基于均值—方差模型的多階段投資動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型

【摘要】動(dòng)態(tài)規(guī)劃（dynamic programming）是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，是求解決策過(guò)程最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法，在經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在我們傳統(tǒng)研究投資組合問(wèn)題所使用的馬科維茨模型中，通常假設(shè)收益率和風(fēng)險(xiǎn)是固定不變的，并且只構(gòu)造一次投資組合決策，然而在現(xiàn)實(shí)世界中，這顯然是不夠的，由于市場(chǎng)具有不確定性，資產(chǎn)的收益率和風(fēng)險(xiǎn)隨時(shí)間而改變，并且我們可以在不同的投資階段采取不同的投資決策，投資決策是動(dòng)態(tài)的。因此，本文將基于傳統(tǒng)的馬克維茨均值-方差模型，運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)，構(gòu)建一個(gè)不超過(guò)投資者風(fēng)險(xiǎn)承受能力情況下，以最終的總收益最大為目標(biāo)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，實(shí)現(xiàn)多階段投資的最優(yōu)決策。

【關(guān)鍵詞】動(dòng)態(tài)規(guī)劃 多階段資產(chǎn)投資 馬科維茨模型

一、基本假設(shè)

假設(shè)某資產(chǎn)市場(chǎng)中共有n種資產(chǎn)可供投資者進(jìn)行選擇，投資可以分為m個(gè)階段，在每一階段中該投資者都可在這n中資產(chǎn)中進(jìn)行投資。假設(shè)投資者可以根據(jù)市場(chǎng)合理預(yù)期未來(lái)進(jìn)行投資的m個(gè)階段中每個(gè)階段每種資產(chǎn)的平均收益率。設(shè)在第j（j=1，…，m）個(gè)階段初購(gòu)買第i（i=1，…，n）種資產(chǎn)，到該階段末時(shí)的平均收益率為rij；并且，投資者在j階段期初可對(duì)j-1階段期末所持有的資產(chǎn)進(jìn)行決策，決定這些資產(chǎn)是繼續(xù)持有還是出售，而出售資產(chǎn)所得的資金可繼續(xù)投入用于j階段資產(chǎn)的購(gòu)買。

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題的考慮，我們有以下假設(shè)：首先，投資者只在投資開(kāi)始時(shí)（即第一階段初）向資產(chǎn)市場(chǎng)投入一定數(shù)額的自有資金此后不再投入其它自有資金；同時(shí)，每一階段投資所獲收益不會(huì)抽出而是繼續(xù)用于剩余階段的投資或留作自有資金，也就是說(shuō)，整個(gè)投資環(huán)境相對(duì)封閉，即投資者最終持有的資產(chǎn)和資金只是由最初的自有資金進(jìn)行了m個(gè)階段的投資后獲得的，；其次，在資產(chǎn)投資中，不允許賣空行為，即投資者只允許出售手中所持有的資產(chǎn)；最后，假設(shè)投資是持續(xù)的，即j-1階段期末與j階段期初是同一時(shí)刻，投資者此時(shí)所持有的資產(chǎn)及自有資金的數(shù)額是相同的。

二、定義數(shù)學(xué)符號(hào)

接下來(lái)，我們引入一些數(shù)學(xué)符號(hào)：

xij——第j階段初，投資者擁有的第i種資產(chǎn)數(shù)量（j=1，…，m；i=1，…，n）；

tj——第j階段初，投資者擁有的自由資金數(shù)額（j=1，…，m）；

則（xij，tj）表示第j階段初投資者持有的資產(chǎn)數(shù)量和自由資金數(shù)額的狀態(tài)，也就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型中所討論的第j階段初的投資狀態(tài)變量，記為Xj（j=1，…，m）；

uij——第j階段初，投資者對(duì)第i種資產(chǎn)的交易金額（j=1，…，m；i=1，…，n）；

（其中：uij<0表示投資者出售第i種資產(chǎn)，uij>0表示投資者購(gòu)買第i種資產(chǎn)），

則（uij）表示第j階段投資者的資產(chǎn)投資交易的情況，也就是動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型中所討論的第j階段的投資決策變量，記為Uj（j=1，…，m）；

M——投資開(kāi)始時(shí)，投資者向資產(chǎn)市場(chǎng)投入的自由資金數(shù)額；

σij——第j階段，第i種資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差；

covabj——第j階段，任意兩種資產(chǎn)之間的協(xié)方差；

R——投資者最高風(fēng)險(xiǎn)承受能力。

三、模型建立

接下來(lái)，根據(jù)假設(shè)和定義，我們可以得到如下關(guān)系：

，根據(jù)定義，可知，投資者要求在每一階段所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)都不能超過(guò)風(fēng)險(xiǎn)上限，即

（7）

以上就是根據(jù)假設(shè)和定義得到的資金和風(fēng)險(xiǎn)約束條件，接下來(lái)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)用階段末持有的資金總量與階段初持有的資金總量的差值來(lái)衡量投資收益，即目標(biāo)函數(shù)

通過(guò)求解上述動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，可得到投資者m階段投資的最有決策。

四、總結(jié)

通過(guò)求解上述模型，設(shè)解得U*=（U1*，…，Um*）為最優(yōu)解，U*是投資者進(jìn)行m個(gè)階段投資的整體最優(yōu)策略，即在全部投資階段結(jié)束之后，投資者可以在投資自有資金一定且不超過(guò)自身所能承受風(fēng)險(xiǎn)的情況下獲得醉倒的投資收益。其中，Uj*是在該整體最優(yōu)策略中第j個(gè)階段的投資決策，其中包含對(duì)每種資產(chǎn)的投資決策Uij，其數(shù)值的正負(fù)代表購(gòu)買還是出售該資產(chǎn)，數(shù)值的大小代表具體購(gòu)買或者出售資產(chǎn)的數(shù)量；而且，模型中的每一個(gè)可行解都代表實(shí)際投資中出售及購(gòu)買資產(chǎn)的可行方案。

同時(shí)，由動(dòng)態(tài)規(guī)劃的性質(zhì)可知，U*滿足最優(yōu)化原理：無(wú)論初始狀態(tài)及其初始決策如何，其以后諸決策對(duì)以第一個(gè)決策所形成的狀態(tài)作為初始狀態(tài)而言，都構(gòu)成最優(yōu)策略。因此，不論初始狀態(tài)如何，投資者都可以在現(xiàn)有階段做出最優(yōu)決策。此基于馬科維茨均值-方差模型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。

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作者簡(jiǎn)介：王素素（1993-），女，漢族，山東東營(yíng)人，就讀于山東科技大學(xué)，研究方向：保險(xiǎn)精算。endprint