換元思想在數(shù)列中的體現(xiàn)

張子玥

摘 要 換元思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)將一元或多元多項(xiàng)式用一個(gè)新元來(lái)代替表示。通過(guò)換元，可以使求解的題目達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。換元思想在高中數(shù)學(xué)中運(yùn)用廣泛，作為一類有效的解題方法，在數(shù)列中體現(xiàn)得極為明顯。本文結(jié)合換元思想在數(shù)列中運(yùn)用的常見(jiàn)題型進(jìn)行舉證。

關(guān)鍵詞 換元思想；高中數(shù)學(xué)；數(shù)列

中圖分類號(hào) O1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 2095-6363（2017）17-0090-02

換元思想具體指的是在數(shù)列題的解答中，將某個(gè)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量來(lái)表示這個(gè)式子。換元又稱輔助未知數(shù)法、變?cè)鷵Q法，換元的實(shí)質(zhì)是構(gòu)造元和設(shè)元。通常可以化分式為整式，化無(wú)理式為有理式，從而使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、明朗化。換元法的廣泛應(yīng)用顯示了換元思想在高中數(shù)學(xué)中的強(qiáng)大地位，也顯示這一方法對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要程度。

換元法是解決數(shù)列問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)方法。合理地進(jìn)行換元，能凸顯隱含條件，溝通復(fù)雜代數(shù)式間的關(guān)系。換元思想的關(guān)鍵是選擇合適的換元對(duì)象，確定合理的換元方式可以把數(shù)列題變的簡(jiǎn)單。換元思想主要應(yīng)用在數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等問(wèn)題中。下面將介紹幾種常用的在數(shù)列中的換元思想。

1 整體換元

整體換元是指在題目的已知或未知中，某個(gè)代數(shù)式或多項(xiàng)式幾次出現(xiàn)。為了減少題目的復(fù)雜程度，需要用一個(gè)變量（如一個(gè)字母）來(lái)代替它，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，有時(shí)候還需要通過(guò)適當(dāng)變形，才能發(fā)現(xiàn)可被換元的整體。

1.1 簡(jiǎn)單數(shù)列題目中的整體換元

例1.計(jì)算（a1+a2+…+an-1）（a2+…+an）-（a2+…+an-1）（a1+a2+…+an）

此題如果多項(xiàng)式逐一乘開(kāi)，計(jì)算過(guò)程將變得非常復(fù)雜。閱讀題目，我們可以發(fā)現(xiàn)，幾個(gè)多項(xiàng)式中均有一個(gè)相同部分a2+…+an-1，這時(shí)如果考慮應(yīng)用整體換元，運(yùn)算起來(lái)會(huì)方便許多。

設(shè)a2+…+an-1=x

則原式可轉(zhuǎn)化為（a1+x）（x+an）-x（a1+x+an）

在經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，可得出結(jié)果為a1，an

本題利用整體換元，把a(bǔ)2+…+an-1當(dāng)成一個(gè)整體帶入原式，化復(fù)雜多項(xiàng)式為簡(jiǎn)單多項(xiàng)式。這樣問(wèn)題就能被快速解決，不僅提高了做題效率，還大大減少了做題時(shí)間?？梢?jiàn)整體換元在數(shù)列問(wèn)題中十分常見(jiàn)。

1.2 復(fù)雜題目中的整體換元

當(dāng)所求數(shù)列形式較為復(fù)雜時(shí)，也可以利用換元思想。以下是幾種常見(jiàn)整體換元的模型。已知數(shù)列的遞推公式，求通項(xiàng)公式時(shí)，如果數(shù)列的遞推公式形如：

an-1=an+pan-1an（p≠0）

則可以進(jìn)行化簡(jiǎn)成，這樣數(shù)列就轉(zhuǎn)變成{}的等差數(shù)列，先求出此數(shù)列的通項(xiàng)公式，再進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即可求出an。

當(dāng)遞推關(guān)系為an+1=pan+q（p，q為常數(shù)，p≠1）時(shí)，可對(duì)此數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)變形成把括號(hào)里的式子當(dāng)成整體，得到一個(gè)新的等比數(shù)列，求出此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出原數(shù)列的的通項(xiàng)公式。形如：an+1=pan+qn（p，q為常數(shù)，且q≠0）的數(shù)列也可以用上述換元思想進(jìn)行代換。

例2.已知p≠0，數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=pan+1-p（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：∵an+1=pan+1-p（n∈N*）

∴an+1–1=p（an-1）（n∈N*）

∴{an-1}是以2為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列

可得an-1=pn-1

所以an=1+pn-1

整體換元思想在高考中是一種常見(jiàn)的解題思路。這類問(wèn)題的處理方法是將一個(gè)復(fù)雜數(shù)列，往特殊數(shù)列進(jìn)行轉(zhuǎn)化。先求出特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到原數(shù)列的通項(xiàng)公式。

利用換元思想解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要遵循數(shù)列的一般原則，在對(duì)元進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)要注意定義域是否發(fā)生變化。

2 倒數(shù)換元

在高中數(shù)學(xué)中，倒數(shù)換元也是一種常見(jiàn)的數(shù)列換元方法。一般是將數(shù)列已知條件的分式化為整式，進(jìn)行換元計(jì)算。

例3.已知數(shù)列{an}中，a1=-1，an+1an=an+1-an，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式？

對(duì)于此類數(shù)列問(wèn)題，我們可以把已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形，構(gòu)造出一個(gè)新的數(shù)列，通過(guò)求此數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得原數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：an+1an=an+1-an

設(shè)數(shù)列{bn}是以b1=-1為首項(xiàng)，公差為d=-1的等差數(shù)列

由此可以看出，通過(guò)倒數(shù)換元可以化分式為整式，把原來(lái)繁瑣的分式結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，通過(guò)計(jì)算整式來(lái)求分式，大大縮短了做題時(shí)間和題目難度。倒數(shù)換元也是數(shù)列題中常出現(xiàn)的一種換元技巧。

3 對(duì)數(shù)換元

當(dāng)數(shù)列中出現(xiàn)對(duì)數(shù)或有指數(shù)時(shí)，可以把已知條件通過(guò)適當(dāng)變形，再進(jìn)行對(duì)數(shù)換元進(jìn)行求解，一般兩邊去對(duì)數(shù)。但要注意的是，去對(duì)數(shù)之前，要注意對(duì)數(shù)運(yùn)算的基本原則，保證數(shù)列各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，才能進(jìn)行對(duì)數(shù)換元。

例4.已知數(shù)列{an}中，a1=4且滿足an+1=an2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

觀察通項(xiàng)公式可以發(fā)現(xiàn)項(xiàng)與項(xiàng)之間存在對(duì)數(shù)關(guān)系，對(duì)式子進(jìn)行變形

log4an+1=log4an2=2log4an則可以求解。

4 三角換元

三角換元在數(shù)列中也經(jīng)常出現(xiàn)當(dāng)數(shù)列的遞推關(guān)系中有根式或兩項(xiàng)的平方為一特殊定值時(shí)，如

可以考慮運(yùn)用三角函數(shù)的換元思想來(lái)解答數(shù)列問(wèn)題。三角換元主要應(yīng)用三角函數(shù)的特殊性質(zhì)，對(duì)復(fù)雜的數(shù)列問(wèn)題進(jìn)行特殊轉(zhuǎn)換，利用代數(shù)式與三角函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行換元。代數(shù)問(wèn)題作三角代換，轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，便于應(yīng)用三角函數(shù)的有關(guān)公式，性質(zhì)等解決問(wèn)題。

常見(jiàn)三角函數(shù)關(guān)系如下：

倒數(shù)關(guān)系：①tana cota=1；②sina csca=1；③cosa seca=1；

商數(shù)關(guān)系：①tana=；②cota=；

平方關(guān)系：①sin2a+cos2a=1；②1+tan2a=sec2a；

③1+cot2a=csc2a；

例5.已知數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=2an2-1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

觀察數(shù)列的遞推公式，不難看出an+1=an2-1很像，所以，可以把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)進(jìn)行求解。設(shè)，可以得出。

例6.已知數(shù)列{an}，（n≥2，n為正整數(shù)）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解：通過(guò)計(jì)算a2，a3，a4等，觀察出數(shù)列{an}的極限是2

所以可用不動(dòng)點(diǎn)方法解

解得x=1或x=2均不合題意

由此可以看出，如果數(shù)列的遞推關(guān)系式能用三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就可以考慮用三角代換的方法。運(yùn)用高中所學(xué)的三角函數(shù)的基本性質(zhì)，進(jìn)行換元化簡(jiǎn)，使數(shù)列難題變得簡(jiǎn)單。

5 結(jié)論

本文主要介紹換元思想中的整體換元、倒數(shù)換元、對(duì)數(shù)換元、三角換元在數(shù)列中的應(yīng)用。通過(guò)換元思想引入新的變量，可以把分散的已知條件清晰地聯(lián)系起來(lái)，也能使隱含的條件漸漸顯露出來(lái)，使條件與結(jié)論之間有更直接的聯(lián)系。換元思想能使數(shù)列中復(fù)雜和陌生的數(shù)學(xué)表達(dá)式變的簡(jiǎn)單和熟悉，使數(shù)學(xué)表達(dá)式得到簡(jiǎn)化，表達(dá)式間的邏輯關(guān)系更加清晰，使抽象的代數(shù)式更為具體。可見(jiàn)，換元思想是數(shù)列題中的一種常見(jiàn)思想。

參考文獻(xiàn)

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