內(nèi)共振作用下軸向運動黏彈性梁橫向受迫振動

黃玲璐, 毛曉曄, 丁 虎, 陳立群,2

(1.上海大學 上海市應(yīng)用數(shù)學和力學研究所, 上海 200072； 2.上海大學 力學系，上海 200444)

內(nèi)共振作用下軸向運動黏彈性梁橫向受迫振動

黃玲璐1, 毛曉曄1, 丁 虎1, 陳立群1,2

(1.上海大學 上海市應(yīng)用數(shù)學和力學研究所, 上海 200072； 2.上海大學 力學系，上海 200444)

研究內(nèi)共振與外部激勵共同作用下，軸向運動黏彈性梁橫向非線性振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。在運動梁動力學建模中采用Kelvin本構(gòu)關(guān)系，并取物質(zhì)時間導數(shù)。首次將直接多尺度法應(yīng)用到軸向運動連續(xù)體的內(nèi)共振研究。通過直接對連續(xù)體的偏微分-積分控制方程運用多尺度法，建立內(nèi)共振條件下的橫向非線性受迫共振的可解性條件。并通過穩(wěn)定性分析，得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解的穩(wěn)定邊界。另外還考察了參數(shù)對響應(yīng)的影響。運用數(shù)值仿真驗證了近似解析方法的正確性及有效性。

軸向運動梁；內(nèi)共振；受迫振動；直接多尺度法

在工業(yè)生產(chǎn)和工程實際中，存在許多軸向運動的工程系統(tǒng)，例如動力傳送帶、帶鋸、高樓升降機纜繩、空中纜車索道、發(fā)動機中的張緊皮帶等。通常這些系統(tǒng)都可以建模為沿著軸向運動的梁或者弦線，當系統(tǒng)的抗彎剛度不可忽略時，這些工程系統(tǒng)元件均可以模型化為軸向運動梁。因此，對于軸向運動梁的研究具有廣泛應(yīng)用前景。國內(nèi)外學者也對此進行了很多有意義的研究[1-4]。

Ding等[5]研究了亞臨界狀態(tài)下軸向運動梁非線性振動的固有頻率，比較了兩組橫向模型與平面耦合模型。呂海煒等[6]研究了軸向運動軟夾層梁的橫向振動特性。隨著研究的深入，學者們開始聚焦于內(nèi)共振對軸向運動體非線性動力學的影響。馮志華等[7]對滿足3∶1內(nèi)共振條件的軸向運動梁的參激振動平凡解穩(wěn)定性進行了分析。陳樹輝等[8]研究得到了軸向運動梁內(nèi)共振復雜的頻率-振幅響應(yīng)曲線。Ghayesh等[9-15]對軸向運動Euler梁的內(nèi)共振下的受迫振動穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進行了研究。需要說明的是，以后的研究大都是將運動體橫向振動的非線性控制方程進行Galerkin截斷，再對截斷后的多自由度非線性常微分方程組進行進一步的分析。直接對非線性偏微分(-積分)方程進行分析，以研究內(nèi)共振條件下軸向運動梁受迫振動的相關(guān)研究還很罕見。

本文運用直接多尺度法研究3∶1內(nèi)共振條件下的軸向運動黏彈性梁橫向非線性受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并運用數(shù)值方法對近似解析解進行了驗證。

1 控制方程

考慮如圖1所示的兩端簡支的軸向運動梁，其截面積為A，長度為L，密度為ρ，初始張力為P，并以一致的恒定速度Γ沿軸向移動，考慮外部存在簡諧激勵F=Bsin(Ωt)，其中B和Ω分別為激勵的幅值和頻率。當滿足I/(AL2)<0.001時，用Euler-Bernoulli梁模型來描述梁的動力學特性已經(jīng)足夠精確。

圖1 軸向運動梁物理模型

根據(jù)廣義的哈密頓原理建立軸向運動梁橫向振動控制方程：

ρA(V,TT+2V,TXΓ+Γ2V,XX)+M,XX-PV,XX-

(1)

式中：V(X,T)為梁的橫向位移；σ(X,T)和M(X,T)分別為梁沿軸向分布的附加應(yīng)力和彎矩。黏彈性本構(gòu)關(guān)系為Kelvin模型并取物質(zhì)時間導數(shù)，該軸向運動黏彈性梁的應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系為

(2)

(3)

簡支邊界條件為

V(0,T)=V(L,T)=0,V,XX(0，T)=V,XX(L,T)=0

(4)

為將式(3)無量綱化，引入空間和時間的坐標變換及新的參數(shù)：

(5)

(6)

利用式(5)和式(6)，對式(3)進行無量綱化，得到：

γv,xxxxx)=bsin(ωt)+

(7)

相應(yīng)的邊界條件變?yōu)?/p>

(8)

1.1固有頻率及內(nèi)共振條件

忽略方程(7)中的非線性部分，得到運動方程的派生系統(tǒng)：

(9)

方程(9)的四自由度解寫為

(10)

cc表示等號右端前四項的共軛復數(shù)，其中模態(tài)函數(shù)為

(11)

將四自由度解以及模態(tài)函數(shù)代入派生系統(tǒng)方程中，依次乘以sin(mπx)，并對x從0到1積分，按照exp(Iωnt)歸納整理可到一下四個方程：

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：

(16)

為滿足式(12)～(15)，exp(Iωnt)的系數(shù)必須為零，由此可以得到16個方程構(gòu)成的方程組。而cn,m不可能全部為0，由線性代數(shù)知識可知其Jacobi矩陣行列式值必然為0

(17)

由此系統(tǒng)固有頻率以及3∶1內(nèi)共振條件可以解出。

選取常用V帶作為具體研究對象，其物理參數(shù)GB/T 1171—1996，如表1所示。

表1 V帶的物理參數(shù)

V帶的橫截面如圖2所示。

圖2 V帶的橫截面

根據(jù)表1的物理參數(shù)求得3∶1內(nèi)共振條件以及前四階固有頻率，如表2所示。

表2 派生系統(tǒng)的前四階固有頻率

2 主共振響應(yīng)

對式(7)應(yīng)用直接多尺度法，先對方程引入重刻度，使得非線性恢復力、阻尼力以及外激勵出現(xiàn)在同一個方程中：

b=ε3b,α=ε2α,v(x,t)=εv(x,t)

(18)

由于控制方程中只有立方非線性，可以設(shè)控制方程的解為

v(x,T0,T2)=v0(x,T0,T2)+ε2v2(x,T0,T2)

(19)

式中：T0=t表示對應(yīng)于無黏彈性阻尼的和外激勵的線性系統(tǒng)以固有頻率ωn運動時的快時間尺度，T2=ε2t表示更慢的時間尺度；這是因為阻尼和外激勵而引發(fā)的振幅及相位慢變。將式(19)及關(guān)于t的導數(shù)

(20)

代入式(7)，并提取ε0和ε2項系數(shù)，令它們的系數(shù)為零得到：

(21)

2γv0,T2x+2v0,T0T2+v2,T0T0+2γv2,T0x-

(22)

式(21)為齊次線性偏微分方程，其解可以寫成：

v0(x,T0,T2)=A1(T2)Θ1(x)eIω1T0+

A2(T2)Θ2(x)eIω2T0+cc

(23)

式中：cc表示等號右端前兩項的共軛復數(shù)；ω1、ω2為固有頻率；An(T2)為待定函數(shù)；Θ1、Θ2為模態(tài)函數(shù)，其表達式為

Θn(x)=pn,1sin(πx)+pn,2sin(2πx)+

pn,3sin(3πx)+pn,4sin(4πx),

(24)

將式(23)和式(24)代入方程(21)，用待定系數(shù)法求出模態(tài)函數(shù)中系數(shù)pn,m，以及pn,m的共軛復數(shù)。

為表示第二階固有頻率離開ω2的程度以及擾動頻率ω離開ω1的程度，引入調(diào)諧參數(shù)σ1、σ2，

ω2=3ω1+ε2σ1,ω=ω1+ε2σ2

(25)

將式(21)的解v0代入方程(22)中，尋求陀螺系統(tǒng)的可解性條件，由于只需去除方程中的長期項，因此僅需考慮方程的齊次解，可將式(22)的解寫成：

v2(x,T0,T2)=Q1(x,T2)eIω1T0+Q2(x,T2)eIω2T0

(26)

(27)

將式(23)和式(26)代入方程(22)，利用(25)的關(guān)系，內(nèi)積后分別提取等號兩邊exp(iω1T0)以及exp(iω2T0)系數(shù)，可以得到：

(28)

式中：Hn,m是指數(shù)項系數(shù)中不含qn,m的部分，將列向量替換qn,m系數(shù)矩陣中任意列，即可得到可解條件。

引入待定函數(shù)A1,A2的極坐標表達式

(29)

式中：an表示響應(yīng)幅值；θn表征響應(yīng)的相角。將皮帶數(shù)值代入，可以得到無量綱剛度kf=0.2，無量綱非線性系數(shù)k1=23.8，無量綱阻尼系數(shù)α=0.001，無量綱激勵幅值b=0.01，梁的無量綱速度取γ=0.511 26，求得可解性條件如下：

7.287 587 915×106a1σ2-6.869 475 935×108Iαa1-

(30)

1.521 519 152×1010Iαa2=0

(31)

分離方程(30)的實部虛部得到：-6.869 475 935×108αa1-1.309 834 7×106bcos(β2)+

(32)

7.287 587 915×106a1σ2-1.945 387 102×

(33)

分離方程的實部虛部得到：

1.521 519 152×1010αa2=0

(34)

4.780 311 616×107a2σ2+1.593 437 205×107a2σ1-

(35)

從式(32)，(33)，(34)，(35)中消去相角，得到幅頻響應(yīng)方程并用數(shù)值仿真結(jié)果驗證。

3 數(shù)值驗證

上節(jié)用直接多尺度方法得到了穩(wěn)態(tài)周期解的幅頻響應(yīng)方程，本節(jié)采用龍格-庫塔法，對四階截斷方程進行仿真，以驗證解析方法的有效性以及正確性。

選取與解析過程中相同的黏彈性梁參數(shù)，將仿真結(jié)果與解析解畫在同一副圖中，如圖3所示。圖3中虛線是穩(wěn)定邊界，采用勞斯-霍爾威茲判據(jù)，由式(32)和式(33)計算得到。在該邊界內(nèi)的區(qū)域響應(yīng)不穩(wěn)定，而區(qū)域外響應(yīng)穩(wěn)定。掃頻仿真中，上一步的穩(wěn)態(tài)作為下一步計算的初始值，以考察初始值對非線性跳躍區(qū)域的影響。觀察圖3可以發(fā)現(xiàn)在不穩(wěn)定的區(qū)域內(nèi)，幅頻響應(yīng)會出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，且系統(tǒng)的非線性呈硬特性。此外，從圖中可以看出，近似解析分析和數(shù)值仿真吻合得較好，由此驗證了近似解析分析結(jié)果的有效性及正確性。

圖3 一階主共振時幅頻響應(yīng)曲線

利用解析方法，不僅可以得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅頻曲線，在主共振附近任意頻率上都可以解出響應(yīng)的響應(yīng)幅值及相角，進而可以得到此時的時域響應(yīng)曲線。同樣，解析結(jié)果的正確性用仿真結(jié)果驗證，如圖4所示。

圖4 一階主共振時時域響應(yīng)曲線

圖4中，實線代表解析解，圓圈代表仿真得到的時域響應(yīng)曲線，可以發(fā)現(xiàn)解析與仿真結(jié)果吻合非常好，又一次驗證了解析方法的有效性及正確性。

4 非線性參數(shù)影響及滯后現(xiàn)象

與線性系統(tǒng)不同，非線性系統(tǒng)的共振峰會產(chǎn)生彎曲，非線性越強，彎曲幅度越大。通過更改幅頻響應(yīng)方程中的非線性系數(shù)，得到三組非線性參數(shù)下的幅頻響應(yīng)曲線，以考察非線性系數(shù)對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。從圖5所示的幅頻響應(yīng)曲線中，可以觀察發(fā)現(xiàn)當非線性系數(shù)超過一定范圍時，幅頻響應(yīng)曲線存在多值區(qū)域，也就是跳躍現(xiàn)象。從圖5中還可以發(fā)現(xiàn)，雖然非線性系數(shù)呈等差關(guān)系，但是，隨著非線性系數(shù)的增加，共振峰的彎曲幅度呈非線性增長。因此，非線性系數(shù)對軸向運動梁的動力學特性影響非常顯著。

圖5 非線性參數(shù)對幅頻響應(yīng)的影響

為了考察外激勵幅值的影響，圖6給出了是一階主共振時第一階模態(tài)響應(yīng)幅值在不同激勵頻率下隨外激勵幅值的連續(xù)變化曲線。觀察發(fā)現(xiàn)，當解諧參數(shù)大于某一個臨界值時，幅值曲線才會出現(xiàn)多值現(xiàn)象，這也稱之為滯后現(xiàn)象。一般來說，滯后現(xiàn)象發(fā)生的條件與系統(tǒng)非線性特性是密切相關(guān)的。本文研究的非線性特性表現(xiàn)為硬特性，即穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)曲線向右彎曲。因此，也只有外部激勵的頻率在大于固有頻率時才會發(fā)生滯后現(xiàn)象。

圖6 一階主共振第一階模態(tài)滯后曲線

圖7是一階主共振時第二階模態(tài)的滯后曲線。圖8是對圖7的局部的放大。觀察圖7可以發(fā)現(xiàn)，同樣只有在激勵頻率大于固有頻率時才會出現(xiàn)滯后現(xiàn)象。這是由系統(tǒng)前兩階模態(tài)滿足3∶1內(nèi)共振的耦合作用引起并決定的。實際上，第一階模態(tài)多值區(qū)間與第二階模態(tài)的多值區(qū)間有共性。但是，對比發(fā)現(xiàn)，與第一階模態(tài)不同的是，當外部激勵的幅值超過一個臨界值后，第二階模態(tài)上的響應(yīng)將不再變化，這稱之為飽和現(xiàn)象。這種能量在不同模態(tài)間的轉(zhuǎn)移是內(nèi)共振所特有的。

5 結(jié) 論

本文運用直接多尺度方法研究了軸向運動黏彈性梁橫向非線性受迫振動，主要考察了內(nèi)共振對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，特別是能量在不同模態(tài)間的轉(zhuǎn)移。在直接多尺度的應(yīng)用過程中，考慮了陀螺系統(tǒng)的特點，計入了軸向運動梁前四階的模態(tài)，而非傳統(tǒng)做法中的兩階模態(tài)。解析方法的有效性及正確性得到了仿真結(jié)果的驗證。研究結(jié)果表明，非線性參數(shù)對幅頻響應(yīng)的影響非常大，跳躍現(xiàn)象以及滯后現(xiàn)象只發(fā)生在外激勵頻率大于固有頻率的條件下，同時，還發(fā)現(xiàn)了二階模態(tài)響應(yīng)中內(nèi)共振特有的飽和現(xiàn)象。

圖7 一階主共振第二階模態(tài)滯后曲線

圖8 一階主共振第二階模態(tài)滯后曲線局部放大

[1] MOTE JR C D. Dynamic stability of axially moving materials[J]. Shock and Vibration Digest, 1972, 4(4): 2-11.

[2] WICKERT J A. Non-linear vibration of a traveling tensioned beam[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 1992, 27(3): 503-517.

[3] 丁虎, 陳立群. 軸向運動黏彈性梁橫向非線性受迫振動[J]. 振動與沖擊, 2009, 28(12): 128-131.

DING Hu, CHEN Liqun. Transverse non-linear forced vibration of axially moving viscoelastic beam[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(12): 128-131.

[4] 宮蘇梅, 張偉. 平帶系統(tǒng)非線性振動實驗研究[J]. 動力學與控制學報, 2014, 12(4): 368-372.

GONG Sumei, ZHANG Wei. Experimental study on nonlinear vibration of flat-belt system[J]. Journal of dynamics and Control, 2014, 12(4): 368-372.

[5] DING H, CHEN L Q. Natural frequencies of nonlinear vibration of axially moving beams[J]. Nonlinear Dynamics, 2011, 63(1/2): 125-134.

[6] 呂海煒, 李映輝, 李亮, 等. 軸向運動軟夾層梁橫向振動分析[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(2): 41-51.

Lü Haiwei, LI Yinghui, LI Liang, et al. Analysis of transverse vibration of axially moving soft sandwich beam[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(2):41-51.

[7] 馮志華, 胡海巖.內(nèi)共振條件下直線運動梁的穩(wěn)定性[J]. 力學學報, 2002, 34(3):389-400.

FENG Zhihua, HU Haiyan. Dynamics stability of a slender beam with internal resonance under a large linear motion[J]. Acta Mechanica Sinica, 2002, 34(3): 389-400.

[8] 陳樹輝, 黃建亮. 軸向運動梁非線性振動內(nèi)共振研究[J].力學學報, 2005, 37(1): 57-63.

CHEN Shuhui, HUANG Jianliang. On internal resonance of nonlinear vibration of axially moving beams[J]. Acta Mechanica Sinica, 2005, 37(1): 57-63.

[9] GHAYESH M H, KAZEMIRAD S, AMABILI M. Coupled longitudinal-transverse dynamics of an axially moving beam with an internal resonance[J]. Mechanism and Machine Theory, 2012, 52: 18-34.

[10] GHAYESH M H. Nonlinear forced dynamics of an axially moving viscoelastic beam with an internal resonance[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2011, 53: 1022-1037.

[11] GHAYESH M H, KAFIABAD HA, REID T. Sub-and super-critical nonlinear dynamics of a harmonically excited axially moving beam[J]. International Journal of Solids and Structures, 2012, 49: 227-243.

[12] RIEDEL C H, TAN C A. Coupled, forced response of an axially moving strip with internal resonance[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2002, 37: 101-116.

[13] CHEN S H, HUANG J L, SZE K Y. Multidimensional Lindstedt-Poincaré method for nonlinear vibration of axially moving beams[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 306: 1-11.

[14] HUANG J L, SU R K L, LI W H, et al. Stability and bifurcation of an axially moving beam tuned to three-to-one internal resonances[J]. Journal of Sound and Vibration, 2011, 330: 471-485.

[15] SZE K Y, CHEN S H, HUANG J L. The incremental harmonic balance method for nonlinear vibration of axially moving beams[J]. Journal of sound and Vibration, 2005, 281: 611-626.

Transversenon-linearforcedvibrationofanaxiallymovingviscoelasticbeamwithaninternalresonance

HUANG Linglu1, MAO Xiaoye1, DING Hu1, CHEN Liqun1,2

(1.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072, China;2．Department of Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200444, China)

The transverse nonlinear forced vibration of an axially moving viscoelastic beam with a three-to-one internal resonance was analytically and numerically studied here. The beam material obeys Kelvin constitution relation model with material time derivatives adopted. For the first time, the multi-scale method was used to study the internal resonance of the axially moving continuous beam. The solvability condition for the transverse nonlinear forced vibration of the beam was derived under the internal resonance condition. The stable boundary for the beam’s steady-state response solution was obtained with the stability analysis. The effects of the system parameters on the beam’s steady-state response were examined. Finally, the correctness and effectiveness of the proposed approximate analytical method were verified with numerical simulations.

axially moving beam; internal resonance; forced vibration; multi-scale method

國家自然科學基金重點項目(11232009)；國家自然科學基金(11372171；11422214)

2016-01-13 修改稿收到日期：2016-06-24

丁虎 男，博士，教授，博士生導師，1978年3月生 E-mail:dinghu3@shu.edu.cn

O322

： A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.17.011