對狼追兔問題不同解法的思考

摘要：高職數(shù)學教學的價值在于：培養(yǎng)學生的思維能力和應用能力。高職數(shù)學教學應適應學生認知水平，結合教學內(nèi)容，向?qū)W生展示初高等數(shù)學的區(qū)別與層次，促使學生磨礪解決問題的思維過程，促進學生整合完善知識系統(tǒng)，進而遷移數(shù)學思維模式內(nèi)化為學生的能力素質(zhì)。

關鍵詞：函數(shù)；極限；初高等數(shù)學的不同

【分類號】O13-4；G642；O12-4

設有一只兔子和一只狼，兔子位于狼的正北100m處。假設兔子與狼同時發(fā)現(xiàn)對方，并開始了一場追逐。兔子往正東60m處的巢穴跑，而狼則在其后追趕。假設兔子和狼均以最大速度勻速奔跑且狼的速度是兔子速度的兩倍。問兔子能否安全回到巢穴。

解法一：對初中生來說，這是一個直角三角形的問題

兔子的巢穴與狼之間的距離為 =116.62米。狼的速度是兔子速度的兩倍，兔子跑60米時，狼可以跑120米，現(xiàn)在實際距離是116.62米。狼只要守株待兔，提前跑到兔巢，故兔子不能安全回到巢穴。

以上三種解法在不同的學習階段都可以說正確的，初等數(shù)學的兩種解法結果狼能吃著兔子，高等數(shù)學的解法結果狼吃不著兔子，究其原因是狼追兔的方式不同，狼追擊的路程也就不同。高等數(shù)學的解法更接近狼一直盯著兔子追的實際情況。

剛上大學的學生認為高等數(shù)學難一點，初等數(shù)學容易一些，這樣理解是片面的、錯誤的，忽視了原來人們對它們的認知。從上例題的三種解法可以看出：初等數(shù)學是從相對靜止的角度分析問題，用常量與勻變量解決問題；而高等數(shù)學用到的是動態(tài)的思維分析問題，用不勻變量解決問題。以變量代替常量是初等數(shù)學與高等數(shù)學的本質(zhì)區(qū)別。在高中階段的確有大量難解的題目，這些難題知識建立在靜態(tài)的、勻變量基礎上的綜合，必須用相應的性質(zhì)技巧思想方法去解決。在大學階段，隨著數(shù)學知識廣度深度的拓展，思想方法的提升，解決問題的方法有了質(zhì)的飛躍。

一、高等數(shù)學與初等數(shù)學的知識廣度不同，因此解決問題的范圍也就不同。

初等數(shù)學主要是以研究直線、平面、有限的、靜態(tài)的為主要特征的。高等數(shù)學主要是以研究曲線、曲面、無限的、動態(tài)的為主要特征的。高等數(shù)學的微積分是以極限思想為根基分析問題，分析事物瞬間的變化為出發(fā)點，研究事物運動趨勢，用微積分描述事物即時運動狀態(tài)，建立微分方程。因此高等數(shù)學解決問題的范圍更廣，更能如實反應問題的實際情況。

從上例可見，用初等數(shù)學研究狼追兔，狼的運動過程可以濃縮成一張靜態(tài)圖片；而用微積分解決狼追兔問題時，是逐幀監(jiān)控狼運動過程的全部影像。

二、高等數(shù)學與初等數(shù)學的研究問題的深度不同，解決問題的工具方法不同。

初等數(shù)學的研究問題的范圍是離散的、獨立的、相對靜止的事物，高等數(shù)學的研究問題的范圍是連續(xù)的、不間斷的、動態(tài)的事物。從圖像的角度區(qū)分：研究的是規(guī)則與不規(guī)則；從物體運動的角度區(qū)分：勻變速直線運動與變速曲線運動；從研究函數(shù)的角度區(qū)分：初等數(shù)學只研究自變量在定義域內(nèi)每一個x0的孤立的、相對靜止的函數(shù)值。而高等數(shù)學研究自變量在定義域內(nèi)每一個x0鄰域的不間斷的、動態(tài)的無限接近x0的函數(shù)變化趨勢。初高等數(shù)學看待自變量的角度和深度有了很大變化，高等數(shù)學自變量是不均勻變化，只需探求函數(shù)變化趨勢，充分體現(xiàn)了函數(shù)自變量的“自變”的特征。

以上例來看，我們要確定狼的運動速度，初等數(shù)學將狼的速度看作大小不變方向固定的常量。而高等數(shù)學將狼的運動速度看做變量。根據(jù)狼的運動狀態(tài)，將某一位置x0相對靜止，在x0處有微小變化的dx，產(chǎn)生狼的運動趨勢，進一步將運動趨勢看成水平和向上的速度分量合成關系，建立微分方程。

三、高等數(shù)學解決問題的思想方法有質(zhì)的飛躍。

初等數(shù)學以函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類討論、化歸與轉化、特殊與一般等思想方法構成，大學數(shù)學是一個全新的領域，思想方法也有更進一層拓展，其中微積分是以極限為綱的，在此基礎上發(fā)展出微分思想、積分思想。由于極限的引入給數(shù)學帶來的是思維方式的根本轉變。所以極限是整個高等數(shù)學大廈的地基。高等數(shù)學之所以能解決許多初等數(shù)學無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題），正是采用了極限的思想方法。

以本例來看，將“狼在其后追趕”不妨理解為 “狼一直盯著兔子無限地接近”，即是狼追兔所體現(xiàn)出的極限思想，這正是微積分的函數(shù)極限的精髓所在。如果學生體會到了這一思維變化那么思想方法就有了質(zhì)的飛躍。

結束語

我們時常天真的希望僅用一種方法解決所有問題，但實際上根本行不通。只有針對客觀問題的實際情況采用有針對性的方法，才能正確的合理的解釋客觀現(xiàn)實問題，這一點在數(shù)學上表現(xiàn)得尤為突出。所以，數(shù)學能力并非僅僅體現(xiàn)在對概念和知識體系的理解上，還體現(xiàn)在掌握數(shù)學知識的多少。學生接受高等教育的本質(zhì)是獲得更多的知識，加強自身修養(yǎng)和素質(zhì)，提高對事物認識的深度和水平，從而提高學生判斷能力，進一步提高學生解決實際問題的能力。

參考文獻：

[1] 樂經(jīng)良 上海交大數(shù)學系《導彈追蹤問題》http：//www.docin.com/p-3001297.html

作者簡介：梁軍（1967-），女，漢族，天津人，天津濱海職業(yè)學院副教授，主要從事高等數(shù)學教學。