數(shù)學(xué)建模在數(shù)值分析教學(xué)中的實踐探索

馮男++張鐵

【摘要】數(shù)值分析是研究用計算機求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計算方法，數(shù)學(xué)模型是對某一實際問題或?qū)嶋H系統(tǒng)發(fā)生的現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述。本文是作者近年來在數(shù)值分析教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模教學(xué)實踐的一點心得體會和探索總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)值分析 ； 數(shù)學(xué)建模 ； 教學(xué)改革

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】B 【文章編號】2095-3089（2015）36-0006-01

一、數(shù)值分析與數(shù)學(xué)建模課程的有機聯(lián)系

數(shù)值分析是信息與計算科學(xué)和數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的主干課程，同時也是很多工科專業(yè)的基礎(chǔ)課。它是研究用計算機求解各種數(shù)學(xué)問題的計算方法的一門學(xué)科，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)在計算機上應(yīng)用的重要基礎(chǔ)工具，也是繼續(xù)學(xué)習(xí)和掌握其它常用算法的基礎(chǔ)課程。數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)符號對某一實際問題或?qū)嶋H系統(tǒng)發(fā)生的現(xiàn)象的（近似） 描述的一門學(xué)科。隨著科技的發(fā)展，兩個學(xué)科的相互滲透和有機聯(lián)系越來越緊密。它們都特別強調(diào)理論與實踐相結(jié)合，注重將數(shù)學(xué)理論與計算機和實際問題有機結(jié)合。我們知道，用計算機的手段去解決實際問題，首先要建立起適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，就是將實際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，然后對數(shù)學(xué)問題建立相應(yīng)的數(shù)值方法。工程實際或其他學(xué)科中的許多問題，如飛機船舶的外形設(shè)計、電子電路的設(shè)計、投入產(chǎn)出模型、天氣預(yù)報等等，都可以用數(shù)學(xué)模型來描述。在數(shù)學(xué)建模過程中，經(jīng)常會用到數(shù)值分析課程介紹的算法，如解方程組的迭代法、函數(shù)插值方法、最小二乘擬合方法等。由此可見，數(shù)學(xué)建模與數(shù)值分析關(guān)系密切，數(shù)值分析為數(shù)學(xué)建模提供解決方案，數(shù)學(xué)建模反過來極大地推動數(shù)值分析的發(fā)展。

二、數(shù)值分析課程特點及教學(xué)現(xiàn)狀

1.知識面跨度大

數(shù)值分析廣泛運用多門數(shù)學(xué)學(xué)科的知識，內(nèi)容包括數(shù)值逼近、數(shù)值積分、線性代數(shù)方程組的直接解法和迭代方法、非線性方程組的計算方法、矩陣特征值與特征向量的計算、常微分方程數(shù)值計算等，涉及高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、微分方程甚至泛函分析等眾多數(shù)學(xué)理論。學(xué)生在學(xué)習(xí)本門課程之前，雖然都學(xué)過高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)，有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但更多是把數(shù)學(xué)當(dāng)作一門應(yīng)用工具，對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)源動力明顯不足，面對復(fù)雜的定理公式容易產(chǎn)生畏難情緒。數(shù)值分析畢竟屬于數(shù)學(xué)類課程，不可避免的會出現(xiàn)大量抽象的定理公式，而且該課程的定理證明多繁瑣，計算公式多冗長， 因此學(xué)生上課時更容易產(chǎn)生晦澀難懂之感覺。

2.既有可靠的理論分析，又注重理論與應(yīng)用相結(jié)合。

與其他純數(shù)學(xué)理論課程相比，數(shù)值分析除了具備數(shù)學(xué)的高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點之外，還特別注重運用這些理論構(gòu)造適合計算機執(zhí)行的數(shù)值方法， 根據(jù)計算機特點提供實際可行的有效算法。 它的許多理論與方法本身并不是數(shù)學(xué)學(xué)科的產(chǎn)物，而是以“計算”為目標(biāo)發(fā)展起來的。因此公式推導(dǎo)和算法比較多，計算量比較大。從數(shù)值分析的教材上可以看出，從理論上來說，這門課就是在講算法，課堂上大部分時間都是在講解繁瑣的理論推導(dǎo)。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時，為了能夠很好地說明解決實際問題中數(shù)值計算方法的功勞所在， 經(jīng)常存在的大量靠手工計算難以完成的計算任務(wù)。

3.教學(xué)現(xiàn)狀

由于學(xué)時較少，有些算法不可能詳細(xì)地講解，只能介紹一些基本思想。所以如果學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不太扎實，聽課的效果就會很差，更談不上創(chuàng)新意識和應(yīng)用能力的培養(yǎng)。如果想在有限的課時內(nèi)盡量讓學(xué)生掌握足夠的知識并培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和科研能力，必須加強數(shù)值分析各學(xué)科之間的聯(lián)系，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，同時也必須對教學(xué)方法進行改革。但傳統(tǒng)的教學(xué)模式只注重講授數(shù)值方法的原理，算法的理論推導(dǎo)占據(jù)了整個教學(xué)過程的大部分時間，實踐環(huán)節(jié)的教學(xué)缺乏，使得學(xué)生不能很好地運用所學(xué)的理論去解決實際問題。現(xiàn)在許多教師已經(jīng)意識到這個問題，在實際授課中開始關(guān)注實踐環(huán)節(jié)。但是目前的實驗教學(xué)，無論從內(nèi)容上或是形式上都附屬于理論教學(xué)，先講理論，然后讓學(xué)生編程驗證，很難從根本上提高學(xué)生的動手能力和創(chuàng)新能力。

三、數(shù)學(xué)建模與數(shù)值分析教學(xué)實踐結(jié)合的探索

1.教學(xué)內(nèi)容中融入數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)值分析課程的教材內(nèi)容主要包括數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近、微分方程數(shù)值解法三部分。 我們在傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，增加了數(shù)學(xué)軟件Matlab應(yīng)用基礎(chǔ)部分，就是為了讓同學(xué)們在以后的建模，計算過程中少走彎路。可以說，數(shù)值分析的每個章節(jié)都能與實際問題建立聯(lián)系，每個實際問題都能在數(shù)學(xué)建模中得到應(yīng)用。因此，我們在教學(xué)中，注重在傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容中穿插數(shù)值實驗，而實驗題目我們就直接選擇實際問題讓同學(xué)們建模求解。近年來，隨著大學(xué)生更加熱衷參與各種數(shù)學(xué)建模競賽，使得學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)值分析課程的熱情也明顯提高，尤其我們增加了一些數(shù)學(xué)建模的相關(guān)內(nèi)容，選擇的實驗題目也多為全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽或者美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中的經(jīng)典題目。

2.在教學(xué)方法上加入數(shù)學(xué)建模手段

我們不僅將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值分析教學(xué)內(nèi)容中， 還將借助于豐富的教學(xué)手段應(yīng)用到教學(xué)過程之中。在教學(xué)中我們將傳統(tǒng)的黑板教學(xué)模式與多媒體課件教學(xué)結(jié)合使用，使學(xué)生更易于理解和掌握所學(xué)知識并激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主觀能動性。我們選用的課件是我們幾位教學(xué)經(jīng)驗豐富的老師在多年的教學(xué)過程中反復(fù)修改制作，并獲得過校級多媒體課件大賽三等獎的作品。數(shù)學(xué)軟件的大量應(yīng)用是我們數(shù)值分析教學(xué)過程中的又一亮點，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，各種數(shù)學(xué)軟件尤其是Mathematica、 Matlab等大量地應(yīng)用在科學(xué)計算的各個領(lǐng)域。我們通過解決問題時數(shù)學(xué)軟件的介紹及應(yīng)用，讓同學(xué)們掌握更多更有效地解決實際問題的手段，提高他們的科研能力和創(chuàng)新能力。

3.在考試方式上增加建模題目考查

我們知道，好的考試方式能夠推進素質(zhì)教育，而差的考試方式必然導(dǎo)致學(xué)生成為應(yīng)試考試的。我們將考試由傳統(tǒng)的期末一張卷變革為以下幾個部分的綜合考查：（1）平時作業(yè)；（2）專題論文；（3）上機實驗報告；（4）期末測試。四種考查方式貫穿教學(xué)過程，按適當(dāng)權(quán)重計入最終成績。

四、結(jié)語

近年來，我們在數(shù)值分析教學(xué)中大量滲透數(shù)學(xué)建模思想，積極進行數(shù)學(xué)建模實踐。通過數(shù)值分析算法的訓(xùn)練和數(shù)學(xué)建模經(jīng)典題目的研究，探索數(shù)值方法實際應(yīng)用的源泉，體現(xiàn)數(shù)值方法的現(xiàn)實價值和實際意義。我們的學(xué)生在近幾年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽以及美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中屢創(chuàng)佳績，既激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)欲望，同時也促進了數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量的顯著提高。

參考文獻

[1]張鐵，閻家斌.數(shù)值分析.北京：冶金工業(yè)出版社，2006.

[2]馮男，史大濤.工科研究生數(shù)值分析課程教學(xué)改革的探索與實踐，中國校外教育，2012.endprint