米,相鄰單位的進(jìn)率為10,則記10米以下的長度時(shí),也可以像省略計(jì)數(shù)單位一樣省略長度單位。例如,3米5分米5厘米記為355也是清楚明白的。這時(shí),若要把兩個(gè)長度相加,只要對好位,就像兩個(gè)整數(shù)相加一樣了。如果兒童明白了這些規(guī)則,他們就懂得了355這個(gè)長度中為什么兩個(gè)5所代表的長度不相同,也不會(huì)把5分米5厘米寫成505。

    以上的事實(shí)和分析啟示我們,計(jì)數(shù)單位是理解多位數(shù)記數(shù)法和四則運(yùn)算法則的關(guān)鍵。由此我們可以得出,多位數(shù)的認(rèn)識(shí)和四則運(yùn)算的教學(xué)應(yīng)按以下步驟進(jìn)行:

    1.首先,學(xué)習(xí)0至9的數(shù)碼。

    2.其次,學(xué)習(xí)進(jìn)率為10的常見量的記量法,例如貨幣、長度。記量法比記數(shù)法更為具體,是看得見、摸得著的,又與兒童的生活實(shí)際緊密聯(lián)系,因此兒童更易理解。并且學(xué)習(xí)記量法也為數(shù)碼及其計(jì)算提供了應(yīng)用的實(shí)例,使兒童看到數(shù)的用處,增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)興趣。

    3.再次,學(xué)習(xí)保留計(jì)數(shù)單位的多位數(shù)及其計(jì)算。例如,35應(yīng)先寫作3十5個(gè),在計(jì)算時(shí)也帶著計(jì)數(shù)單位進(jìn)行。

    4.最后,在兒童對這種帶單位的數(shù)及其計(jì)算已熟悉后,再學(xué)習(xí)省略單位的多位數(shù)及其計(jì)算。

    美國數(shù)學(xué)教學(xué)法專家J·W·海敦斯在談到位值時(shí)說:“對于兒童來說,這是一個(gè)抽象的、很難理解的概念?!睘榱藥椭鷥和斫膺@一概念,小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)采用了多種直觀教具、學(xué)具,如中國的“數(shù)位器”、美國的“位值箱”等。即使如此,兒童仍常常出現(xiàn)把“一十五”寫成105,把37+25的結(jié)果算成512之類的錯(cuò)誤,在整數(shù)、小數(shù)加減法學(xué)習(xí)中的主要錯(cuò)誤也出在進(jìn)位和退位上。但是按照以上設(shè)計(jì),有了第二步和第三步的學(xué)習(xí),兒童將很容易理解所謂位值和進(jìn)位、退位的概念。實(shí)際上,位值的概念也就不需要了,而進(jìn)位和退位就相當(dāng)于名數(shù)的聚和化。原來的抽象性完全不存在了,變得具體、簡單、明白。這一改變使整數(shù)記數(shù)法及其計(jì)算的教學(xué)真正科學(xué)、易懂,并能節(jié)省大量時(shí)間。

    (作者單位:湖南第一師范學(xué)院)endprint

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