基于卡爾曼濾波的地表移動(dòng)變形預(yù)測(cè)*

許哲明

(南昌大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 南昌 330031)

基于卡爾曼濾波的地表移動(dòng)變形預(yù)測(cè)*

許哲明

(南昌大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 南昌 330031)

針對(duì)傳統(tǒng)卡爾曼濾波模型在地表變形預(yù)測(cè)中依賴于噪聲和數(shù)學(xué)模型而導(dǎo)致的運(yùn)行發(fā)散問(wèn)題，提出了一種基于方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波的建筑地表移動(dòng)變形預(yù)測(cè)分析方法.提出的自適應(yīng)卡爾曼濾波主要是通過(guò)適當(dāng)?shù)墓浪愫托拚到y(tǒng)模型的不確定參數(shù)以及噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，來(lái)彌補(bǔ)濾波過(guò)程中噪聲方差的不足.建立了自適應(yīng)卡爾曼濾波的數(shù)學(xué)模型，并在Matlab軟件上對(duì)地表移動(dòng)變形預(yù)測(cè)進(jìn)行了仿真分析，其結(jié)果驗(yàn)證了所提卡爾曼濾波方法在地表移動(dòng)變形預(yù)測(cè)應(yīng)用中的可行性，表明該方法有效提高了實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)的可靠性和預(yù)測(cè)精度.

地表變形； 卡爾曼濾波； 方差補(bǔ)償； 自適應(yīng)； 預(yù)測(cè)； 數(shù)學(xué)模型； Matlab仿真； 可靠性

建筑物的大量開(kāi)發(fā)會(huì)破壞周圍巖體的原始應(yīng)力狀態(tài)，從而引起地表巖層的移動(dòng)變形，為地表建筑帶來(lái)較大的安全隱患.如果能夠準(zhǔn)確實(shí)時(shí)地對(duì)地表建筑物上任意點(diǎn)的移動(dòng)變形數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，則可以進(jìn)行有計(jì)劃的維護(hù)和防御，防止次生災(zāi)害的發(fā)生，因此對(duì)地表變形進(jìn)行監(jiān)測(cè)和數(shù)據(jù)處理顯得十分重要[1-3].

目前，常用的地表變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理主要包括：回歸分析法[4-5]、灰色關(guān)聯(lián)分析法[6-7]以及卡爾曼濾波法[8-10]，其中回歸分析法在引入自變量過(guò)程中需對(duì)方程中各自變量做顯著性實(shí)驗(yàn)，會(huì)造成回歸方程因子的引入不夠準(zhǔn)確；灰色關(guān)聯(lián)分析法中各指標(biāo)的量綱或單位常常不同，指標(biāo)值的量綱級(jí)相差較大，且在計(jì)算關(guān)聯(lián)度時(shí)存在客觀性不足的問(wèn)題；而卡爾曼濾波方法具有較強(qiáng)的自適應(yīng)性，且對(duì)原數(shù)據(jù)不依賴，具有最小無(wú)偏方差，能夠在不存儲(chǔ)大量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的條件下進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，因此，被廣泛應(yīng)用于地表變形預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)處理中.卡爾曼濾波是通過(guò)狀態(tài)方程以及觀測(cè)方程來(lái)構(gòu)造系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，通過(guò)改變?yōu)V波增益矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的識(shí)別和提取[11-13].

本文根據(jù)某建筑物地表變形數(shù)據(jù)，提出基于方差自適應(yīng)的卡爾曼濾波方法，對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算處理而得到其預(yù)測(cè)值，該方法能夠有效提高預(yù)測(cè)精度，具有較強(qiáng)的可行性.

1 卡爾曼濾波模型

卡爾曼濾波模型可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理，它是利用觀測(cè)值來(lái)估算變化的狀態(tài)向量，通過(guò)對(duì)新的觀測(cè)值不斷修正和預(yù)測(cè)得到新的預(yù)測(cè)值，不需要存儲(chǔ)大量的歷史數(shù)據(jù)[14-15].卡爾曼濾波離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程分別表示為

Xk=Φk，k-1Xk-1+Γk，k-1Ωk-1

(1)

Lk=BkXk+Δk

(2)

式中：Xk，Xk-1分別為第k時(shí)刻和第k-1時(shí)刻的狀態(tài)向量；Φk，k-1為第k次和第k-1次之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γk，k-1為第k次和第k-1次的動(dòng)態(tài)噪聲矩陣；Ωk-1為第k-1次動(dòng)態(tài)噪聲向量；Lk為第k次的狀態(tài)觀測(cè)向量；Bk為第k次的狀態(tài)觀測(cè)向量系數(shù)矩陣；Δk為第k次的狀態(tài)觀測(cè)噪聲向量.

若Ωk-1和Δk是互不相關(guān)的零均值白噪聲序列，則兩者滿足

(3)

估算可得卡爾曼濾波的遞推方程式為

(4)

(5)

(6)

(7)

2 自適應(yīng)卡爾曼濾波模型

傳統(tǒng)卡爾曼濾波模型在很多情況下依賴于噪聲和數(shù)學(xué)模型，需要深入研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的噪聲特性以及數(shù)學(xué)模型特性，因此會(huì)產(chǎn)生各種誤差且出現(xiàn)運(yùn)行發(fā)散的結(jié)果，達(dá)不到預(yù)期目的，很難滿足實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合.針對(duì)上述問(wèn)題，自適應(yīng)卡爾曼濾波被提出并應(yīng)用，自適應(yīng)卡爾曼濾波主要是通過(guò)適當(dāng)?shù)毓浪愫托拚到y(tǒng)模型的不確定參數(shù)以及噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，有效減小誤差，使預(yù)測(cè)結(jié)果更精確.在地表變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)濾波中，可根據(jù)已知信息實(shí)時(shí)估算動(dòng)態(tài)噪聲的方差來(lái)彌補(bǔ)濾波過(guò)程中噪聲方差的不足.

假設(shè)Ωk、Δk都是正態(tài)序列，則可定義第i步的預(yù)測(cè)殘差為

(8)

(9)

則預(yù)測(cè)殘差Vk+i的方差矩陣可表示為

(10)

令

Bk+iΦk+i，rΓr，r-1=A(k+i，r)=[a(k+i，r)]

(11)

式中：r=1，2，…，N；k=1，2，…，n.若假設(shè)DΩr-1Ωr-1在tk+1，tk+2，…，tk+N觀測(cè)時(shí)間段內(nèi)是一常數(shù)對(duì)角陣，即

(12)

(13)

(14)

則可以得到

F=AdiagDΩr-1Ωr-1+ξ

(15)

式(15)可以看作是diagDΩr-1Ωr-1的線性方程組形式，當(dāng)n≥r時(shí)，該方程組存在唯一解，則diagDΩr-1Ωr-1的估計(jì)值可表示為

diagDΩr-1Ωr-1=(ATA)-1ATF

(16)

因此，可根據(jù)式(16)求得任意時(shí)間段內(nèi)的DΩr-1Ωr-1，并實(shí)時(shí)估算動(dòng)態(tài)噪聲協(xié)方差.

3 實(shí)例分析

以某建筑物作為研究對(duì)象，分析了建筑物變形對(duì)該地表的影響.較高頻率的觀測(cè)對(duì)地表移動(dòng)變形的規(guī)律研究十分有利，故對(duì)該段地表進(jìn)行了21期的觀測(cè)，選擇觀測(cè)間隔為每天1次.本文以工作面走向線與建筑物走向線的交點(diǎn)作為觀測(cè)站，首先以前16期觀測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用Matlab軟件編制自適應(yīng)卡爾曼濾波程序，對(duì)地表變形規(guī)律進(jìn)行擬合分析，然后對(duì)后5期的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將其與觀測(cè)值以及傳統(tǒng)的卡爾曼濾波預(yù)測(cè)方法進(jìn)行了對(duì)比.

兩種預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值的水平位移對(duì)比結(jié)果如表1所示，實(shí)測(cè)值與誤差值的對(duì)比曲線如圖1、2所示.由圖1、2可見(jiàn)，自適應(yīng)卡爾曼濾波方法對(duì)地表位移預(yù)測(cè)的結(jié)果更接近于原始的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，最大誤差百分比僅為0.25%，而傳統(tǒng)方法最大誤差百分比為0.38%(均為第17期觀測(cè)值)，較傳統(tǒng)的卡爾曼濾波預(yù)測(cè)方法而言，其具有更高的預(yù)測(cè)精度，說(shuō)明采用基于協(xié)方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波能夠有效模擬位移狀態(tài)變量的變化規(guī)律.

表1 觀測(cè)點(diǎn)水平位移預(yù)測(cè)結(jié)果Tab.1 Prediction results of horizontal displacement of observation points

圖1 監(jiān)測(cè)點(diǎn)水平位移的預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值對(duì)比曲線Fig.1 Contrast curves for predicted and measured valuesof horizontal displacement of monitoring points

兩種預(yù)測(cè)值與實(shí)際觀測(cè)值的沉降對(duì)比結(jié)果如表2所示，實(shí)測(cè)值與誤差值的沉降對(duì)比曲線如圖3、4所示.由表2可以看出，自適應(yīng)卡爾曼濾波方法對(duì)地表沉降預(yù)測(cè)結(jié)果的最大誤差百分比為0.28%，而傳統(tǒng)的卡爾曼濾波預(yù)測(cè)方法最大誤差百分比為0.64%(均為第21期觀測(cè)值)，證明自適應(yīng)卡爾曼濾波方法具有更高的預(yù)測(cè)精度，能夠有效模擬地表沉降狀態(tài)變量的變化規(guī)律.

圖2 監(jiān)測(cè)點(diǎn)水平位移預(yù)測(cè)誤差對(duì)比曲線Fig.2 Contrast curves for prediction error of horizontaldisplacement of monitoring points

表2 觀測(cè)點(diǎn)沉降預(yù)測(cè)結(jié)果Tab.2 Prediction results of settlement of monitoring point

圖3 監(jiān)測(cè)點(diǎn)沉降預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值對(duì)比曲線Fig.3 Contrast curves for predicted and measuredvalues of settlement of monitoring points

圖4 監(jiān)測(cè)點(diǎn)沉降預(yù)測(cè)誤差對(duì)比曲線Fig.4 Contrast curves for prediction errorof settlement of monitoring points

4 結(jié) 論

本文結(jié)合卡爾曼濾波原理和建筑物結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立了基于方差補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)測(cè)模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)建筑物地表水平位移和沉降的預(yù)測(cè).仿真結(jié)果表明：

1) 自適應(yīng)卡爾曼濾波通過(guò)遞推公式對(duì)濾波模型進(jìn)行不斷修正，有利于對(duì)實(shí)時(shí)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，非常適合于地表變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的處理和預(yù)測(cè)；

2) 自適應(yīng)卡爾曼濾波對(duì)地表變形數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果非常接近于實(shí)測(cè)值，比傳統(tǒng)的卡爾曼濾波預(yù)測(cè)具有更高的精度，能夠較好地預(yù)測(cè)地表狀態(tài)變量的變化規(guī)律.

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(責(zé)任編輯：景 勇 英文審校：尹淑英)

PredictionofsurfacemovementdeformationbasedonKalmanfiltering

XU Zhe-ming

(School of Architectural Engineering, Nanchang University, Nanchang 330031, China)

Aiming at the operation divergence problem caused by the fact that the traditional Kalman filtering model in the prediction of surface deformation depends on the noise and mathematical models, a prediction analysis method of building surface movement deformation based on adaptive Kalman filtering with variance compensation was proposed. The proposed adaptive Kalman filtering could compensate the deficiency of noise variance in the filtering process mainly through appropriately estimating and correcting the uncertain parameters of the system model and the statistical properties of the noise. The mathematical model for adaptive Kalman filtering was established, and the simulation analysis for the prediction of surface movement deformation was performed with Matlab software. The results verify the feasibility of the proposed Kalman filtering method in the prediction of surface movement deformation. The proposed method effectively improves the reliability and forecasting precision of real-time prediction.

surface deformation; Kalman filtering; variance compensation; adaption; prediction; mathematical model; Matlab simulation; reliability

TM 135

： A

： 1000-1646(2017)05-0557-05

2016-07-04.

江西省青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20151BAB206057).

許哲明(1974-)，男，江西南昌人，講師，碩士，主要從事建筑、橋梁工程測(cè)量等方面的研究.

* 本文已于2017-03-28 17∶08在中國(guó)知網(wǎng)優(yōu)先數(shù)字出版. 網(wǎng)絡(luò)出版地址： http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20170328.1708.022.html

10.7688/j.issn.1000-1646.2017.05.15