一種抑制初始微分峰值現(xiàn)象的改進(jìn)型三階時(shí)變參數(shù)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

孫佃升，章躍進(jìn)

(1.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072；2.濱州學(xué)院 電氣工程學(xué)院，山東 濱州 256600)

一種抑制初始微分峰值現(xiàn)象的改進(jìn)型三階時(shí)變參數(shù)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

孫佃升1,2，章躍進(jìn)1

(1.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072；2.濱州學(xué)院 電氣工程學(xué)院，山東 濱州 256600)

傳統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer,ESO)在運(yùn)行時(shí)普遍存在著由于狀態(tài)變量的初始觀測(cè)值和實(shí)際值的偏差過(guò)大帶來(lái)的初始微分峰值現(xiàn)象。為抑制微分峰值現(xiàn)象，避免系統(tǒng)調(diào)節(jié)過(guò)程中出現(xiàn)振蕩，縮短調(diào)節(jié)時(shí)間，提高動(dòng)態(tài)性能，提出了一種改進(jìn)型三階時(shí)變參數(shù)ESO。首先，給出了改進(jìn)型三階時(shí)變參數(shù)ESO的構(gòu)建方法和穩(wěn)定性證明。然后，分析了該新型ESO在有擾動(dòng)時(shí)的觀測(cè)誤差范圍，并與傳統(tǒng)ESO做了對(duì)比。最后，通過(guò)仿真表明該三階改進(jìn)型時(shí)變參數(shù)ESO能有效抑制微分峰值現(xiàn)象，且比傳統(tǒng)的三階非線性ESO具有更快的收斂速度和更高的觀測(cè)精確度。

自抗擾控制；擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器；觀測(cè)精確度；微分峰值現(xiàn)象；時(shí)變參數(shù)；狀態(tài)估計(jì)；不確定系統(tǒng)

0 引 言

擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(extended state observer，ESO)是自抗擾控制(active disturbance rejection control，ADRC)系統(tǒng)的核心部分，其性能的優(yōu)劣決定著ADRC的整體性能。ESO能實(shí)時(shí)觀測(cè)系統(tǒng)中不易測(cè)量的狀態(tài)變量以及一些未知的、不確定的量，其應(yīng)用日益廣泛，成為研究熱點(diǎn)[1-2]。

線性ESO是結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的ESO，其特點(diǎn)是誤差函數(shù)采用線性函數(shù)。常規(guī)線性ESO雖然性能稍差；但由于算法簡(jiǎn)單，因而在一些場(chǎng)合中仍然獲得應(yīng)用[3]。文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了最初的采用非線性函數(shù)fal(·)和fhan(·)作為誤差函數(shù)的非線性ESO，該ESO成為經(jīng)典的ESO而被沿用至今。文獻(xiàn)[5]提出了一種非線性ESO的參數(shù)設(shè)定方法，給出了確保系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)取值范圍。文獻(xiàn)[6]從ESO觀測(cè)周期入手研究，提出了一種基于觀測(cè)周期不變條件下的參數(shù)整定方法。文獻(xiàn)[7]采用帶寬分析的辦法將非線性ESO線性化，并給出了線性ESO的參數(shù)設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[8-14]采用多種方法研究了ESO的穩(wěn)定性、觀測(cè)性能和抗擾性能，為參數(shù)配置提供了依據(jù)。文獻(xiàn)[15]提出了采用反正切函數(shù)的非線性ESO，并驗(yàn)證了其效果。文獻(xiàn)[16]設(shè)計(jì)了采用雙曲正切函數(shù)的二階變參數(shù)ESO，并取得了良好的效果。以上研究多從ESO參數(shù)設(shè)定、非線性誤差函數(shù)選取等方面改善ESO的性能，在ESO的結(jié)構(gòu)上未做改進(jìn)。經(jīng)典ESO通過(guò)采用非線性函數(shù)的辦法來(lái)抑制初始微分峰值現(xiàn)象，在對(duì)系統(tǒng)控制性能和觀測(cè)精確度要求較高的場(chǎng)合下往往不能滿足要求。文獻(xiàn)[16]雖提出了采用時(shí)變參數(shù)抑制微分峰值現(xiàn)象的辦法，但未給出采用變參數(shù)的ESO的穩(wěn)定性證明，所用ESO也仍為經(jīng)典的ESO結(jié)構(gòu)。

本文從ESO的運(yùn)行原理出發(fā)，分析了通過(guò)優(yōu)化各狀態(tài)變量的反饋偏差，進(jìn)而在結(jié)構(gòu)上進(jìn)行改進(jìn)的改進(jìn)型ESO的性能優(yōu)勢(shì)。給出了改進(jìn)型的三階時(shí)變參數(shù)ESO的穩(wěn)定性證明，并與經(jīng)典三階ESO做了擾動(dòng)影響下的誤差范圍分析和對(duì)比，最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了所提出的ESO在抑制微分峰值現(xiàn)象和提高觀測(cè)精度方面的優(yōu)勢(shì)。

1 經(jīng)典ESO與初始微分峰值現(xiàn)象

利用控制對(duì)象狀態(tài)變量的給定值和輸出值之間的偏差對(duì)控制對(duì)象進(jìn)行控制，使?fàn)顟B(tài)變量跟隨給定值的理論是控制中的基本原理[17-18]，在PI控制中得到了成功的應(yīng)用。然而，PI控制中的減小調(diào)節(jié)時(shí)間和減小超調(diào)是一對(duì)矛盾，要獲得較短的調(diào)節(jié)時(shí)間就必然要容許一定量的超調(diào)存在。尤其在控制系統(tǒng)工作的初始階段，給定值和實(shí)際值之間的偏差較大，產(chǎn)生的超調(diào)往往很大。這一問(wèn)題是偏差控制的自身機(jī)理決定的，僅僅通過(guò)調(diào)節(jié)PI參數(shù)不能從根本上解決。

ESO從根本上說(shuō)也是偏差控制，即通過(guò)狀態(tài)變量的觀測(cè)值和實(shí)際值之間的偏差控制其跟隨實(shí)際值。在ESO工作的初始階段，由于ESO中各狀態(tài)變量觀測(cè)值的初始值與對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)變量實(shí)際值的偏差較大，調(diào)節(jié)中就會(huì)出現(xiàn)很大的超調(diào)，即所謂的初始微分峰值現(xiàn)象。下面以經(jīng)典三階非線性ESO為例進(jìn)行分析。

控制系統(tǒng)如下所示：

(1)

(2)

上述系統(tǒng)的經(jīng)典三階ESO模型為：

(3)

式中：fal(·)為文獻(xiàn)[4]所提出的非線性函數(shù)；a1、β1、β2均為大于零的參數(shù)；α1、α2為非線性系數(shù)，δ為濾波系數(shù)；z1、z2、z3分別為x1、x2、x3的觀測(cè)值。

根據(jù)式(3)可知，經(jīng)典ESO中對(duì)z1、z2、z3的控制是通過(guò)調(diào)節(jié)其各自的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行的，而調(diào)節(jié)的依據(jù)為z1與x1的誤差e(t)。從調(diào)節(jié)過(guò)程上分析，顯然是首先完成z1對(duì)x1的跟蹤，然后才是完成z2對(duì)x2的跟蹤，最后才是z3完成對(duì)x3的跟蹤。雖然各狀態(tài)變量同時(shí)調(diào)節(jié)，但到達(dá)穩(wěn)態(tài)的順序卻是這樣的。在z1的調(diào)節(jié)完成前，對(duì)z2和z3跟蹤其各自實(shí)際值的調(diào)節(jié)不可能完成；而ESO中z1對(duì)x1的跟蹤到達(dá)穩(wěn)態(tài)后，ESO對(duì)z2和z3的控制難度卻加大了，原因是這時(shí)e(t)的值已很小。為使ESO有能力繼續(xù)完成z2對(duì)x2的跟蹤調(diào)節(jié)以及z3對(duì)x3的跟蹤調(diào)節(jié)，經(jīng)典ESO中的參數(shù)β1和β2必須依次設(shè)置為更大的值。通常情況下，β1和β2要比a1大10至100倍。顯然，這樣的參數(shù)設(shè)置的前提是ESO的z1對(duì)x1的跟蹤達(dá)到穩(wěn)態(tài)，誤差e(t)很小；但在系統(tǒng)調(diào)節(jié)過(guò)程中，尤其是ESO工作的初始狀態(tài)下，e(t)有時(shí)很大，過(guò)大的參數(shù)必然引起調(diào)節(jié)過(guò)程的振蕩以及初始時(shí)嚴(yán)重的微分峰值現(xiàn)象。

顯然，當(dāng)誤差函數(shù)采用線性函數(shù)時(shí)，微分峰值現(xiàn)象最為嚴(yán)重。為有效抑制微分峰值現(xiàn)象，經(jīng)典ESO采用fal(·)等非線性函數(shù)作為誤差函數(shù)。這類非線性函數(shù)的特點(diǎn)是其輸出對(duì)輸入來(lái)說(shuō)實(shí)現(xiàn)“小誤差、大增益，大誤差、小增益”。采用該類非線性函數(shù)對(duì)抑制微分峰值現(xiàn)象是有效的，但效果有限。

2 基于時(shí)變參數(shù)的改進(jìn)型ESO設(shè)計(jì)

經(jīng)典ESO中通過(guò)e(t)來(lái)完成所有狀態(tài)變量調(diào)節(jié)的運(yùn)行機(jī)理是加劇微分峰值現(xiàn)象的原因，因而有必要對(duì)ESO從結(jié)構(gòu)和運(yùn)行機(jī)理上進(jìn)行改進(jìn)。

由式(3)可得：

(4)

進(jìn)而整理得：

(5)

(6)

由以上的分析可知式(6)所示的改造后的ESO，可在參數(shù)β1、β2選取較小值的情況下獲得比經(jīng)典ESO更好的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)性能和更小的穩(wěn)態(tài)觀測(cè)誤差(后面進(jìn)行數(shù)學(xué)上的推理證明)。其β1、β2取值較經(jīng)典ESO小，對(duì)抑制初始微分峰值現(xiàn)象自然比經(jīng)典ESO效果更好。為進(jìn)一步提升抑制微分峰值的效果，將固定參數(shù)β1、β2替換為時(shí)變參數(shù)[16]，如下所示：

(7)

β11、β21為根據(jù)具體系統(tǒng)選取的大于零的定值參數(shù)，b1、b2為時(shí)間變量的系數(shù)，且b1>0，b2>0。因雙曲正切函數(shù)tanh(·)具有飽和特性，合理選擇以上參數(shù)可抑制ESO初始時(shí)的微分峰值現(xiàn)象。此外，改進(jìn)型ESO的反饋偏差得到優(yōu)化，其在運(yùn)行中，狀態(tài)變量觀測(cè)值對(duì)實(shí)際值的跟蹤性能也較經(jīng)典ESO有較大提升。

3 基于時(shí)變參數(shù)的三階改進(jìn)型ESO的穩(wěn)定性證明

對(duì)于式(6)所示的改進(jìn)型非線性ESO，時(shí)變參數(shù)β1、β2恒為正值。由于非線性函數(shù)fal(·)是平滑、連續(xù)的函數(shù)；在其自變量任意的小鄰域內(nèi)，均可將fal(·)視作線性函數(shù)，即認(rèn)為fal(·)由無(wú)數(shù)段線性函數(shù)拼接而成。這樣，式(6)所示的時(shí)變參數(shù)非線性ESO可變?yōu)闀r(shí)變參數(shù)線性ESO，如下式所示：

(8)

式(8)所示的時(shí)變參數(shù)a2(t)由非線性函數(shù)fal(·)及其參數(shù)α1、δ以及時(shí)變參數(shù)β1決定，時(shí)變參數(shù)a3(t)由非線性函數(shù)fal(·)及參數(shù)α2、δ以及時(shí)變參數(shù)β2決定。由于fal(e(t),α1,δ)關(guān)于e(t)單調(diào)遞增，綜合以上分析，可得到a2(t)、a3(t)的表達(dá)式為：

α2(t)=β11·tanh(b1t)·k1，

α3(t)=β21·tanh(b2t)·k2。

其中k1、k2均為大于零的時(shí)變參數(shù)。可知，恒有a2(t)>0和a3(t)>0成立，且a2(t)、a3(t)有界。

這樣，對(duì)式(6)所示非線性ESO的穩(wěn)定性證明轉(zhuǎn)化為對(duì)式(8)所示時(shí)變系數(shù)線性ESO的穩(wěn)定性證明。

令e1(t)=z1(t)-x1(t)，e2(t)=z2(t)-x2(t)，e3(t)=z3(t)-x3(t)。

由式(2)、式(8)可得到：

(9)

(10)

令a′=a1+a2(t)+a3(t)，b′=a1a2(t)+a1a3(t)+a2(t)a3(t)，c′=a1a2(t)a3(t)，可得式(10)的特征方程為

λ3+a′λ2+b′λ+c′=0。

(11)

由霍爾維茨定理，其全部特征根均具有負(fù)實(shí)部的充要條件是a′>0，c′>0，a′b′-c′>0?？梢娫摋l件全部成立；因此，式(10)所示系統(tǒng)的零解(e1(t)=0，e2(t)=0，e3(t)=0)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

考慮擾動(dòng)ω(t)時(shí)，系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。規(guī)定|ω(t)|≤ω0，ω0>0，為常數(shù)。系統(tǒng)達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)，可得：

(12)

再根據(jù)式(9)，計(jì)算得穩(wěn)態(tài)誤差為：

(13)

(14)

(15)

4 經(jīng)典三階非線性ESO的觀測(cè)誤差

式(3)所示的經(jīng)典三階ESO，同樣可對(duì)其進(jìn)行穩(wěn)定性和誤差分析。按照上述方法，式(3)可變?yōu)闀r(shí)變線性ESO，如下所示：

(16)

(17)

令a′=a1，b′=a2(t)，c′=a3(t)，可得式(17)的特征方程為

λ3+a′λ2+b′λ+c′=0。

(18)

由霍爾維茨定理，其全部特征根均具有負(fù)實(shí)部的充要條件是a′>0，c′>0，a′b′-c′>0。可見，當(dāng)a1a2(t)>a3(t)條件下，式(17)所示系統(tǒng)的零解(e1(t)=0，e2(t)=0，e3(t)=0)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

考慮擾動(dòng)ω(t)時(shí)，系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。規(guī)定|ω(t)|≤ω0，ω0>0，為常數(shù)。系統(tǒng)達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)可得：

(19)

計(jì)算得穩(wěn)態(tài)誤差

(20)

(21)

(22)

為確保ESO收斂，且提高觀測(cè)精確度，ESO參數(shù)a1、a2(t)、a3(t)的取值均大于1[5]。在該條件下，將式(20)、(21)、(22)與式(13)、(14)、(15)進(jìn)行對(duì)比可知，所提出的改進(jìn)型三階ESO的穩(wěn)態(tài)誤差要小于經(jīng)典三階ESO。此外，經(jīng)典三階ESO需要滿足條件a1a2(t)>a3(t)才能穩(wěn)定，a3(t)的取值不能比a1和a2(t)大太多，這也限制了其穩(wěn)態(tài)精確度的提高。

5 仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證改進(jìn)型三階時(shí)變參數(shù)非線性ESO的性能，對(duì)其做了建模仿真，并與經(jīng)典三階非線性ESO的仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

控制系統(tǒng)的擴(kuò)張狀態(tài)方程為：

(23)

改進(jìn)型三階非線性時(shí)變參數(shù)ESO如式(6)所示，其中時(shí)變參數(shù)β1、β2如式(7)所示。選取參數(shù)α1=0.5，α2=0.25，δ=0.01，a1=50，β11=100，β21=500，b1=10，b2=15。時(shí)變參數(shù)β1、β2隨時(shí)間的響應(yīng)情況如圖1所示。

圖1 時(shí)變參數(shù)的值的變化情況Fig.1 Changes of values for time-varying parameters

經(jīng)典三階非線性ESO如式(3)所示，選取參數(shù)α1=0.5，α2=0.25，δ=0.01，a1=50，β1=100，β2=500。以下為2種ESO的仿真結(jié)果對(duì)比。

圖2為改進(jìn)型ESO與經(jīng)典ESO對(duì)z1跟蹤x1的對(duì)比。可見改進(jìn)型ESO的跟蹤快速性明顯好于經(jīng)典ESO。

圖2 改進(jìn)型ESO和經(jīng)典ESO對(duì)z1跟蹤x1的對(duì)比Fig.2 Comparison of z1 tracking x1between improved ESO and traditional ESO

圖3為改進(jìn)型ESO與經(jīng)典ESO對(duì)z1的觀測(cè)誤差e1(t)的對(duì)比?？梢姼倪M(jìn)型ESO的穩(wěn)態(tài)誤差小于經(jīng)典ESO，且改善了初始微分峰值現(xiàn)象。

圖4為改進(jìn)型ESO與經(jīng)典ESO對(duì)x2的觀測(cè)值z(mì)2的跟蹤x2情況的對(duì)比?？梢娊?jīng)典ESO初始出現(xiàn)微分峰值現(xiàn)象，而改進(jìn)型ESO的初始響應(yīng)快速且超調(diào)小，較好地抑制了微分峰值現(xiàn)象。

圖5為改進(jìn)型ESO與經(jīng)典ESO對(duì)x2的觀測(cè)誤差e2的對(duì)比?？梢娊?jīng)典ESO初始出現(xiàn)很大超調(diào)，且誤差較大。改進(jìn)型ESO的初始響應(yīng)快速且無(wú)超調(diào)，觀測(cè)精確度明顯提高。

圖3 改進(jìn)型ESO、經(jīng)典ESO對(duì)x1的觀測(cè)誤差e1對(duì)比Fig.3 Comparison of observation error e1 of x1 between improved ESO and traditional ESO

圖4 改進(jìn)型ESO和經(jīng)典ESO對(duì)z2跟蹤x2的對(duì)比Fig.4 Comparison of z2 tracking x2between improved ESO and traditional ESO

圖5 改進(jìn)型ESO和經(jīng)典ESO對(duì)x2的觀測(cè)誤差e2的對(duì)比Fig.5 Comparison of observation error e2 of x2 between improved ESO and traditional ESO

圖6 改進(jìn)型ESO和經(jīng)典ESO對(duì)z3跟蹤x3的對(duì)比Fig.6 Comparison of z3 tracking x3 between improved ESO and traditional ESO

圖6為改進(jìn)型ESO與經(jīng)典ESO對(duì)x3的觀測(cè)值z(mì)3的跟蹤x3情況的對(duì)比。可見改進(jìn)型ESO的初始響應(yīng)快速且較好地抑制了微分峰值現(xiàn)象。

圖7為改進(jìn)型ESO與經(jīng)典ESO對(duì)x3的觀測(cè)誤差e3的對(duì)比?？梢姼倪M(jìn)型ESO的初始超調(diào)較經(jīng)典ESO減小到其1/6，且觀測(cè)精確度明顯提高。

圖7 改進(jìn)型ESO和經(jīng)典ESO對(duì)x3的觀測(cè)誤差e3的對(duì)比Fig.7 Comparison of observation error e3 of x3 between improved ESO and traditional ESO

6 結(jié) 論

本文分析了經(jīng)典ESO在狀態(tài)變量初始值和系統(tǒng)狀態(tài)變量的初始值存在較大偏差時(shí)，出現(xiàn)微分峰值現(xiàn)象的原因。提出了一種改進(jìn)型三階時(shí)變參數(shù)非線性ESO，并從數(shù)學(xué)上證明了其穩(wěn)定性且穩(wěn)態(tài)精確度好于經(jīng)典三階非線性ESO。仿真實(shí)驗(yàn)表明所提出的三階改進(jìn)型時(shí)變參數(shù)非線性ESO的觀測(cè)精度、收斂速度、以及對(duì)初始微分峰值現(xiàn)象的抑制效果均好于經(jīng)典三階非線性ESO。

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(編輯：張 楠)

Improvedthird-ordertime-varyingparametersnonlinearESOrestrainingthederivativepeakingphenomenon

SUN Dian-sheng1，2，ZHANG Yue-jin1

(1.School of Mechatronic Engineering and Automation,Shanghai University,Shanghai 200072,China; 2.College of Electrical Engineering,Binzhou University,Binzhou 256600,China)

The derivative peaking phenomenon in the traditional extended state observer (ESO) is universal because its deviations of initial estimated values and actual values of state variables are too large.An improved time-varying parameters third-order nonlinear ESO was proposed in order to restrain the derivative peaking phenomenon,avoid the system oscillating,shorten the adjusting time and improve the dynamic performance.Firstly,the construction method of the improved ESO and the mathematical proof of the stability of its observation error system were given.Then observation error range of the improved ESO was analyzed and compared with the traditional ESO.Finally,effectiveness of the improved ESO was verified by computer simulation.The simulation results show that the improved third-order time-varying parameters nonlinear ESO can effectively restrain the derivative peaking phenomenon,and it has faster convergence speed and higher observation accuracy than the traditional three order nonlinear ESO.

active disturbance rejection control; extended state observer; observation precision; derivative peaking phenomenon; time-varying parameters; state estimation; uncertain systems

10.15938/j.emc.2017.09.008

TM 46

:A

:1007-449X(2017)09-0055-08

2016-08-18

山東省自然科學(xué)基金(ZR2016FQ16、2014ZRB019X3)

孫佃升(1980—)，男，博士，研究方向?yàn)橄冗M(jìn)控制理論在電機(jī)控制上的應(yīng)用；章躍進(jìn)(1956—)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡姍C(jī)理論、電機(jī)電磁場(chǎng)和電機(jī)動(dòng)態(tài)仿真。

孫佃升