基于圖像處理的多小波變化理論及其應(yīng)用

茹慶云+郭獻(xiàn)洲

摘 要： 為了使圖像處理更好地服務(wù)于信息的傳遞和表達(dá)，在此引入多小波變換理論。通過(guò)對(duì)多小波變換的原理進(jìn)行分析，在結(jié)合離散多小波變換實(shí)現(xiàn)方法的基礎(chǔ)上，對(duì)圖像處理中多小波變換的應(yīng)用展開(kāi)了深入研究。研究表明，與單小波相比，多小波變換在圖像壓縮以及圖像去噪等方面均具有更加顯著的效果。

關(guān)鍵詞： 圖像處理； 多小波變換； 圖像去噪； 圖像壓縮

中圖分類號(hào)： TN911?34； TP391.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2017）18?0095?03

Multi?wavelet transform theory based on image processing and its application

RU Qingyun1， GUO Xianzhou2

（1. Henan Institute of Technology， Xinxiang 453003， China； 2. Hebei University of Technology， Tianjin 300401， China）

Abstract： In order to make image processing serve the information transmission and expression better， the multi?wavelet transform theory is introduced. On the basis of analyzing the multi?wavelet transform theory and combining discrete multi?wavelet transform implementation method， the application of multi?wavelet transform in image processing is studied deeply. The research results show that， in comparison with single?wavelet transform， the multi?wavelet transform has better effect in the aspects of image compression and image denoising.

Keywords： image processing； multi?wavelet transform； image denoising； image compression

0 引 言

小波變換是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)以及工程科學(xué)中一個(gè)迅速發(fā)展的全新領(lǐng)域，是傅里葉變換發(fā)展的一個(gè)新階段。而作為20世紀(jì)80年代末產(chǎn)生并得以發(fā)展的典型時(shí)頻分析工具之一，小波變換被廣泛應(yīng)用在圖像處理領(lǐng)域，并促進(jìn)著圖像處理技術(shù)的整體發(fā)展[1]。例如，同離散余弦變換（DCT）相比，小波零樹編碼方案的應(yīng)用在有效克服方塊效應(yīng)的同時(shí)，也幫助人們實(shí)現(xiàn)了低比特率下獲得高質(zhì)量圖像的主觀。除了獲得高質(zhì)量的圖像主觀外，小波變換的相關(guān)算法可以獲取更加光滑的圖像。

在對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理的過(guò)程中，人們也開(kāi)始將傳統(tǒng)的濾波器組進(jìn)行了改進(jìn)，并將其進(jìn)一步推廣到圖像的矢值濾波器組以及子塊的濾波器組。在此基礎(chǔ)上，在信號(hào)處理領(lǐng)域中形成了基于矢值濾波器組的相關(guān)理論體系，進(jìn)而研究了此理論體系與多小波變換之間的關(guān)系[2]。由于在矢值濾波器組所處理的信號(hào)實(shí)質(zhì)上是矢值信號(hào)，因此，在對(duì)其進(jìn)行處理過(guò)程中，需要保持信號(hào)矢量自身具有較強(qiáng)的相關(guān)性?；诖耍钢敌盘?hào)更適合與信號(hào)的矢量量化。作為矢值濾波組的典型應(yīng)用，矢值變換已經(jīng)被人們證實(shí)為最有效的圖像壓縮處理方法。因此，無(wú)論是國(guó)內(nèi)還是國(guó)外相關(guān)方面的研究學(xué)者均認(rèn)為在圖像處理方面，矢值濾波器以及多小波變換均具有較高的應(yīng)用價(jià)值。隨著多小波變換理論以及矢值濾波器理論體系的不斷發(fā)展，其在信號(hào)處理特別是圖像處理方面所表現(xiàn)出來(lái)的優(yōu)勢(shì)逐漸被人們所熟知和重視[3]。此外，Lee等人提出了如下觀點(diǎn)，即將單小波中由單個(gè)尺度函數(shù)所生成的多分辨分析空間擴(kuò)展為由多個(gè)尺度函數(shù)生成的多分辨分析空間，進(jìn)而使小波獲得更大的自由度，此觀點(diǎn)即多小波思想[4]。多小波在圖像處理中的應(yīng)用既保持了單小波的特征，又化解了單小波對(duì)稱與正交之間的矛盾，大幅提高了圖像處理效率。

本文通過(guò)對(duì)多小波變換的理論以及多小波變換的過(guò)程進(jìn)行分析，進(jìn)而在得出多小波變換公式[C（j）n=kHTn+2kCj-1k+kGTn+2kDj-1k]的基礎(chǔ)上，從預(yù)濾波與基于邊界處理的信號(hào)拓展兩方面說(shuō)明了離散多小波變換的實(shí)現(xiàn)方法。并以此為基礎(chǔ)，對(duì)多小波變換在圖像壓縮以及圖像去噪等方面的應(yīng)用做出了系統(tǒng)分析。

1 多小波變換理論

對(duì)單小波與多小波進(jìn)行分析可知，二者的主要差異為，多小波主要是由若干個(gè)小波的母函數(shù)經(jīng)過(guò)一系列的平移和伸縮而生成的，故多小波具有多個(gè)尺度函數(shù)，而單小波則主要由某一小波母函數(shù)經(jīng)相關(guān)變化生成，故單小波只有一個(gè)尺度函數(shù)。對(duì)多小波的變換過(guò)程做出如下分析：在多分辨分析當(dāng)中，令V-1[?]V0[?]V1[?]…[?]Vj，且有[j=-∞∞Vj=L2R]和[j=-∞∞Vj={0}]。由于多小波具有若干個(gè)尺度函數(shù)，故設(shè)V0是由r個(gè)尺度經(jīng)平移變換[φ0（t-k）]，[φ1（t-k），…，φr-1（t-k）]生成的。令V0=W0，并與[φ0（t），φ1（t），…，φr-1（t）]相對(duì)應(yīng)的r個(gè)小波函數(shù)[ψ0（t）]，[ψ1（t）]，…，[ψr-1（t）]共同組成子空間W0的基[5]。記[?（t）]=[[φ0（t）]，[φ1（t）]，…，[φr-1（t）]]T，[Ψ（t）]=[[ψ0（t）]，[ψ1（t）]，…，[ψr-1（t）]]T，[?（t）]與[Ψ（t）]滿足：[?（t）]=[2k=0N-1Hk?（2t-1）]；[Ψ（t）]=[2k=0N-1GkΨ（2t-1）]。其中，Hk與Gk均為尺度函數(shù)個(gè)數(shù)r×r的常數(shù)矩陣。從處理的角度進(jìn)行分析，[H（ω）]=[kHk]e-jωk，[G（ω）]=[kGk]e-jωk均是與尺度函數(shù)以及小波函數(shù)相對(duì)應(yīng)的矢量濾波器。當(dāng)[?（t）]滿足<[φt（?-k）]，[φj（?-l）]>≥[δi，j][δk]時(shí)，值得注意的是=[f?g]，則[?（t）]為正交多尺度函數(shù)。若[?（t）]滿足[<Ψt（?-k），Ψt（?-l）>]≥[δi，j][δk]且有<[Ψt（?-k）]，[Ψt（?-l）>=]0，則說(shuō)明V0與W0正交。將[?f（t）=V0]分解為：

[ft=k∈zC（0）k?（t-k） =k∈zCj0-kT?2j02?（2j0t-k）+j0≤j≤0k∈zDjkT?2j2Ψ（2jt-k）]

進(jìn)而將[Cj-1n]與[Dj-1k]進(jìn)行合成得到多小波變換的最后形式，即[C（j）n=kHTn+2kCj-1k+kGTn+2kDj-1k]。

2 離散多小波變換的實(shí)現(xiàn)

2.1 預(yù)濾波

對(duì)于離散的單小波而言，可直接利用Matlab的快速分解算法進(jìn)行離散小波變換。就現(xiàn)階段而言，預(yù)濾波器的主要設(shè)計(jì)方法包括了以下幾種：高/低通預(yù)濾波器結(jié)合法；逼近法[6]；自適應(yīng)法[7]。

通過(guò)對(duì)各個(gè)分辨率進(jìn)行分析，進(jìn)而選取各個(gè)具有顯著差異分辨率下的小波分量，在以其能量的最小化作為基本目標(biāo)的基礎(chǔ)上，對(duì)預(yù)濾波器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。與上述兩種方案相比，該方法具有最好的性能，但其不足在于計(jì)算量較為龐大。

2.2 基于邊界處理的信號(hào)對(duì)稱拓展

在實(shí)際應(yīng)用中任一小波所發(fā)出的信號(hào)長(zhǎng)度均是有限的，故有必要對(duì)邊界進(jìn)行相應(yīng)的拓展。就現(xiàn)階段而言，多小波分析的邊界拓展主要有以下兩種方法：

（1） 周期拓展。缺點(diǎn)在于，不能在邊界上產(chǎn)生良好的連續(xù)性，從而產(chǎn)生邊界效應(yīng)；

（2） 對(duì)稱拓展。由于與單小波相比，多小波具有較多的濾波系數(shù)，而濾波系數(shù)的增多又使得以對(duì)稱拓展為主的邊界拓展方法更加靈活。

2.3 離散多小波變換的實(shí)現(xiàn)

總體來(lái)說(shuō)，離散多小波變換的實(shí)現(xiàn)主要分為三個(gè)步驟：

（1） 預(yù)處理。對(duì)所接收的信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，進(jìn)而得到具體的初始矢量信號(hào)。

（2） 邊界拓展。根據(jù)初始矢量信號(hào)的特點(diǎn)，對(duì)分析所用的多小波以及邊界拓展（周期拓展和對(duì)稱拓展）方法做出正確的選擇。

（3） 系統(tǒng)選擇。對(duì)多小波系統(tǒng)進(jìn)行正確選擇，以便提高其對(duì)信號(hào)的處理效率。較為常用的多小波系統(tǒng)主要包括了CHM多小波系統(tǒng)、CL多小波系統(tǒng)等正交型多小波系統(tǒng)以及BIGHM和BIHERMITE雙正交多小波系統(tǒng)。

（4）多小波分解。利用[C（j）n=kHTn+2kCj-1k+][kGTn+2kDj-1k]對(duì)所得的正交或雙正交多小波進(jìn)行分解和變換處理，并對(duì)相應(yīng)的小波變換域[Ψt（?-k）]，[Ψt（?-l）]和<[φt（?-k）]，[φj（?-l）]>進(jìn)行適當(dāng)處理，并對(duì)所得到的結(jié)果進(jìn)行后處理操作進(jìn)而得到最終信號(hào)[8]。

3 圖像處理中多小波變換的應(yīng)用

在圖像處理中，多小波與單小波具有如下幾方面的差異：

（1） 多小波變換在對(duì)傳入的圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行分解前，需先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，而在圖像被恢復(fù)后還要對(duì)其進(jìn)行后處理操作，而單小波則可直接用來(lái)對(duì)圖像處理進(jìn)行分析；

（2） 由于在多小波中通常存在多個(gè)尺度以及若干個(gè)小波，故對(duì)多小波進(jìn)行分解則可得到數(shù)量較多的子塊。以L級(jí)多小波變換為例，現(xiàn)有的研究表明，處于L級(jí)的多小波變換可將圖像分解成子塊的個(gè)數(shù)[9]為r2（3L+1）。

下文則主要選取圖像壓縮編碼以及圖像去噪，當(dāng)前應(yīng)用最廣的兩種多小波變換應(yīng)用分析了圖像處理中多小波變換理論的應(yīng)用。

3.1 多小波的圖像壓縮

利用多小波對(duì)圖像進(jìn)行編碼的基本思想就是將圖片進(jìn)行多分辨率的分解，通過(guò)將圖像分辨率分解成具有不同空間以及不同頻率的子圖像，進(jìn)而根據(jù)各個(gè)子圖像的特點(diǎn)再分別對(duì)其進(jìn)行編碼。作為小波變換應(yīng)用于圖像處理中圖像壓縮工作的關(guān)鍵內(nèi)容也是核心內(nèi)容，系數(shù)編碼不僅關(guān)系著圖像壓縮的效率和質(zhì)量，而且對(duì)于處理后圖像的整體質(zhì)量也具有重要影響，對(duì)小波變換壓縮圖像的實(shí)質(zhì)進(jìn)行分析可知，實(shí)際上是對(duì)小波系數(shù)的量化壓縮。利用塔式分解法可將經(jīng)多小波變換后的圖像分解為4個(gè)頻帶，分別為垂直頻帶、水平頻帶以及對(duì)角線頻帶和低頻頻帶。

其主要表現(xiàn)在：

（1） 圖像的水平、垂直以及對(duì)角線部分可以對(duì)原圖像水平、垂直以及對(duì)角線部分的邊緣信息進(jìn)行較好的表征，變換后圖像具有較為鮮明的方向性；

（2） 變換后，圖像的能量大都集中于低頻部分，而對(duì)于分布在水平、垂直以及圖像對(duì)角線方面的能量較少。對(duì)變換后能量高度集中的低頻部分而言，其可被稱為亮度圖像，而與之對(duì)應(yīng)的能量分布較少的水平、垂直以及對(duì)角線部分則可稱為細(xì)節(jié)圖像。對(duì)經(jīng)過(guò)多小波變換后得到的水平、垂直以及對(duì)角線和低頻部分的四個(gè)子圖像以人的視覺(jué)特點(diǎn)和心理特點(diǎn)為依據(jù)，對(duì)各個(gè)子圖像進(jìn)行量化與編碼處理。就現(xiàn)階段而言，對(duì)圖像處理中圖像壓縮編碼具有較高效率的單小波編碼為小波零樹編碼，但其效果同DPCM以及DCT等編碼相比，對(duì)所需處理圖像的壓縮效果仍存在較大差距。

由于基于多小波變換的圖像處理過(guò)程中所涉及到的子圖像較多，因此，在具體的圖像處理過(guò)程中需要對(duì)不同的子圖像分別進(jìn)行相應(yīng)的量化處理。對(duì)單小波的零樹編碼和圖像的量化處理進(jìn)行分析可知，若只是單純地將單小波的零樹編碼移植到多小波當(dāng)中，而并未考慮多小波自身的特點(diǎn)以及多小波對(duì)零樹編碼的適應(yīng)情況，則所得到的圖像量化處理結(jié)果將不如單一的零樹編碼的單小波圖像處理效果明顯。因此，為了使多小波變換中不同子帶中的r2個(gè)子塊的相關(guān)性得以更好的利用，進(jìn)而提高圖像的處理效果，而對(duì)于類似于Lena圖像處理方法所處理的一類平滑圖像，也可以逼近9?7單小波對(duì)圖像的壓縮處理效果。此外，對(duì)于具有較多紋理成分的圖像如Barbara圖像而言，同單小波的壓縮處理相比，仍然是多小波的對(duì)圖像的壓縮效果更佳。

3.2 基于單/多變量門限法的圖像去噪

作為多小波變換應(yīng)用于圖像處理中的另一典型領(lǐng)域，基于單變量門限法的圖像去噪使得圖像經(jīng)處理后其光滑度得以進(jìn)一步提升，提高了圖像的質(zhì)量和效果。在多小波變換用于圖像去噪方面，Strela等人通過(guò)將單小波變換中“軟閾值門限”的圖像去噪方法直接轉(zhuǎn)移到基于多小波變換的圖像去噪當(dāng)中，進(jìn)而對(duì)高斯隨機(jī)噪聲在多小波變換過(guò)程中的性質(zhì)進(jìn)行了進(jìn)一步討論和研究。相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果為：endprint

（1） 以PSNR（dB）對(duì)圖像去噪效果進(jìn)行衡量可知，利用多小波變換對(duì)圖像去噪的效果要好于單小波變換的圖像去噪效果；

（2） 在進(jìn)行圖像去噪處理后，多小波變換去噪處理后的圖像質(zhì)量也要好于單小波變換去噪處理得到的圖像質(zhì)量。Slverman等人在對(duì)Strela等人的上述方法進(jìn)行的分析和研究后，將上述方法歸結(jié)為單變量門限法，并在結(jié)合多小波對(duì)圖像進(jìn)行處理是對(duì)圖像的矢量信號(hào)進(jìn)行處理實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出了基于多變量門限去噪法，通過(guò)一系列相關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了多變量門限法對(duì)圖像的去噪效果要顯著優(yōu)于單變量門限法的圖像去噪效果。隨著多小波方法的不斷完善以及多小波構(gòu)造方法的不斷發(fā)展，以多小波變換為基礎(chǔ)的圖像去噪方法將會(huì)擁有更加廣闊的發(fā)展和應(yīng)用前景。

4 結(jié) 論

本文對(duì)小波變換的概念以及單小波變換對(duì)信號(hào)處理的弊端進(jìn)行闡述，通過(guò)引入多小波變換的相關(guān)理論以及多小波變換的具體過(guò)程，進(jìn)而對(duì)預(yù)濾波以及基于邊界處理的信號(hào)對(duì)稱拓展等方面做出了系統(tǒng)分析。又從多小波的圖像壓縮以及基于單變量門限法的圖像去噪等方面對(duì)圖像處理中多小波變換的應(yīng)用展開(kāi)了深入研究。

通過(guò)研究可知，同單小波變換相比，多小波變換在圖像處理中的應(yīng)用對(duì)于提高圖像質(zhì)量具有更加顯著的效果?？梢?jiàn)，未來(lái)加強(qiáng)對(duì)多小波構(gòu)造方法以及多小波變換在圖像處理領(lǐng)域中的研究和應(yīng)用力度對(duì)于提高圖像處理效果和圖像整體質(zhì)量具有重要的歷史作用和現(xiàn)實(shí)意義。

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