具有非線性捕獲量的捕食-食餌模型的動(dòng)力學(xué)分析

張欣欣,劉 萍

(哈爾濱師范大學(xué))

具有非線性捕獲量的捕食-食餌模型的動(dòng)力學(xué)分析

張欣欣,劉 萍

(哈爾濱師范大學(xué))

研究了具有HollingⅡ型響應(yīng)函數(shù)捕獲量的捕食-食餌模型.應(yīng)用比較原理和最大值原理給出了正穩(wěn)態(tài)解的先驗(yàn)估計(jì).應(yīng)用龐加萊不等式證明了穩(wěn)態(tài)方程的非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的不存在性.

非線性捕獲量; 捕食-食餌模型; 非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解; 先驗(yàn)估計(jì)

0 引言

物種間相互作用的研究對(duì)生物資源的開(kāi)采和種群的收獲等方面起著重要的作用.在過(guò)去的幾十年里,提出并研究了大量的捕食-食餌模型.捕食-食餌模型最開(kāi)始由美國(guó)的生態(tài)學(xué)家Lotka[1]和意大利的數(shù)學(xué)家Volterra[2]提出.其形式為:

(1)

(2)

其中k是食餌的最大承載量,a是捕食者捕獲食餌的接觸率,m是吃的食餌變成新的捕食者的轉(zhuǎn)化率.

單純的微分方程無(wú)法全面的描述生物系統(tǒng)的某些性質(zhì),具有時(shí)滯、擴(kuò)散、捕獲率等現(xiàn)象的捕食-食餌模型能豐富系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.捕獲量是研究種群動(dòng)力學(xué)行為的一個(gè)重要的因素,研究具有捕獲量的捕食-食餌模型對(duì)保護(hù)生態(tài)資源具有很大的意義.

近幾十年來(lái),很多學(xué)者研究了帶有收獲率的捕食-食餌模型.文獻(xiàn)[3]研究了捕食者帶有常數(shù)捕獲量的生物模型在平衡點(diǎn)處發(fā)生的Bogdanov-Takens分歧與Hopf分歧.文獻(xiàn)[4]研究了食餌帶有常數(shù)收獲率的捕食-食餌模型的解的不穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[5]分析了單個(gè)種群帶有成比例收獲率的模型,分別研究了正解的全局漸近穩(wěn)定性和周期解的存在性、唯一性與穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[6]研究了食餌種群具有Michaelis-Menten型收獲率的捕食食餌系統(tǒng)的分歧和穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[7]詳細(xì)地分析了捕食者帶有非線性捕獲量的模型的平衡點(diǎn)的分歧與穩(wěn)定性等性質(zhì).

2015年Gupta等在文獻(xiàn)[8]中提出在系統(tǒng)(2)的基礎(chǔ)上帶有非線性捕獲量的模型為:

研究表明帶有捕獲量的捕食-食餌模型可以展示非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.系統(tǒng)能發(fā)生許多類(lèi)型的分歧,例如:鞍結(jié)點(diǎn)分歧,Hopt-Andronow分歧,跨越分歧和Bogdanov-Takens分歧.通過(guò)計(jì)算第一個(gè)Lyapunov數(shù)能得到Hopf分歧周期解的穩(wěn)定性,通過(guò)數(shù)值模擬當(dāng)Hopf分歧曲線和一個(gè)鞍結(jié)點(diǎn)相交產(chǎn)生極限環(huán)顯示了同宿環(huán)的存在性.

對(duì)系統(tǒng)(3)非量綱化,令

系統(tǒng)(3)轉(zhuǎn)化為:

因?yàn)槲锓N要進(jìn)行遷移擴(kuò)散運(yùn)動(dòng),進(jìn)一步,系統(tǒng)(4)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(5),

其中Δ為拉普拉斯算子,Ω?Rn是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域.

1 先驗(yàn)估計(jì)

設(shè)系統(tǒng)(5)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)方程為系統(tǒng)(6)

該部分將考慮系統(tǒng)(6)的穩(wěn)態(tài)解的一些性質(zhì).首先分析系統(tǒng)(6)的穩(wěn)態(tài)解的有界性.

定理1.1 設(shè)d,λ,c,b,h>0,Ω?Rn是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域.假設(shè)(u,v)是系統(tǒng)(6)的正穩(wěn)態(tài)解,則

(7)

設(shè)

則有

故,

因此，

2 非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的非存在性

該部分將證明穩(wěn)態(tài)方程(6)的非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的不存在性.

引理2.1 (龐加萊不等式)令Ω是Rn中的一個(gè)有界連通開(kāi)子集,并且?Ω是C1的,如果

定理2.2 設(shè)d,λ,c,b,h>0,Ω?Rn是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域.存在常數(shù)

(8)

其中

(9)

當(dāng)min{1,d}>D*時(shí),則系統(tǒng)(6)只有非負(fù)常數(shù)解.

證明設(shè)(u,v)是系統(tǒng)(6)的非負(fù)解,令

由定理1.1,有

由Green公式,有

分別對(duì)Ii(i=1,2)進(jìn)行估計(jì),有

和

由上可知

分別對(duì)Ji(i=1,2,3)進(jìn)行估計(jì),有

和

由上可知

由引理2.1,有

其中A和B由(9)式所定義.當(dāng)min{1,d}>D*時(shí),有

因此(u,v)只能是常數(shù)解.

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Abstract:In this paper,a predator-prey model with Holling Ⅱ response function harvesting is studied.A priori estimate of positive steady state solutions are given by applying the comparison and maximum principle.Nonexistence of non-constant steady state solutions of the steady state equation is proved by applying the Poincare inequalities.

Keywords:Nonlinear harvesting; Predator-prey model; Non-constant steady state

(責(zé)任編輯：季春陽(yáng))

DynamicsAnalysisofaPredator-PreyModelwithNonlinearHarvesting

Zhang Xinxin,Liu Ping

(Harbin Normal University)

O19

A

1000-5617(2017)02-0009-04

2017-01-12