一維滲透力與浮力1)

丁洲祥

?(北京交通大學土木建筑工程學院，北京100044)

?(陜西省公路橋梁與隧道重點試驗室，西安710064)

一維滲透力與浮力1)

丁洲祥?,?,2)

?(北京交通大學土木建筑工程學院，北京100044)

?(陜西省公路橋梁與隧道重點試驗室，西安710064)

為簡化分析，針對一維滲流問題，研究提出了土力學中滲透力和浮力的兩種推導方法，作為傳統(tǒng)的宏觀尺度孔隙水隔離體法的有益補充.彈性力學平衡微分方程、土力學Terzaghi有效應力方程和流體力學簡化Bernoulli方程構成本文分析滲透力和浮力的3個基本方程.在基本方程基礎上，容易推導出相應的骨架和孔隙水兩種隔離體的平衡微分方程，從而在靜力平衡范疇內揭示滲透力和浮力的內涵.單位體積飽和土體的滲透力，源于總水頭壓力的梯度，而浮力則源于位置水頭壓力在豎向的梯度，這兩者統(tǒng)一于骨架或孔隙水的平衡微分方程.實際工程關注的有效應力計算問題，一般可以直接應用3個基本方程來確定；只有在簡化條件下可按滲透力和浮力計算土體中有效應力分布規(guī)律.還討論了若干研究熱點問題，重點探討了當前一種滲透力新定義j=nγwi在形式上的合理性以及在實際應用中可能存在的風險，并驗證了一維滲透力的一種經典精細化表述結果中考慮滲流速度時間導數(shù)的嚴謹性.在土力學滲透力和浮力問題研究中應重視和正確應用Terzaghi有效應力方程.

滲透力，浮力，有效應力原理，孔隙水壓力，平衡微分方程

引言

經典土力學[13]中滲透力和浮力的概念并不簡單,尤其是前者.過去一年多來，文獻[4-7]從機理和公式推導等角度對這些既有概念加以研究，但尚無終論，如蔣中明等[6]認為“滲透力概念定義的不統(tǒng)一性以及推導過程的多樣性、復雜性，是導致人們對滲透力的理解和應用產生誤解的根源”.滲透力和浮力概念再度成為研究熱點，這并非人們有意將簡單問題復雜化，而是因為大量的既有相關認識仍有不足乃至相互矛盾之處.這輪研究和反思的一個主要特點是，注重研究方法的一般性、系統(tǒng)性和推導過程的嚴謹性.自2013年來，筆者對滲透力和浮力概念格外加以關注，并做了一些探討性研究工作；現(xiàn)在意識到，可能存在一種觀點——有時在某種意義上，土力學應用中使用的滲透力和浮力概念既不宜絕對肯定地當成唯一正確的方法，也不宜無視其合理性及意義.

見仁見智的學術研究，一般強調言貴有據(jù).傳統(tǒng)孔隙水隔離體法[19]將孔隙水假想地從土水整體中隔離開來，然后考慮浮力和滲透力兩者的反力，據(jù)此分析孔隙水隔離體平衡條件，其中滲透力和浮力貌似不可或缺，容易被絕對肯定化.此外，滲透力和浮力概念在傳統(tǒng)土力學中沿用多年，在評價滲透破壞等方面也有相關應用，這進一步強化了上述看法.然而，歷史上也不乏相反的學術觀點，對滲透力和浮力的研究意義基本上持否定的態(tài)度.

目前少有文獻辯證地分析滲透力和浮力的上述絕對肯定與否定的觀點，這就需要我們謹慎地求證開展辯證分析的力學依據(jù).這樣做的意義是，從新視角探求滲透力和浮力含義與適用條件的同時，也發(fā)現(xiàn)了推導土力學滲透力的一種新方法，該方法有別于目前仍占主流的孔隙水隔離體法.為避免將問題復雜化，本文僅針對一維問題進行分析：首先，提出滲透力和浮力的3個基本方程；然后，導出骨架和孔隙水兩種隔離體平衡微分方程；其次，面向應用討論有效應力計算中的等價性問題；最后，就同行最新研究成果進行了對比探討.所得結論有助于深化對滲透力和浮力概念的認識.

1 一維模型和3個基本方程

飽和土體一維滲流模型如圖 1所示.其中，Z坐標軸向上為正，坐標原點位于同質土層的底面z=0；土層厚度為H；土層底面、頂面和坐標z的水頭分別為 h(0)、h(H)和 h(z).在圖示條件下，h(0)＞h(H)，故滲流方向豎直向上，但模型也適用于h(0)≤h(H)的情況.坐標增量(z,z+dz)微元段dz內土體受力情況:上下端面對應應力增量(σ,σ+dσ)，體力為fzdz.

圖1 滲透力和浮力的一維飽和土模型Fig.1 One-dimensional saturated soil model for seepage force and buoyance

1.1 總應力平衡微分方程

在土水整體總應力平衡微分方程方面，土力學和彈性力學是相通的——如果將土體固相在空間占據(jù)的區(qū)域明確定義為土體連續(xù)介質構形[10].這樣可沿用彈性力學中一維靜力平衡微分方程[11]

式中，σ是飽和土體總應力；fz是單位體積土體的體力，fz=?γsat；σ，fz均服從彈性力學符號約定.

1.2 Terzaghi有效應力方程

在固液兩相應力分配關系上，土力學很有特色.經典土力學經常采用Terzaghi有效應力方程[3]

式中，σ′是土體有效應力；u孔隙水壓力；σ,σ′和u按土力學習慣，常以受壓為正.

1.3 孔隙水壓力方程

在考慮滲流勢能時，土力學借鑒了流體力學的部分經典成果.當忽略速度水頭時，流體力學Bernoulli方程[12]更加簡化，由此可得到

式中，h=h(z)是總水頭；z是土中考察點的位置，z=0是零勢參考面；γw是孔隙水單位體積的重度.

本文認為，上述3個基本方程是研究傳統(tǒng)滲透力和浮力的聯(lián)合控制方程.

2 骨架平衡微分方程與滲透力和浮力

2.1 骨架平衡微分方程與浮力

將式(2)和式(3)代入式(1)的過程中，注意應力符號約定的學科差異，不妨以壓為正，則

式中，等號左端第3項γw其實就是單位體積飽和土體受到的浮力，它源于位置水頭壓力在豎向的梯度，在本文中以沿坐標軸正向為正(如果只看其模，就是俗稱的孔隙水重度)，而左端第2項則表示滲流的影響.

具體分析還涉及土力學中兩個相關概念.

概念1：有1種水力梯度定義

在數(shù)學上表示總水頭h的梯度對應的負矢量，反映驅動孔隙水滲流的一種作用.

概念2：根據(jù)三相關系，飽和土體有效重度或浮重度(e ff ective or buoyant unit weight)[13]

按上述兩概念，改寫式(4)，得到式(1)的等價形式

式中，若γwi和?γ′數(shù)值為正,則表示沿坐標軸正向.

可見，單位體積的浮力與總體力 fz都是矢量，兩者合并成單位體積有效體力，記.也就是說，飽和土的浮力被整合到有效體力或通常的浮重度概念中，這較易理解.

2.2 骨架平衡微分方程與滲透力

接下來的問題是：滲透力在哪里？

需要先回到土力學界對滲透力的常規(guī)理解.不妨以國外近期和較早的著作為例.Das[14]認為：“Flow ofwaterthroughasoilmassresultsinsomeforcebeingexerted on the soil itself”.Budhu[13]認為：“As water fl ows through soil,it exerts a frictional drag on the soil particles,resulting in head losses.The frictional drag is called seepage force in soil mechanics”.Lambe 等[15]認為：“The seepage force is applied by the moving water to the soil skeleton through frictional drag”.可見，滲透力定義至少有兩個要求：孔隙水滲流；對土體或骨架能產生某種作用.

分析式(7)可知，該式左端第2項，剛好能滿足這兩個條件，所以有理由將其定義為一種滲透力

它反映了滲流場對有效應力場的耦合作用.

事實上，式(8)就是傳統(tǒng)土力學最常見的滲透力表述或推導結果.本文從骨架受力平衡角度，提供了考察滲透力和浮力的不同于傳統(tǒng)孔隙水隔離體法的新視角，也可作為推導滲透力方法的新補充.這種方法不失簡潔和意義深刻.

利用式(8)，可使式(7)的數(shù)學表述更簡潔

式中，單位體積土體浮力γw與飽和體力 fz合并成?γ′，即

若土體孔隙中無水，則有 j= 0，γw= 0，γsat= γ′= γd(干重度)，此時式 (9)退化為彈性力學一維平衡微分方程 (按彈力符號約定)式 (1)，即?σ/?z+fz=0，此時 σ = σ′，fz= ?γd，這表示干土的靜力平衡.

3 孔隙水平衡微分方程與滲透力和浮力

3.1 孔隙水平衡微分方程與浮力

經典土力學中的孔隙水隔離體法[19]主要是借助一定宏觀尺寸的力學模型進行分析，而很少采用連續(xù)介質力學中局部化形式的平衡微分方程法.

采用土力學應力符號約定，總應力平衡微分方程式(1)改寫為

將總應力平衡微分方程(10)減去骨架平衡微分方程式(9)，得到

將有效應力方程式(2)代入式(11)，得到

等價簡化式(12)，得到孔隙水平衡微分方程為

式中，等號左端第3項和第2項分別表示土體受到的浮力反力以及滲透力反力作用.?γw和?j的數(shù)值為負值，表示反力方向沿坐標軸負向.

當土體中無滲流時，孔隙水成為靜水，一般應有j=0.此時，式(13)就簡化為流體力學中一維的歐拉方程，即均勻重力場中靜止流體的一維平衡方程.

若在一維歐拉方程中進一步忽略浮力即不計重力場對孔隙水的作用，則式(13)退化為?u/?z=0，此時孔隙水壓力u等于與坐標無關的某個常數(shù).這意味著孔壓在流體中每一點都相同；對于密閉流體而言，此即帕斯卡的靜壓傳遞原理.

3.2 孔隙水平衡微分方程與滲透力

現(xiàn)假定滲透力 j未知，則根據(jù)孔隙水平衡方程式(13)，可推導出 j的具體表達式

再依據(jù)孔隙水壓力方程式(3)，得到滲透力為

若同樣采用式(5)的水力梯度定義，則式(15)就完全等價于式(8)，即 j=γwi.

這樣就按主流的孔隙水隔離體法思想實現(xiàn)了對滲透力的新推導.

重點分析以下3點：(1)結果對比表明，無論采用骨架平衡式(7)還是孔隙水平衡方程式(13)，都可以非常一致地推出滲透力 j的表達式(8)；而傳統(tǒng)土力學研究中通常忽略了基于骨架平衡的分析方法，這似乎是不夠理性和全面的.(2)對比式(13)與式(9)，在骨架和孔隙水隔離體平衡微分方程中，浮力γw和滲透力 j前面的符號是相反的：這是相間的作用力和反作用力屬性的體現(xiàn).(3)如果將式(9)和式(13)兩端相加，則得到兩相整體總應力平衡方程式(10)或式(1)(按彈力應力符號約定)——兩式中均不出現(xiàn)滲透力和浮力，因為兩者都是固液兩相間成對出現(xiàn)的內部作用力.按經典力學觀點，如果對系統(tǒng)中所有質點受到的力求和，則內力將相互抵消而僅存外力.對本文的土水整體，外力只包含重力，因而在兩相整體平衡方程中外力僅有飽和體力fz(fz=?γsat).

4 應用中的數(shù)學等價性

在實際應用中，滲透力和浮力對骨架或固相的作用主要體現(xiàn)在對有效應力的影響方面.現(xiàn)針對一維有效應力計算，采用3種不同算法，簡要對比分析在采用/棄用滲透力與浮力概念情況下的計算結果.

4.1 基于滲透力和浮力的有效應力算法

當滲透力 j和浮重力γ′為常數(shù)時，式(9)的不定積分結果為

式中，C是積分常數(shù)，取決于地表載荷條件.如果設地表 z=H為排水邊界、地表邊界處有效應力σ′(H)=q以及孔壓為u(H)=uH，則式(9)的定積分結果即有效應力分布為

有些土力學著作[16]給出的不同方向滲流作用下有效應力的計算公式，其實都可以統(tǒng)一成式(17).

然而，當滲透力 j隨坐標z變化，式(16)和式(17)將不再適用.這體現(xiàn)了傳統(tǒng)滲透力和浮力算法的適用范圍.

4.2 基于總水頭和浮力的有效應力算法

考慮 j為變數(shù)而γ′仍為常數(shù)的情況，此時無法直接對j按常量積分，但可根據(jù)式(4)求出被積函數(shù)?σ′/?z的不定積分

式中，D是積分常數(shù)，依賴于地表載荷情況.引入上述邊界條件后的定積分結果為

有效應力分布式(18)和式(19)具有更普遍的意義.當滲透力j為常數(shù)時，兩者分別能夠退化為基于j的有效應力函數(shù)式(16)和式(17).此時兩種算法在數(shù)學上是等價變換.然而，式(18)和式(19)根本不涉及滲透力，而主要取決于總水頭函數(shù)h(z)和有效體力 ?γ′.

這初步表明，在進行有效應力計算時，滲透力并非不可或缺的中間量；個別情況下，滲透力算法的式(16)和式(17)反而會縮小問題的求解范圍.

4.3 基于3個基本方程直接積分的有效應力算法

對同一定解問題和邊界條件，此處按式(1)～式(3)進行求解，而不用從滲透力和浮力概念出發(fā).

對總應力平衡方程式(1)進行不定積分，并按土力學應力習慣用法有

式中，E為積分常數(shù).引入同樣的邊界條件，得到總應力的定積分

根據(jù)有效應力方程式(2)，得到有效應力

將式(21)和孔壓方程式(3)代入式(22)，同樣能得到有效應力沿埋深的分布函數(shù)σ′(z).該結果與式(19)完全相同(具體過程從略).

鑒于上述論證，不妨據(jù)此推論：作為控制土體強度和變形的有效應力，其實不必根據(jù)額外考慮滲透力和浮力的特殊方程來推導.

然而，滲透力和浮力在理論與工程中畢竟得到了一定的普及和應用.在實際應用中，偏執(zhí)于對滲透力和浮力概念絕對肯定或否定的任一極端觀點可能都未必明智.應意識到使用滲透力和浮力尤其是前者必然帶來的局限性.

5 討論

5.1 傳統(tǒng)土力學對滲透力的機理解釋準確嗎？

李廣信[4]認為滲透力是滲透水流對土骨架中的顆粒的推動力和拖曳力，并從土顆粒某種受力分析出發(fā)，推導出滲透力的計算公式，即本文式(8).錢家歡等[8]僅將滲透水流施于單位土體內土粒上的拖曳力稱為滲透力，這與Lambe等[15]的觀點基本一致，同樣得到本文式(8).

對機理的深入研究是有益的，但基于不同機理解釋得到同樣的滲透力表達結果，卻很難理解：如果滲透力結果與機理解釋的差別無關，那么已有的某些機理解釋是否準確和合理？值得思考.

5.2 傳統(tǒng)土力學的滲透力需要修正嗎？

2004年，Li和Ming[17]提出滲透力的另一不同表達

式中，n是土體孔隙率.

2014年，邵龍?zhí)兜萚7]也提出了與式(23)基本一樣的研究結果，并給出了更詳細的論證過程，認為傳統(tǒng)土力學得到的滲透力式(8)是錯誤的，需要按式(23)進行修正.2016年，李廣信在滲透力有關的文章[4]和著作中均沒有提到和評價文獻[7,17]的這些不同觀點與建議.

因此，傳統(tǒng)土力學中滲透力式(8)是否需要修正，如果需要修正，又該如何完善？

5.3 既有推導方法充分利用有效應力方程了嗎？

2015年，陳愈炯[18]報道了自 1954年以來，Terzaghi有效應力原理在我國的應用歷史和部分實例，并“鼓勵同仁們重視該原理的應用，在應用過程中提高自己的洞察力和處理工程問題的能力，從而取得意想不到的好效果”.

縱觀國內外主要的土力學著作，筆者尚未發(fā)現(xiàn)有明確利用Terzaghi有效應力原理或方程來完整推導滲透力的相關論述.在論文中，蔣中明等[6]使用Terzaghi有效應力方程，按張量方法進行了多維滲透力推導，但未就最終結果進行深入討論.

本文將Terzaghi有效應力方程作為基本方程之一進行滲透力的推導，是應用有效應力原理或方程的有益嘗試.使人“意想不到”的是，本文方法有助于避開滲透力具體物理意義或機理解釋方面的矛盾和爭議，將傳統(tǒng)土力學滲透力的本質闡釋主要歸于Terzaghi有效應力原理與方程內在的基礎理論前提.

有趣的是，1996年，Terzaghi等[19]認為，“although no theoretical basis for Eq.15.2(即本文式(2).——筆者注)has been found,its empirical basis is so well established that a quantitative knowledge for the interparticle reactions is not needed”.按該觀點，理論基礎的缺失并不影響Terzaghi有效應力方程的實用性，因為經驗性基礎可以取代對粒間反力的定量知識.在該意義上，傳統(tǒng)滲透力式(8)也應視為經驗性的Terzaghi有效應力方程聯(lián)合其他基本方程的一個具體應用.

以下對比蔣中明等[6]對有效應力方程的應用情況.按其推導思想，在總應力平衡方程中，利用σ=σ+χu?χu(χ為任一實數(shù))數(shù)學恒等式以及飽和土物理指標關系：γsat= γd+nγw(γd是土體干重度)，同時考慮本文其他兩個基本方程，可以推導出以下一維平衡微分方程

當χ=n時，式(24)退化為

式(25)對應于文獻[6]在豎直方向滲流的一維結果(符號約定稍有不同).式(25)等號左端第4項就是式(23)給出的滲透力新定義形式.但這是滲透力嗎？

按文獻[6]，式(25)左端第3項被“規(guī)定定義”為浮力，理由是“重力方向的壓力差或壓力梯度就是浮力”；第4項nγwi被規(guī)定定義為“代表拖曳力”；而滲透力被詮釋為由式(25)等號左端最后兩項共同構成，容易得到，式(25)左端最后兩項的和

顯然，式(26)的結果并不僅受滲流的影響，將“浮力”與“拖曳力”之和定義為“滲透力”值得商榷.

此外，文獻[6]的“浮力”定義對于靜水壓力狀態(tài)才成立；因為此時重力勢和孔壓勢梯度之和為零，所以也可以用重力勢梯度來表述.但對于一般的滲流狀態(tài)，將總孔壓梯度作為浮力是不合適的，因為此時?u/?z受滲流影響是變數(shù).這意味著單位體積的“浮力”不是常數(shù).所以，這種分析方法似乎沒有充分闡明和區(qū)分浮力和滲透力的準確內涵，也不能作為式(23)具有合理性的證明.

如果將變換后平衡方程中出現(xiàn)的任一γwi有關項，都稱為滲透力，如式(24)中的χγwi，似乎也是不合適的，因為χ是任一實數(shù).在骨架平衡方程中，當且僅當γwi有關項全部反映滲流的影響時，將其歸為滲透力才是合理的.而骨架平衡方程式(24)和(25)中?u/?z其實仍然與滲流相關.

容易看出，式(25)與式(9)或式(7)實際上完全等價，而且都采用了Terzaghi有效應力方程.

5.4 滲透力新定義式(23)還有其他解讀方法嗎？

這里將詳細論述一種證明式(23)的可能方法.

前述3個基本方程中，用Biot有效應力方程[20]

替代Terzaghi有效應力方程式(2)，按同樣思路和推導即分別得到骨架和孔隙水平衡方程的另一形式

當孔隙率n隨埋深不變或其梯度為零時，式(28)和式(29)分別簡化為

對比式(30)與骨架平衡微分方程式(9)可知，只有式(30)等號左端第2項與滲流有關.所以，形式上nγwi也同樣符合滲透力定義的兩種條件，即式(23)可稱為一種滲透力，這在形式上可以得到論證.

盡管文獻[7,17]并沒有闡明采用Biot有效應力方程式(27)，但根據(jù)上述分析，異于傳統(tǒng)的滲透力式(23)隱含了Biot有效應力方程，而其他有效應力方程無法在形式上得到式(23)的結果.

5.5 滲透力新定義式(23)的應用會帶來哪些變化？

滲透力的傳統(tǒng)表述式(8)與新定義式(23)明顯不同.新滲透力式(23)若要得到巖土工程界的普遍接受，除了最終需要工程實踐檢驗之外，還應事先在理論上體現(xiàn)其不同以往的特點或優(yōu)點.

因此就有必要對本文基本方程之一的有效應力方程加以討論.如前所述，兩種滲透力結果差異的主要原因是分別采用了Terzaghi有效應力方程式(2)和Biot有效應力方程式(27).對同一問題而言，總應力σ和孔隙水壓u相對客觀，而有效應力無法直接測量，因而可以按無量綱方法分析不同有效應力方程對應的無量綱有效應力的差異性規(guī)律，見圖2.其中，式 (2)對應于 σ′/σ =1?u/σ，而式 (27)對應于σ′/σ =1?nu/σ.

圖2 Biot和Terzaghi兩種有效應力方程的無量綱形式Fig.2 Dimensionless forms of e ff ective stress equations given by Biot and Terzaghi,respectively

分析圖2可知，只有在無量綱孔壓u/σ為零時，兩種無量綱有效應力σ′/σ結果才相同.隨著u/σ的增大，兩者差別逐漸顯著，其中 σ′/σ的 Biot理論值總是大于u/σ相同情況下的Terzaghi理論值.當u/σ =1時，按 Terzaghi理論得到的 σ′/σ 為零，這符合通常的理解和認識，而且常用作發(fā)生流土或砂沸的臨界判別條件.但此時若按Biot理論，則有σ′/σ=1?n＞0，不會發(fā)生流土.

而當基于 Biot有效應力方程的無量綱有效應力 σ′/σ =0時，則要求對應的無量綱孔壓 u/σ =1/n＞1.此時相應的Terzaghi有效應力是負值，即σ′/σ=(n?1)/n＜0.這對經典土力學觀點而言，將出現(xiàn)比較奇怪的現(xiàn)象:對于不能承受拉應力的土體，此時早已發(fā)生破壞而可能不存在該狀態(tài).所以，在相同的總應力和孔壓條件下，相比Terzaghi有效應力方程，在判斷流土現(xiàn)象時，基于Biot有效應力方程的結果在理論上偏于不安全.

進一步看，出現(xiàn)流土的臨界力學條件一般為σ′=0.按本文式(17)，在均質土層的表面載荷q=0條件下，當滲透力 j=γwi=γ′時，土層中任意點σ′(z)≡0，由此推導出通常的臨界水力梯度

因此，有

在實際工程中,土體平均孔隙率有一定的變化范圍[21]，對常見砂土 n一般為 0.29～0.44，而對通常黏性土n為0.29～0.52.再根據(jù)傳統(tǒng)的臨界水力梯度icr,T值[14]大多介于0.85和1.1之間的經驗，以及式(34)，就可以得到icr,B對應的大致變化范圍為2.6～6.2.

因此，icr,B/icr,T在2.4～7.3之間，相對于傳統(tǒng)土力學中的經驗結果，基于常見土體參數(shù)統(tǒng)計規(guī)律的臨界水力梯度經驗值將偏大很多.可見，滲透力新定義式(23)及其對應的icr,B用于流土(砂)可能性的破壞評價時，是非常不安全的.

再結合張邦芾[22]近兩年的基坑滲流試驗結果予以驗證.在該試驗中，4組試驗細砂土樣平均孔隙率 n為 0.48～ 0.49，飽和重度 γsat為 18.21～18.05kN/m3，傳統(tǒng)的臨界水力梯度值icr,T為0.858～0.842.4種工況的坑內止水帷幕插入深度范圍內平均水力梯度i為1.013～1.153,大于icr,T；試驗最終觀察到各工況均發(fā)生流土破壞.按傳統(tǒng)滲透力定義式(8)和對應臨界水力梯度式(32)可以較好地評估此類滲透破壞.

而如果按滲透力新定義式 (23)及對應的臨界水力梯度式(33)，發(fā)生流土的臨界水力梯度icr,B為2.867～2.755.因為i＜icr,B，所以試樣理論上應處于穩(wěn)定狀態(tài)，但實際試驗中卻發(fā)生了流土破壞.這表明滲透力新定義及對應臨界水力梯度在這種情況下是不適用的，將其普遍用于指導工程實踐的安全風險可能很高.

5.6 其他

此外，當?shù)乇磔d荷q≠0時，傳統(tǒng)流土臨界條件j=γ′將不再適用，因為按式(17)有σ′(z)≡q≠0.這也反映了傳統(tǒng)滲透力概念在應用中的局限性，此時判別流土臨界狀態(tài)，也可以不采用滲透力概念而直接按有效應力來處理.

筆者還注意到，1958年，蘇聯(lián)學者格爾西萬諾夫和包利興[2]在研究地下水層流上升時的現(xiàn)象時，采用了如下方程

該方程與式(9)有些相似，但文獻[2]既沒有闡明該式的由來，也沒有提到本文的3個基本方程，而且還將式(35)等號左端最后1項闡明為干容重(干重度).按式(9)來看，這可能是錯誤的，應該為浮重度.

在推導滲透力(動水壓力)時，文獻[2]并不是從式(35)出發(fā)，而是根據(jù)前述宏觀尺寸的孔隙水隔離體法，在考慮孔隙水慣性力的影響下得到滲透力表達式

式中，q是滲流速度，在文獻[2]中寫為g可能是刊誤.式(36)等號右端第2項反映孔隙水慣性力影響.

筆者基于已有的固結理論方面的成果[10]，在忽略骨架速度和加速度的前提下[23]，探討并提出一種能夠考慮液相速度和加速度的廣義多維滲透力

如果在式(37)中引入以下簡化假設：(1)Terzaghi有效應力方程成立ηij=δij；(2)一維問題假定i=j=z；(3)孔隙流體為孔隙水ρf=ρw，則式(37)嚴格退化為

不難發(fā)現(xiàn)，化簡后的多維廣義滲透力式(38)與式(36)等價，即這樣，初步證明了格爾西萬諾夫和包利興提出的一維滲透力式(36)在理論上依然是嚴謹?shù)?，同時也揭示了其滲透力推導方法中同樣隱含使用了Terzaghi有效應力方程，而其他有效應力方程無法導出式(36).

值得關注的還有，國內學者雷國輝等[2425]還研究了滲透力在瑞典條分法邊坡穩(wěn)定分析中應用的注意事項與局限性，并提出作用在骨架上的滲透力并非體積力的觀點等.但是，Pan等[26]在三維邊坡穩(wěn)定分析中，卻將滲透力視為作用于離散單元上的體積力進行數(shù)值計算.另外，Al-Madhhachi等[27]在黏性土侵蝕率模型中考慮了滲透力概念以改進經典Wilson模型的預測精度.這些研究中采用的滲透力主要是式(8)的傳統(tǒng)形式，而沒有使用更精確的式(36)或式(38).這表明，在工程實踐中，亟待加強滲透力的理論和應用研究.

6 結論

(1)針對一維工況，明確了分析飽和土滲透力和浮力的3個基本方程，由此分別得到骨架平衡微分方程式(9)和孔隙水隔離體平衡微分方程式(13).這兩種方法和思路都能夠準確而不失簡潔地推導出滲透力和浮力.傳統(tǒng)和主流的宏觀尺度孔隙水隔離體法不再是分析滲透力和浮力的唯一方法.

(2)土中無水時，骨架平衡微分方程式(9)可以退化為彈性力學平衡微分方程(干土).不考慮滲透力(和浮力)時，孔隙水平衡微分方程(13)可以退化為流體力學歐拉方程(和帕斯卡靜壓傳遞方程).

(3)一維滲流問題中的有效應力計算，在簡單情況下可以按滲透力和浮力分析即式(17).但一般情況下可以直接按本文3個基本方程求解即式(19)，此時無需利用滲透力等概念.

(4)對最新滲透力研究成果的討論工作表明：①證明傳統(tǒng)滲透力式(8)存在合理性的關鍵因素是充分和正確地應用3個基本方程中的Terzaghi有效應力方程；②從Biot有效應力方程及本文其他2個基本方程來看，其他學者提出的滲透力新定義j=nγwi在形式上是合理的，但從有限的工程實踐經驗和試驗成果來分析，該新定義若用于流土破壞評估等工程問題則可能是很不安全的，值得注意和警惕.

(5)格爾西萬諾夫和包利興提出的滲透力定義式(36)，在Terzaghi有效應力方程和一維問題范疇內是嚴謹成立的，仍不過時.

致謝感謝匿名審稿專家給本文提出的寶貴指導意見；科學出版社工程技術分社張曉娟編輯和北京交通大學土建學院李艦博士協(xié)助進行本文標點符號和個別語言的修改完善；北京交通大學陳曦教授對摘要的英文翻譯加以潤色和改進；研究生王思遠將圖1和圖2改繪為AUTOCAD格式.謹此致謝.

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ONE-DIMENSIONAL SEEPAGE FORCE AND BUOYANCY1)

Ding Zhouxiang?,?,2)?(School of Civil Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China)
?(Shaanxi Provincial Major Laboratory for Highway Bridge&Tunnel，Xi’an 710064，China)

Forthesakeofsimplicity,twomethodsofderivingseepageforceandbuoyancyassociatedwithone-dimensional fl uid fl ow in saturated soil were developed to give a uselful supplement to conventional macro-scale method of isolated pore fl uid.To study the seepage force and buoyancy,three fundamental governing equations,namely,equilibrium di ff erential equation in elasticity,Terzaghi’s e ff ective stress equation and simpli fi ed Bernoulli’s equation in fl uid mechanics,are utilized for the derivation of seepage force and buoyancy.Based on the fundamental governing equations,it is readily to derive the di ff erential equations of equilibrium corresponding to the isolated soil skeleton and the isolated pore fl uid,and hence,the connotation and nature of seepage force and buoyancy can be disclosed.The seepage force per unit volume of saturated soil arises from the gradient of fl uid pressure in terms of total head.The buoyancy originates in the vertical component of gradient of fl uid pressure in terms of position head.Both the seepage force and the buoyancy can be embodied in equilibirium di ff erential equation with respect to skeleton or pore fl uid of satured soil.In geotechnical practice,the three governing equations can be directly applied to the calculation of e ff ective stress.Only in some simpli fi ed cases,the distribution of e ff ective stress can be obtained using the seepage force and buoyancy.Additionally,some hot topics are also discussed in this study,and emphasis shall be put on the discussion on the rationality and the potential application risk of the new de fi nition of seepage force,i.e.,j=nγwi.The strictness of one classic formulation of seepage force in history was thoroughly validated when considering the derivative of seepage velocity with respect to time.It is noteworthy that in the study of seepage force and buoyance from the perspective of soil mechanics,the Terzaghi’s e ff ective stress equation shall be reasonably implemented with practical signi fi cance.

seepage force，buoyancy,e ff ective stress principle,pore water pressure,di ff erential equilibrium equation.

TU431

A

10.6052/0459-1879-17-001

2017–01–01收稿，2017–06–08 錄用,2017–06–22 網(wǎng)絡版發(fā)表.

1)國家自然科學基金(51278028,41172221)和中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金(310821161119,2014JBM087)資助項目.

2)丁洲祥，博士，副教授，主要研究方向：固結理論及其在巖土和隧道工程中的應用.E-mail:dingzhouxiang@163.com

丁洲祥.一維滲透力與浮力.力學學報，2017，49(5):1154-1162

Ding Zhouxiang.One-dimensional seepage force and bouyancy.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(5):1154-1162