基于漸進均勻化理論的復合材料力學性能預測*

張延林， 姜雪光

(東北林業(yè)大學 機電工程學院， 哈爾濱 150040)

基于漸進均勻化理論的復合材料力學性能預測*

張延林， 姜雪光

(東北林業(yè)大學 機電工程學院， 哈爾濱 150040)

為了更好地預測復合材料的力學性能，以碳纖維增強木質復合材料為研究對象，建立了漸進均勻化理論的分析模型.利用小參數(shù)將宏、微觀兩尺度進行耦合，將以小參數(shù)漸進展開的力學變量代入單胞控制方程，最終推導出復合材料等效彈性模量的求解方程.采用ANSYS軟件建立了復合材料的單胞模型，并在周期性邊界條件下對彈性模量進行了預測分析.結果表明，與一般工程經驗相比，漸進均勻化理論對復合材料的預測精度更高，且預測結果在一定范圍內與物理實驗結果吻合良好，驗證了此理論的有效性.

漸進均勻化理論； 復合材料； 有限元； 單胞模型； 雙尺度； 有效彈性模量； 平衡方程； 邊界條件

復合材料是由兩種或多種材料按一定規(guī)則經加工復合而成的新型材料，通過結合不同材料的特殊性可設計出理想的材料.復合材料在物理和化學方面具有諸多優(yōu)點，因而廣泛應用于各個領域.由于復合材料在結構和性能方面具有可設計性的特點，因此，復合材料制備前對材料性能進行預測具有現(xiàn)實意義[1].

為了更好地設計和優(yōu)化復合材料，諸多專家學者提出了很多方法來對復合材料進行分析，如自洽法、代表體元法、有限元法[2]與均勻化方法等.自洽法一般用來分析結構較為簡單的復合材料，對于具有復雜結構的復合材料其解析公式的推導十分復雜，運算量較大.代表體元法具有簡單易行、適用范圍廣的特點，但和自洽法相比，缺少數(shù)學理論基礎，因而通常用于近似解分析.20世紀70年代由Babuska[3]等提出的均勻化方法得到了極大發(fā)展.近年來許多專家學者對均勻化理論展開了研究工作.楊曉東[4]、劉貴立[5]等對顆粒增強復合材料的彈性模量進行了較為準確的預測.Cai[6]、蔡園武[7]等基于漸進均勻化理論對周期性板結構進行了分析，并對周期性板結構的彈性模量和正六角蜂窩板的等效剛度進行了預測.歐陽佳斯等[8]利用有限元分析法和ANSYS仿真軟件對均一波紋單向復合材料板的力學性能進行了分析，并對其等效剛度進行了預測.張博明[9]、趙琳[10]等基于連續(xù)介質力學和均勻化方法對復合材料層合板進行了漸進損傷分析，并預測了該層合板的強度，其預測結果和實驗值吻合較好.

本文將漸進均勻化方法應用于碳纖維增強木質復合材料的力學性能預測，利用有限元方法進行數(shù)學求解.解決了復合材料分析過程中高階非線性化微分方程的計算問題.從周期性分布的單胞入手，將宏、微觀變量利用小參數(shù)進行耦合.基于攝動理論，將位移變量進行小參數(shù)漸進展開并將其代入控制方程中，并推導出彈性模量的計算方程，從而能夠分析宏、微觀兩尺度對材料力學性能的影響.在ANSYS軟件中施加周期性邊界條件，可以提高復合材料彈性模量的求解精度.通過與工程經驗方程對比，可以驗證本文方法的準確性.將預測結果與物理實驗結果進行對比，并分析仿真值和實驗值產生誤差的原因.

1 實驗方法

1.1 材料樣板制備

主要實驗原料包括短切碳纖維、木質纖維、脲醛膠粘劑、異氰酸樹脂膠和固化劑等.選用木纖維與碳纖維兩種預制材料.按照常規(guī)中密度纖維板的制板工藝進行樣板制作.利用丙酮將異氰酸樹脂膠黏劑稀釋50%后，將其與碳纖維放入攪拌機中進行攪拌.異氰酸樹脂膠具有化學穩(wěn)定性，可以起到材料搭接作用，且不會對材料性能產生影響.攪拌一段時間后放入木纖維中，并將氯化銨與脲醛樹脂膠黏劑混合均勻噴入攪拌機內.充分混合后將混合物放入預壓機內進行預壓，隨后將其放入熱壓機內于175 ℃條件下熱壓7 min.將成型后的復合材料放入具有特定溫度和濕度的環(huán)境中，直至溫度和材料質量達到恒定.實驗所得宏觀樣板如圖1所示.圖1a為普通木纖維(MDF)板，圖1b～f為不同碳、木纖維質量比(F/M)下的碳纖維增強木質復合材料(SCFRW)板.

圖1 實驗所得宏觀樣板Fig.1 Macro sample templates obtained in experiments

1.2 材料性能測試

參照國家標準GB/T11718-2009，利用萬能力學實驗機測定碳纖維增強木質復合材料板的彈性模量，實驗數(shù)據如表1所示.表1中，F(xiàn)為碳纖維質量，M為木纖維質量.

彈性模量計算公式為

(1)

式中：l為支座間的距離；b為試件寬度；h為試件厚度；Δf為內力增加量；Δs為變形量.

2 漸進均勻化方法及有限元求解

漸進均勻化理論是利用漸進擴展和周期性假設來求解帶有快速振蕩參數(shù)的微分方程，該理論為預測復合材料的力學性能提供了理論思路，實質是利用均質宏觀結構和非均質周期性分布的微觀結構來描述原結構[3].SCFRW板(F/M=5∶10)的宏、微觀形貌如圖2所示.一般情況下材料在宏觀上表現(xiàn)為均質性(見圖2a)，在微觀上呈現(xiàn)非均質性(見圖2b).

基于周期性假設的復合材料微觀結構和單胞如圖3所示.與材料的宏觀幾何尺度相比，單胞尺度是很小的量，這里用小參數(shù)ε(0<ε?1)來代表單胞特征尺寸.引入宏觀尺度變量x和微觀尺度變量y，則小參數(shù)為宏觀變量和微觀變量的比值，即ε=x/y.將位移場量u以ε作漸進級數(shù)展開，得到關于宏觀變量和微觀變量的位移場函數(shù)，其表達式為

表1 實驗數(shù)據Tab.1 Experimental data MPa

圖2 復合材料的宏、微觀形貌Fig.2 Macro and micro morphologies of composite

u(x)=u(x，y)=u0(x，y)+εu1(x，y)+ε2u2(x，y)+Ο(ε3)

(2)

式中：u0(x，y)、u1(x，y)和u2(x，y)分別為第一、二和三項基底函數(shù)；O表示高階無窮小，計算時趨近于0.

圖3 周期性排列的微觀結構及單胞Fig.3 Periodically arranged microstructure and unit cell

在彈性理論中根據虛位移原理可以得到胞元控制微分方程為

(3)

式中：Eijkl為4階彈性張量，下標i、j、k和l用以區(qū)分不同方向的坐標變量，根據下標取值不同，Eijkl可以表示不同方向的彈性模量；wi為滿足固定邊界條件的任意虛位移；Ω為材料的基體部分參量；Γ為單胞邊界參量；S為碳纖維的邊界參量；fi、ti和pi分別為加載在胞元上的體積力、面積力和張力.

將位移場函數(shù)代入彈性理論的控制微分方程中，并令關于小參數(shù)ε具有相同階數(shù)的項相等，即可得到一系列攝動方程，對這些方程進一步求解可以得到u0(x，y)、u1(x，y)與宏觀尺度結構的總體平衡方程分別為

u0(x，y)=u0(x)

(4)

(5)

(6)

周期結構單胞的等效彈性模量為

(7)

可以通過有限元方法求解等效彈性模量.實際求解過程中的關鍵步驟是求取特征位移.在有限元分析中需要對單胞施加載荷與周期性邊界條件，再對特征位移進行求解.

3 復合材料的ANSYS仿真

3.1 周期性邊界條件

在均勻化理論中微觀結構的周期性分布是該理論的重要假設.采用ANSYS軟件進行單胞模型有限元分析時，為了提高計算精度，需要保證單胞邊界上的位移和應力連續(xù).本文采用Xia等[11]提出的周期性邊界條件，則單胞內的節(jié)點位移場可表示為

(8)

在三維周期性排列的單胞模型中，對稱邊界上的位移場相減則可消去位移修正量，即

(9)

3.2 彈性模量

基于上述分析，采用有限元分析軟件ANSYS對微觀單胞上各節(jié)點的彈性模量進行求解.首先建立微觀單胞模型，利用Solid186單元對單胞模型進行網格劃分，則網格劃分后的單胞模型如圖4所示.

圖4 網格劃分后的單胞模型Fig.4 Unit cell model after grid meshing

利用漸進均勻化方法進行節(jié)點彈性模量的求解.首先對特征位移進行求解.對單胞z方向的節(jié)點施加單位位移載荷，對其求解可得單位節(jié)點反力.隨后對單胞施加周期性邊界條件，將得到的單位節(jié)點反力施加到單胞節(jié)點上，經求解后即可得到特征位移，其等值線分布如圖5所示.其次對特征節(jié)點反力進行求解.將求解得到的特征位移繼續(xù)施加到周期性邊界條件下的單胞節(jié)點上，經過ANSYS計算后即可得到特征節(jié)點反力.應力的等值線分布與應力云圖分別如圖6、7所示.觀察圖6、7可知，當對單胞施加均勻應變時，碳纖維的應力值大于基體應力值，且碳纖維承受了復合材料形變中的主要應力.因此，碳纖維的加入大大提高了復合材料的力學性能.

圖5 特征位移的等值線分布Fig.5 Isoline distribution of characteristic displacement

圖6 應力的等值線分布Fig.6 Isoline distribution of stress

圖7 應力云圖Fig.7 Nephogram of stress

利用求解得到的特征位移和特征節(jié)點反力計算彈性模量.將得到的單元節(jié)點數(shù)據進行提取并整理坐標信息，采用MATLAB軟件中的單元組裝函數(shù)Assembly對數(shù)據進行整合，得到的彈性模量如表2所示.介于實驗數(shù)據限制，本文只求解了垂直于板面的彈性模量.

表2 不同方法測得的彈性模量Tab.2 Elastic modulus measured with different methods MPa

為了驗證本文方法在進行復合材料分析時的有效性和準確性，采用工程經驗公式對本文結果進行對比分析.垂直于碳纖維軸向的等效彈性模量的經驗公式為

(10)

(11)

式中：Ef為碳纖維的彈性模量，且Ef=228 GPa；Em為基體的彈性模量，且Em=1.5 GPa；Cf為碳纖維體積分數(shù)；Cm為基體體積分數(shù).

圖8為復合材料彈性模量對比結果.觀察圖8可知，當復合材料的碳、木纖維質量比(F/M)小于0.3時，漸進均勻化方法的計算誤差率為0.051 1～0.178 8，工程經驗法的計算誤差率為0.263 8～0.308 0，此時漸進均勻化方法的計算精度明顯高于工程經驗法.當復合材料的碳、木纖維質量比高于0.3時，漸進均勻化方法和工程經驗法的計算誤差率將隨碳、木纖維質量比的增大而增大，此時兩種方法均不再適用.

圖8 復合材料彈性模量對比Fig.8 Comparison in elastic modulus of composites

另外，觀察表1中的內結合強度數(shù)據可知，隨著碳纖維含量的增加，碳纖維與基體的結合強度逐漸降低，可以認為內結合強度的降低是導致復合材料性能下降的主要因素.同時，由圖6、7可見，纖維和基體的接觸面應力小于纖維和基體本身的應力，這種現(xiàn)象進一步驗證了上述分析.由于漸進均勻化方法未考慮到內結合強度的影響，在一定范圍內導致預測值比實驗值略高.由表1可知，當普通木纖維板中加入碳纖維后(F/M=1∶10)，材料的彈性模量由1 626.64 MPa增加到4 442.72 MPa，靜曲強度由14.73 MPa增加至31.71 MPa，材料的整體力學性能大幅度提高.觀察表1還可以發(fā)現(xiàn)，隨著碳纖維含量的增加，材料的力學性能逐漸增高.當碳、木纖維質量比為3∶10時，材料性能出現(xiàn)峰值，之后隨著碳纖維含量的增加，材料的性能隨之降低.因此，在復合材料的制備過程中，并非碳纖維摻雜量越多，材料性能越好.合理分配碳、木纖維的質量比是設計出具有良好性能的復合材料的關鍵.

4 結 論

本文利用ANSYS大型有限元分析軟件，基于漸進均勻化理論與有限元方法，實現(xiàn)了對復合材料彈性性能的預測與分析.進均勻化理論具有嚴格的數(shù)學理論基礎.一般估算分析方法(如代表體元法、工程經驗法等)雖然計算簡單但預測精度較低.本文在ANSYS仿真環(huán)境中建立了微觀單胞模型，利用MATLAB軟件計算材料的彈性模量，大大簡化了計算難度.通過以上實驗分析可以得到如下結論：

1) 仿真數(shù)據在一定范圍內和實驗值吻合良好，驗證了本文方法的有效性.

2) 基于周期性假設，本文方法雖然降低了一定的計算精度，但大大降低了解析法的計算復雜度.

3) 本文為復合材料設計提供了一定的參考價值.復合材料的制備應合理地分配纖維與基體的質量比.根據仿真分析得到的特征位移與應力等值線分布以及應力云圖，可以更好地分析材料的微觀結構受力特征，同時也便于分析材料的應力集中問題.

4) 本文方法的不足之處在于忽略了內結合強度對材料力學性能的影響，導致仿真結果和實驗數(shù)據存在一定誤差.

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(責任編輯：尹淑英 英文審校：尹淑英)

Mechanicalpropertypredictionofcompositesbasedonasymptotichomogenizationtheory

ZHANG Yan-lin, JIANG Xue-guang

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Northeast Forestry University, Harbin 150040, China)

In order to effectively predict the mechanical properties of composites, the carbon fiber reinforced wood composites were taken as the study object, and the analytical model based on the asymptotic homogenization theory was established. The macroscopic and microscopic scales were coupled with small parameters, the mechanical variables asymptotically expanded with the small parameters were substituted into the control equations of unit cell, and the solution equations of equivalent elastic modulus of composites were finally derived. The unit cell model for the composites was established with the ANSYS software, and the elastic modulus was predicted and analyzed under the periodic boundary conditions. The results show that compared with the general engineering experience, the asymptotic homogenization theory has more accurate prediction accaracy, and the prdicted results are in good agreement with the physical experimental results in a certain range, which verifies the effectiveness of the theory.

asymptotic homogenization theory; composite; finite element; unit cell model; double scale; effective elastic modulus; equilibrium equation; boundary condition

TB 332

： A

： 1000-1646(2017)05-0507-06

2017-04-10.

黑龍江省留學歸國科學基金資助項目(LC201408).

張延林(1970-)，男，山東招遠人，副教授，碩士，主要從事復合材料計算機控制等方面的研究.

* 本文已于2017-08-01 12∶24在中國知網優(yōu)先數(shù)字出版. 網絡出版地址： http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20170801.1224.018.html

10.7688/j.issn.1000-1646.2017.05.06