離散數(shù)學(xué)的代數(shù)系統(tǒng)理論在密碼學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】本文分析了離散數(shù)學(xué)中的代數(shù)系統(tǒng)理論與密碼學(xué)課程之間的關(guān)系，闡述了離散數(shù)學(xué)在密碼學(xué)領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】離散數(shù)學(xué) ； 密碼學(xué) ； 教學(xué)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）7-0250-02

一、引言

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的基礎(chǔ)課，為計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的后續(xù)課程提供專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。該課程可以全方位培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，為學(xué)生學(xué)習(xí)其它專(zhuān)業(yè)課程建立數(shù)學(xué)的思想。

該課程包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論四個(gè)大部分。每個(gè)部分與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)庫(kù)，人工智能，數(shù)字邏輯，編譯原理等課程都密切相關(guān)。

本文我們將闡述離散數(shù)學(xué)中的代數(shù)系統(tǒng)理論部分與密碼學(xué)的相關(guān)性，并且分析該理論在密碼學(xué)領(lǐng)域的若干應(yīng)用。

二、代數(shù)系統(tǒng)理論與密碼學(xué)的相關(guān)性及在密碼學(xué)的應(yīng)用

離散數(shù)學(xué)中的代數(shù)系統(tǒng)理論包括代數(shù)系統(tǒng)的一些基本概念、半群與獨(dú)異點(diǎn)、群、環(huán)與域、格與布爾代數(shù)。代數(shù)系統(tǒng)與密碼學(xué)聯(lián)系非常緊密，為密碼學(xué)提供非常重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。現(xiàn)將代數(shù)系統(tǒng)理論在密碼學(xué)中的若干應(yīng)用列舉如下：

密碼學(xué)中，凱撒密碼是一種最簡(jiǎn)單且最廣為人知的加密技術(shù)，是一種簡(jiǎn)單的基于替換原理的加密技術(shù)。凱撒密碼將明文中的所有字母都在字母表上向后（或向前）按照一個(gè)固定數(shù)目進(jìn)行偏移后被替換成密文，其中固定數(shù)目的偏移量為加解密密鑰。例如當(dāng)偏移量為3，字母A將被替換成D，B變成E，其它的字母按此規(guī)則類(lèi)推。在代數(shù)系統(tǒng)理論中群是一種典型的代數(shù)系統(tǒng)，具有封閉性、可結(jié)合性、含單位元以及每個(gè)元素都有逆元等性質(zhì)。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)凱撒密碼就是一個(gè)特殊的群，是建立在26個(gè)字母之上，字母與密鑰進(jìn)行運(yùn)算的剩余模群。通過(guò)對(duì)于群理論的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生更好的理解凱撒密碼的本質(zhì)。

在密碼學(xué)中有一個(gè)重要的公鑰加密算法的RSA，該算法是目前最安全的公鑰加密算法，可以抵抗目前已知的絕大多數(shù)密碼攻擊。數(shù)論中的費(fèi)馬小定理為RSA提供數(shù)學(xué)上的安全性保證。通過(guò)對(duì)于費(fèi)馬小定理的原理和正確性的理解可以更好的理解RSA算法的安全性，在實(shí)際中更好地使用RSA算法。

在密碼學(xué)中的橢圓曲線密碼是基于橢圓曲線的一種公鑰密碼算法，該密碼安全性基于橢圓曲線離散對(duì)數(shù)的困難性上，是一個(gè)有限域上橢圓曲線的阿貝爾群。對(duì)于在代數(shù)系統(tǒng)理論中群和域的概念以及性質(zhì)進(jìn)行認(rèn)真學(xué)習(xí)和理解可以用于橢圓曲線密碼的學(xué)習(xí)。

三、離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)其他學(xué)科中的應(yīng)用

離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)研究中的作用越來(lái)越大，計(jì)算機(jī)科學(xué)中普遍采用離散數(shù)學(xué)中的一些基本概念、基本思想、基本方法，使得計(jì)算機(jī)科學(xué)越趨完善與成熟。離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)和技術(shù)中有著廣泛應(yīng)用，除了在上述提到的領(lǐng)域中發(fā)揮了重要作用外，在其他領(lǐng)域也有著重要的應(yīng)用，如離散數(shù)學(xué)中的數(shù)理邏輯部分在計(jì)算機(jī)硬件設(shè)計(jì)中的應(yīng)用尤為突出，數(shù)字邏輯作為計(jì)算機(jī)科學(xué)的一個(gè)重要理論，在很大程度上起源于離散數(shù)學(xué)的數(shù)理邏輯中的命題與邏輯演算。利用命題中各關(guān)聯(lián)詞的運(yùn)算規(guī)律把由高低電平表示的各信號(hào)之間的運(yùn)算與二進(jìn)制數(shù)之間的運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)，使得我們可以用數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決電路設(shè)計(jì)問(wèn)題，使得整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程變得更加直觀，更加系統(tǒng)化。集合論在計(jì)算機(jī)科學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用，它為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法分析奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也為許多問(wèn)題從算法角度如何加以解決提供了進(jìn)行抽象和描述的一些重要方法，在軟件工程和數(shù)據(jù)庫(kù)中也會(huì)用到。代數(shù)結(jié)構(gòu)是關(guān)于運(yùn)算或計(jì)算規(guī)則的學(xué)問(wèn)，在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，代數(shù)方法被廣泛應(yīng)用于許多分支學(xué)科，如可計(jì)算性與計(jì)算復(fù)雜性、形式語(yǔ)言與自動(dòng)機(jī)、密碼學(xué)、網(wǎng)絡(luò)與通信理論、程序理論和形式語(yǔ)義學(xué)等，格與布爾代數(shù)理論成為電子計(jì)算機(jī)硬件設(shè)計(jì)和通訊系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的重要工具，圖論對(duì)開(kāi)關(guān)理論與邏輯設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)制圖、操作系統(tǒng)、程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言的編譯系統(tǒng)以及信息的組織與檢索起重要作用，其平面圖、樹(shù)的研究對(duì)集成電路的布線、網(wǎng)絡(luò)線路的鋪設(shè)、網(wǎng)絡(luò)信息流量的分析等的實(shí)用價(jià)值顯而易見(jiàn)。

四、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)上面的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)離散數(shù)學(xué)中的代數(shù)系統(tǒng)理論在密碼學(xué)領(lǐng)域的作用非常重要，離散數(shù)學(xué)不僅是計(jì)算機(jī)技術(shù)迅猛發(fā)展的支撐學(xué)科，更是提高學(xué)生邏輯思維能力、創(chuàng)造性思維能力以及形式化表述能力的動(dòng)力源，離散數(shù)學(xué)課程所傳授的思想和方法，廣泛地體現(xiàn)在計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)及相關(guān)專(zhuān)業(yè)的諸領(lǐng)域，從科學(xué)計(jì)算到信息處理，從理論計(jì)算機(jī)科學(xué)到計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)，從計(jì)算機(jī)軟件到計(jì)算機(jī)硬件，從人工智能到分布式系統(tǒng)，無(wú)不與離散數(shù)學(xué)密切相關(guān)。在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)中，如果不了解離散數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，則在計(jì)算機(jī)科學(xué)中就寸步難行了。

參考文獻(xiàn)

[1]任勛益.離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)安全結(jié)合改進(jìn)教學(xué)[J].軟件導(dǎo)刊，2009（12）

[2]劉宏月，張行進(jìn)等.面向信息安全學(xué)科的離散數(shù)學(xué)教學(xué)探究[J].計(jì)算機(jī)教育，2012（15）：23-26

[3]屈婉玲，耿素云等.離散數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008

[4]丁寶康主編.數(shù)據(jù)庫(kù)原理[M].經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，2000

[5]馮登國(guó)，裴定一編著.密碼學(xué)導(dǎo)引[M].科學(xué)出版社，1999

[6]魏獻(xiàn)祝主編.高等代數(shù)[M].華東師范大學(xué)出版社，1997

[7]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].高等教育出版社，1983

作者簡(jiǎn)介：劉文（1982.8-），女，湖南湘潭人，博士，漢族，中國(guó)傳媒大學(xué)，副教授，主要研究領(lǐng)域信息安全。endprint