讓概念課更加自然、合理

徐雯雯

一、 教學(xué)內(nèi)容

人教版選修2—1第二章第一節(jié)：曲線與方程

二、教材分析

曲線屬于“形”的范疇，方程則屬于“數(shù)”的范疇，它們通過直角坐標(biāo)系而聯(lián)系在一起，曲線的方程是曲線幾何的一種代數(shù)表示，方程的曲線則是代數(shù)的一種幾何表示。在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)可由它的坐標(biāo)來表示，而曲線是點(diǎn)的軌跡，所以曲線可用含x、y的方程來表示?！扒€和方程”這節(jié)教材，揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”的統(tǒng)一，對(duì)解析幾何教學(xué)有著深遠(yuǎn)的影響，曲線與方程的相互轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)方法論上的一次飛躍。

由于曲線和方程的概念是解析幾何中最基本的內(nèi)容，因而學(xué)生用解析法研究幾何圖形的性質(zhì)時(shí)，只有透徹理解曲線和方程的意義，才能算是尋得了解析幾何學(xué)習(xí)的入門之徑。求曲線與方程的問題，也貫穿了這一章的始終，所以應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，本節(jié)內(nèi)容是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一。本節(jié)中提出的曲線與方程的概念，它既是對(duì)以前學(xué)過的函數(shù)及其圖象、直線的方程、圓的方程等數(shù)學(xué)知識(shí)的深化，又是學(xué)習(xí)圓錐曲線的理論基礎(chǔ)，它貫穿于研究圓錐曲線的全過程，根據(jù)曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過研究方程來研究曲線的幾何性質(zhì)，是幾何的研究實(shí)現(xiàn)了代數(shù)化。數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，在本章中得到了充分體現(xiàn)。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)目標(biāo)

1、了解曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；

2、初步理解“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念；

3、學(xué)會(huì)根據(jù)已學(xué)知識(shí)為切入點(diǎn)，引起關(guān)注，引發(fā)數(shù)學(xué)思考進(jìn)而分析、判斷、

歸納結(jié)論

4、強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。

2.能力目標(biāo)

1、在形成曲線和方程的概念的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，探索出結(jié)論，并能有條理的闡述自己的觀點(diǎn)；

2、能用所學(xué)集合知識(shí)理解新的概念，從中體會(huì)轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，提高思

維品質(zhì)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。

3.情感目標(biāo)

1、通過問題的引入，讓學(xué)生感受從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律；

2、通過問題解決，培養(yǎng)合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)，以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神。

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)

理解曲線的方程和方程的曲線的概念

2.教學(xué)難點(diǎn)

對(duì)曲線的方程和方程的曲線間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解

五、教學(xué)過程

【問題引入】設(shè)計(jì)問題，激發(fā)興趣，提出問題

問題1. 你能找到這些常見曲線（拋物線和橢圓）在現(xiàn)實(shí)生活的原型嗎？

問題2. 構(gòu)成曲線的基本元素是什么？曲線如何形成？

問題3. 請(qǐng)例舉一些學(xué)過的曲線

問題4.我們可以用什么方法研究這些曲線？

說明：1.通過問題串的形式，并且從學(xué)生熟悉的模型出發(fā)，讓學(xué)生回顧構(gòu)成曲線的基本元素是點(diǎn)，而曲線是滿足一定條件的點(diǎn)的軌跡。進(jìn)一步回顧以前所學(xué)習(xí)過的曲線，以及通過方程去研究直線與圓的基本思想，從而引出課題。

2.教師設(shè)計(jì)了一個(gè)好的問題（情境），可以建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，喚起學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，引起學(xué)生的關(guān)注，引發(fā)數(shù)學(xué)思考，引出數(shù)學(xué)問題，并且在創(chuàng)設(shè)情境的過程中，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識(shí)形成的過程。

【問題引學(xué)】提出問題，引發(fā)思考

問題5

曲線：一、三象限角平分線；

方程：（1） ；（2） （3） 。

你能找出第一、三象限角平分線的方程嗎？

問題6：以后怎么看方程表示曲線，曲線表示方程？

說明：從學(xué)生已學(xué)知識(shí)為切入點(diǎn)，引起學(xué)生的關(guān)注，引發(fā)數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識(shí)形成的過程。使學(xué)生不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想像、抽象概括、反思與建構(gòu)等思維過程。讓學(xué)生在問題中體會(huì)曲線的上的點(diǎn)與方程的解的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，引出概念。

【概念形成】通過觀察歸納，形成概念，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)理論

曲線的方程、方程的曲線的定義：

一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程 的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；

（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)；

那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。

說明：1.結(jié)合問題5、問題6，嘗試歸納，生成概念。在拿出（1）后可以問學(xué)生有沒有必要，（1）夠不夠？還有一個(gè)你覺得是什么？設(shè)法讓學(xué)生歸納出第二條。

2.由特殊到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，使新知的建構(gòu)順暢和自然，既體現(xiàn)在教師引導(dǎo)下學(xué)生自我建構(gòu)，又使學(xué)生感到知識(shí)之間并不是孤立的，而是相互聯(lián)系的，他們是一個(gè)相互聯(lián)系的、密切相關(guān)的整體。

3.深化概念：讓學(xué)生從集合的角度去體會(huì)，曲線的點(diǎn)集用C表示，方程 的解集用F表示。條件（1）即 條件（2）即 ，所以 。讓學(xué)生去體會(huì)曲線的點(diǎn)與方程的解的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

【例題分析】通過運(yùn)用，鞏固概念

例1.請(qǐng)判斷正誤，并說明理由

（1）到x軸距離等于1的點(diǎn)的軌跡方程為y=1；

（2）三角形ABC的頂點(diǎn)A（0，-3），B（-2，0），C（2，0），D為BC中點(diǎn)，則中線AD的方程為x=0.

（3）已知點(diǎn)A（2，0），到點(diǎn)A的距離為2的點(diǎn)的軌跡方程為x2-4x+y2=0

例2.證明與兩條坐標(biāo)軸的距離的積是常數(shù)k（k>0）的點(diǎn)的軌跡方程是xy=±k.

說明：1.例1讓學(xué)生進(jìn)一步深化曲線和方程的定義，定義中的（1），（2）兩條缺一不可。并且提升到理論層次，讓學(xué)生指出如果不符合，不符合的是哪一條。2.例2首先引導(dǎo)學(xué)生如何證明。引導(dǎo)學(xué)生從兩方面進(jìn)行證明。點(diǎn)和解指的都是有關(guān)集合中的全體元素，怎樣解決全體問題。讓學(xué)生體會(huì)用“任意一個(gè)”代表“全體”是數(shù)學(xué)證明中常用的方法。最后師生共同來歸納證明已知曲線的方程的一般方法和步驟。第一步，設(shè) 是曲線C上任一點(diǎn)，證明 是 的解；第二步，設(shè) 是 的解，證明點(diǎn) 在曲線C上。

并且進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生感受證明已知曲線的方程與證明充要條件的聯(lián)系，使學(xué)生把現(xiàn)有的知識(shí)與以前的知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系。

數(shù)學(xué)概念是要在運(yùn)用中得以鞏固，通過練習(xí)，可以糾正錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，促使對(duì)概念的正確理解。

【課堂小結(jié)】

1、曲線的方程和方程的曲線的概念

2、基本思想與方法

數(shù)形結(jié)合的思想 ， 轉(zhuǎn)化與化歸的思想

說明：讓學(xué)生回顧、總結(jié)、聯(lián)系、整合、提高認(rèn)識(shí)、理解。endprint