基于X-SBFEM的非線性斷裂數(shù)值模型研究

傅 興 安, 李 建 波*, 林 皋

( 1.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部 工程抗震研究所， 遼寧 大連 116024 )

基于X-SBFEM的非線性斷裂數(shù)值模型研究

傅 興 安1,2, 李 建 波*1,2, 林 皋1,2

( 1.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部 工程抗震研究所， 遼寧 大連 116024 )

從非線性斷裂力學(xué)模型的角度，開(kāi)展準(zhǔn)脆性材料(混凝土)裂紋過(guò)程區(qū)的有效模擬，是當(dāng)前的研究熱點(diǎn)之一．?dāng)U展比例邊界有限元法(X-SBFEM)兼有擴(kuò)展有限元法(XFEM)和比例邊界有限元法(SBFEM)兩種方法的優(yōu)勢(shì)，利用SBFEM求解裂尖段應(yīng)力奇異性問(wèn)題，利用XFEM模擬非裂尖段位移場(chǎng)不連續(xù)．為在X-SBFEM中增加非線性斷裂模型，提出采用side-face力的形式，基于黏聚力模型，通過(guò)線性疊加迭代法來(lái)模擬準(zhǔn)脆性材料(混凝土)裂紋過(guò)程區(qū)．最后，以數(shù)值算例——單邊缺口的三點(diǎn)彎曲梁和四點(diǎn)剪切梁——模擬裂紋過(guò)程區(qū)能量耗散影響，驗(yàn)證了所提方法的精度與應(yīng)用效果．

擴(kuò)展比例邊界有限元法；應(yīng)力強(qiáng)度因子；黏聚力；side-face力；裂紋過(guò)程區(qū)

0 引 言

材料的斷裂行為以及斷裂過(guò)程的數(shù)值模擬是評(píng)估結(jié)構(gòu)承載能力的重要依據(jù)．近幾年從斷裂力學(xué)角度提出的擴(kuò)展比例邊界有限元法(X-SBFEM)是在擴(kuò)展有限元法[1-2](XFEM)和比例邊界有限元法[3-4](SBFEM)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的．X-SBFEM[5-6]兼有兩種方法的優(yōu)勢(shì)，在裂紋主體段用XFEM模擬，在裂尖段用SBFEM模擬，最終建立裂紋體的總體平衡方程并進(jìn)行求解．其中，XFEM的虛自由度與SBFEM的全實(shí)自由度的銜接是重點(diǎn)環(huán)節(jié)．X-SBFEM克服了擴(kuò)展有限元在域內(nèi)裂紋尖端近場(chǎng)需要增強(qiáng)函數(shù)來(lái)描述，且某些情況下，該增強(qiáng)函數(shù)將是非多項(xiàng)式或不連續(xù)的，造成在形成剛度矩陣時(shí)需要特殊處理．而進(jìn)一步考慮模型裂紋過(guò)程區(qū)(FPZ)的非線性影響，在X-SBFEM的基礎(chǔ)上，引入非線性斷裂力學(xué)，對(duì)于推進(jìn)模型的應(yīng)用具有重要工程意義．一般的，準(zhǔn)脆性材料裂紋的模擬主要有線彈性的方法(LEFM)和非線性的方法(NFM)，用LEFM還是NFM取決于FPZ相對(duì)于結(jié)構(gòu)的尺寸[7]．現(xiàn)在線彈性力學(xué)只能應(yīng)用在大尺度結(jié)構(gòu)上(如混凝土大壩等)的觀點(diǎn)已被廣泛接受．為得到更高的計(jì)算精度，對(duì)于正常尺寸的結(jié)構(gòu)(如混凝土梁)應(yīng)用基于FPZ的非線性斷裂力學(xué)模型是有必要的[7]．

Yang等[8]、Shi等[9]近年采用FEM-SBFEM耦合的方法或P-SBFEM模擬FPZ的非線性行為時(shí)，都通過(guò)插入黏聚界面單元(CIEs)來(lái)進(jìn)行分析．這種方法在模擬裂紋擴(kuò)展過(guò)程中，新生成裂紋邊界變得扭曲復(fù)雜,對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)模型應(yīng)用起來(lái)有一定的難度[7]．

本文提出在X-SBFEM基礎(chǔ)上采用線性漸進(jìn)疊加假設(shè)的迭代法求解裂紋面黏聚力來(lái)考慮裂紋過(guò)程區(qū)的非線性影響，并通過(guò)對(duì)裂紋擴(kuò)展問(wèn)題采用基于LEFM的最大環(huán)向拉應(yīng)力準(zhǔn)則來(lái)預(yù)測(cè)裂紋路徑，模擬裂紋尖端FPZ的能量耗散．

1 擴(kuò)展比例邊界有限元法(X-SBFEM)基本理論

X-SBFEM的主要工作是通過(guò)建立裂尖超單元利用SBFEM半解析的性質(zhì)來(lái)模擬裂尖近場(chǎng)的非連續(xù)行為，而在裂紋非裂尖段則采用XFEM來(lái)描述，關(guān)鍵是單元接觸界面處的數(shù)值處理．圖1是模型域內(nèi)拓?fù)潢P(guān)系的示意圖[6]．

圖1 X-SBFEM含裂紋模型域內(nèi)拓?fù)潢P(guān)系

1.1 擴(kuò)展有限元法(XFEM)原理

基于單元分解思想，裂紋的主體段用擴(kuò)展有限元法進(jìn)行模擬，其位移場(chǎng)的一般形式為[10]

(1)

式中：Nfem、Nc分別為普通有限元、因被內(nèi)部裂紋貫穿而增強(qiáng)的節(jié)點(diǎn)．N表示形函數(shù)．qI為普通自由度，而aJ為與Q所關(guān)聯(lián)的廣義自由度(如圖1中方形節(jié)點(diǎn)所示)，Q(x)為Heaviside階躍函數(shù)．?dāng)U展有限元平衡方程為

(2)

1.2 比例邊界有限元法(SBFEM)原理

如圖2所示，考慮裂尖SBFEM超單元內(nèi)裂紋面有side-face力．首先在不考慮體力的情況下，SBFEM的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)為[3]

(3)

(4)

式中：N(η)為邊界的形函數(shù)，φi和λi分別為特征值及位移模態(tài)，ci表示積分常數(shù)，D為彈性模量矩陣，L為線性算子矩陣，B1(η)和B2(η)決定于SBFEM超單元的幾何特性．根據(jù)虛功原理可推得：

(5)

(6)

式中：P為超單元邊界等效節(jié)點(diǎn)力，Φ為由位移模態(tài)為列所組成的矩陣，uh為邊界節(jié)點(diǎn)位移，E0、E1和E2分別為位移控制方程的系數(shù)陣．于是應(yīng)力強(qiáng)度因子的公式可表達(dá)為[6,12]

(7)

式中：KⅠ、KⅡ?yàn)閮尚蛻?yīng)力強(qiáng)度因子，L0為裂尖到沿裂紋面延長(zhǎng)線與邊界相交點(diǎn)的距離．ψyy、ψxy為應(yīng)力模態(tài)．

圖2 SBFEM有限域的邊界離散及相似坐標(biāo)變換

Fig.2 Discretization on boundary with element and scaled transformation of coordinates of bounded media of SBFEM

1.3 X-SBFEM耦合模型邊界模式

圖3描述了一個(gè)典型的用XFEM和SBFEM模擬裂紋的方法．SBFEM超單元直接通過(guò)單元兩條邊界來(lái)描述裂尖裂紋面，XFEM則由階躍函數(shù)引入附加的自由度來(lái)描述裂紋非裂尖段非連續(xù)位移場(chǎng)[6]．為了保證兩種不同單元間的位移連續(xù)，則需引入特殊的矩陣T使SBFEM和XFEM銜接節(jié)點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)．在把SBFEM得到的未知節(jié)點(diǎn)位移(uE、uF、uA和uB)轉(zhuǎn)換成XFEM未知節(jié)點(diǎn)位移(q2、q3、a2和a3)的過(guò)程中可以根據(jù)之前的公式推導(dǎo)出一個(gè)轉(zhuǎn)換矩陣，如下式：

(8)

其中I為單位矩陣．為保證位移協(xié)調(diào)并且把單剛矩陣集入總體剛度陣，需把SBFEM超單元的位移向量和剛度矩陣重新排列，如下式：

(9)

其中usb為SBFEM單元在非共用邊界上的節(jié)點(diǎn)位移，uxf為XFEM單元在共用邊界上的節(jié)點(diǎn)位移．轉(zhuǎn)換矩陣T只與SBFEM域和XFEM域共用邊界上的裂紋開(kāi)口處的形函數(shù)有關(guān)．K表示剛度矩陣，其中下標(biāo)a表示SBFEM域和XFEM域單元之間共用節(jié)點(diǎn)自由度，下標(biāo)b表示非共用節(jié)點(diǎn)自由度．

圖3 擴(kuò)展有限元域與比例邊界有限元域的耦合

2 非線性斷裂力學(xué)模型

2.1 線性漸進(jìn)疊加假設(shè)

Hillerborg等[13]提出的P-a曲線(external load-crack mouth opening displacement curve)是由混凝土結(jié)構(gòu)的裂紋過(guò)程區(qū)(FPZ)的黏性行為引起的．為簡(jiǎn)化Xu等[14]求解黏性裂紋擴(kuò)展的方法，基于線性漸進(jìn)疊加假設(shè)[7]，把FPZ當(dāng)作線彈性裂紋進(jìn)行求解．

這種線性簡(jiǎn)化方法中假設(shè)塑性變形為0，忽略圖4(a)中abp曲線非線彈性部分的影響，即把圖4(a)簡(jiǎn)化成圖4(b)．由此，圖4(b)中B點(diǎn)是線彈性點(diǎn)．這樣線彈性斷裂力學(xué)將可以適用于虛擬的OB段加載的分析．由此，相同材料及幾何特性條件下，不同預(yù)設(shè)裂紋長(zhǎng)度的一系列構(gòu)件將會(huì)得到一系列類似的B點(diǎn)．此時(shí)，P-a曲線可以當(dāng)成這一系列B點(diǎn)的包絡(luò)線．

2.2 開(kāi)裂準(zhǔn)則

混凝土開(kāi)裂往往呈現(xiàn)復(fù)合斷裂形態(tài)，從數(shù)值角度，結(jié)構(gòu)所承受的總荷載如圖5(c)所示，除承受外荷載外，在裂紋過(guò)程區(qū)內(nèi)，如裂紋面之間相對(duì)的位移，包括裂紋面的張裂位移(COD)和滑裂位移(CSD)，沒(méi)有超過(guò)圖6所示的限值wc和sc時(shí)，則還承受虛擬裂紋面內(nèi)的黏聚力．但裂紋面相對(duì)位移超過(guò)限值的部分令黏聚力為0．對(duì)于有黏聚力的情況，以Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子為例，應(yīng)力強(qiáng)度因子由兩部分組成[14]：

(a) 真實(shí)卸載/重加載軌跡

(b) 虛擬卸載/重加載軌跡

圖4 線性漸進(jìn)疊加假設(shè)

(a) 只有外力作用

(b) 只有黏聚力作用

(c) 外力與裂紋面黏聚力疊加作用

圖5 疊加法計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ,Ⅱ

Fig.5 Superposition method for calculating stress intensity factorKⅠ,Ⅱ

(10)

2.3 FPZ軟化曲線

裂紋過(guò)程區(qū)內(nèi)的正黏聚力σ(x)決定于圖6(a)σ-w雙線性的軟化曲線或圖6(b)σ-w單線性的軟化曲線．切分量τ(x)由圖6(c)τ-s曲線決定．圖6(a)(b)曲線以下的面積為Ⅰ型斷裂能GfI．圖6(c)曲線間的面積為Ⅱ型斷裂能GfⅡ的2倍[8]．假設(shè)圖6中曲線關(guān)系都為不可逆的卸載路徑，即當(dāng)裂紋面閉合時(shí)，一種彈性的卸載將隨著w或s的減小而沿著圖中的割線發(fā)生．實(shí)心箭頭表示加載，空心箭頭表示卸載．

(a) σ-w雙線性關(guān)系

(b)σ-w單線性關(guān)系

(c)τ-s關(guān)系

圖6 裂紋相對(duì)位移與黏聚力的關(guān)系

Fig.6 Relations between relative displacements of crack and cohesive tractions

2.4 以迭代形式模擬黏聚力模型

本文工作的關(guān)鍵是根據(jù)裂紋面的相對(duì)位移采用線性疊加的迭代法求解裂紋面黏聚力．

步驟1假設(shè)結(jié)構(gòu)只受外力F作用，這樣可以根據(jù)X-SBFEM基于線彈性假定求出超單元裂紋面相對(duì)位移Δui，再根據(jù)圖6即可得出相應(yīng)黏聚力ti．

步驟2如圖5，把外荷載F和步驟1中得到的黏聚力ti一起作用在結(jié)構(gòu)上．其中黏聚力以side-face力形式施加在裂紋面上．

side-face力分布荷載[5]對(duì)應(yīng)的虛功項(xiàng)為

(11)

易得SBFEM非齊次控制方程：

(12)

假定荷載及位移模式能由冪級(jí)數(shù)表達(dá)，即

(13)

(14)

將式(14)代入式(12)和式(13)可得

(15)

(16)

因此，邊界節(jié)點(diǎn)完整位移和等效節(jié)點(diǎn)力分別為

(17)

(18)

其中Φ和Q分別為式(6)解出的位移模態(tài)矩陣和力的模態(tài)矩陣．綜合式(17)和式(18)可得

(19)

故由side-face力形式加載的黏聚力產(chǎn)生的SBFEM等效邊界節(jié)點(diǎn)力為

(20)

(21)

則可得到SBFEM超單元的位移場(chǎng)為

(22)

式中：φt為SBFEM解出的應(yīng)力模態(tài)．由式(22)求解出相對(duì)位移Δui+1．

步驟3重復(fù)步驟1、2直至ti與Δui+1的關(guān)系能很好地符合圖6中的關(guān)系．

3 算例與分析

3.1 單邊缺口三點(diǎn)彎曲梁

Hillerborg等曾通過(guò)試驗(yàn)研究單邊缺口三點(diǎn)彎曲梁模型[13]，梁的材料和幾何尺寸數(shù)據(jù)等如圖7所示．抗拉強(qiáng)度f(wàn)t=3.33 MPa，Ⅰ型斷裂能GfⅠ=137 N/m．本算例基于LEFM最大環(huán)向拉應(yīng)力準(zhǔn)則來(lái)預(yù)測(cè)裂紋擴(kuò)展路徑．單線性軟化曲線(圖6(b)) 被用來(lái)做分析．由Ⅰ型斷裂能GfⅠ所得出的單線性軟化曲線限值為wc=0.082 3 mm．計(jì)算了在20×200網(wǎng)格密度條件下3種裂紋擴(kuò)展步長(zhǎng)10、20和30 mm的結(jié)果，并與基于線彈性方法[6]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比．

圖7 單邊缺口三點(diǎn)彎曲梁

圖8是考慮FPZ非線性的3種不同裂紋擴(kuò)展步長(zhǎng)時(shí)的荷載-加載點(diǎn)位移曲線．由圖中可以看出，陳白斌等[6](基于X-SBFEM) 和Yang等[8](基于SBFEM)基于LEFM結(jié)果數(shù)據(jù)與Hillerborg等的試驗(yàn)數(shù)據(jù)[13]有很大的差別，尤其是他們的荷載峰值都比試驗(yàn)的峰值高出較多．這是因?yàn)榛诰€彈性斷裂力學(xué)方法無(wú)法模擬FPZ的能量耗散．而從圖中可以看出本文方法計(jì)算得到的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果[13]是較為符合的，說(shuō)明本文中所使用的基于X-SBFEM 通過(guò)線性疊加的迭代法求解黏聚力的方法能很好地模擬FPZ的能量耗散．而且從圖中可以看出3種裂紋擴(kuò)展步長(zhǎng)的結(jié)果都很符合試驗(yàn)曲線，這說(shuō)明不同裂縫擴(kuò)展步長(zhǎng)對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大．

圖8 基于非線性斷裂力學(xué)不同裂紋擴(kuò)展步長(zhǎng)時(shí)三點(diǎn)彎曲梁的荷載-加載點(diǎn)位移曲線

Fig.8 NFM-based load-LPD curves for three-point bending beam with different crack increment lengths

3.2 單邊缺口四點(diǎn)剪切梁

Arrea和Ingraffea曾試驗(yàn)和分析了單邊缺口四點(diǎn)剪切梁模型[15]．其幾何尺寸及材料參數(shù)如圖9所示．假設(shè)為平面應(yīng)力狀態(tài)．抗拉強(qiáng)度f(wàn)t=3.00 MPa，Ⅰ型斷裂能GfⅠ=100 N/m，Ⅱ型斷裂能GfⅡ=10 N/m．裂紋路徑預(yù)測(cè)基于LEFM最大環(huán)向拉應(yīng)力準(zhǔn)則．單線性的軟化曲線(圖6(b))和τ-s曲線(圖6(c))被用來(lái)做分析．由Ⅰ型斷裂能GfⅠ=100 N/m計(jì)算得到的COD限值wc=0.067 mm，由Ⅱ型斷裂能GfⅡ求得的CSD限值sc=0.02 mm．計(jì)算了在20×200網(wǎng)格密度條件下3種裂紋擴(kuò)展步長(zhǎng)20、30和40 mm的結(jié)果，并與基于線彈性方法[6]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比．

圖9 單邊缺口四點(diǎn)剪切梁

圖10和圖11分別展示了基于本文方法計(jì)算得到的不同裂紋擴(kuò)展步長(zhǎng)下荷載與裂紋口滑移位移的關(guān)系曲線、荷載與其加載點(diǎn)位移關(guān)系的曲線．其中，由圖10可以看出，本文計(jì)算結(jié)果與Arrea和Ingraffea試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)[15]及Yang等[8](基于NFM)的數(shù)值解擬合較好；從圖11可以看出，本文計(jì)算結(jié)果與Yang等[8](基于NFM)的數(shù)值解較為接近，峰值都明顯低于陳白斌等[6](基于X-SBFEM、LEFM)所得的數(shù)值解結(jié)果，說(shuō)明本文方法較好地基于X-SBFEM算法模擬了裂紋尖端存在FPZ能量耗散的影響．且由圖看出3種裂紋擴(kuò)展步長(zhǎng)的結(jié)果接近，即裂紋擴(kuò)展步長(zhǎng)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響不是很大，從而驗(yàn)證了X-SBFEM算法對(duì)于復(fù)合型裂紋擴(kuò)展問(wèn)題的適用性．此外，圖11可看成本文方法較好地表現(xiàn)出荷載-加載點(diǎn)位移曲線snap-back的現(xiàn)象．圖12所示為當(dāng)a=20 mm時(shí)F=36.7 kN作用下的裂紋軌跡及正黏聚力沿裂紋面分布圖．

圖10 基于非線性斷裂力學(xué)不同裂紋擴(kuò)展步長(zhǎng)下的荷載-滑移位移曲線

Fig.10 NFM-based load-CMSD curves with the change of crack increment length

圖11 基于非線性斷裂力學(xué)不同裂紋擴(kuò)展步長(zhǎng)時(shí)四點(diǎn)剪切梁的荷載-加載點(diǎn)位移曲線

(a) 變形幾何圖

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出基于擴(kuò)展比例邊界有限元法(X-SBFEM)采用線性疊加迭代法模擬準(zhǔn)脆性材料(混凝土)裂紋過(guò)程區(qū)的非線性行為，并將其結(jié)果與基于X-SBFEM采用LEFM方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，可以看出其模擬裂紋尖端FPZ的能量耗散的有效性．本文發(fā)展了X-SBFEM在非線性斷裂過(guò)程模擬中的應(yīng)用．此外，采用該方法不需要插入CIEs和引入影子域(shadow domain)就可以得到較高精度的結(jié)果．

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StudyofnumericalmodelofnonlinearfracturebasedonX-SBFEM

FU Xing′an1,2, LI Jianbo*1,2, LIN Gao1,2

( 1.State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China； 2.Institute of Earthquake Engineering, Faculty of Infrastructure Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China )

The effective simulation of the fracture process zone (FPZ) of quasi-brittle material (concrete) by using nonlinear fracture mechanics model is one of the hot spots in the current research. Extended scaled boundary finite element method (X-SBFEM) has advantages of both extended finite element method (XFEM) and scaled boundary finite element method (SBFEM), making full use of XFEM to describe discontinuous displacement field in non-crack-tip area and SBFEM to precisely solve stress singular problems in the crack-tip area. For the application of nonlinear fracture models in X-SBFEM, based on the model of the cohesive traction, the FPZ of the quasi-brittle material (concrete) is simulated using the iterative method of linear superposition by the form of side-face traction. Finally, numerical examples of the three-point single notched bending beam and the four-point single notched shear beam are used to simulate the energy dissipation effect in the FPZ, which verify the accuracy and application effect of the proposed method.

extended scaled boundary finite element method (X-SBFEM); stress intensity factor; cohesive traction; side-face traction; fracture process zone (FPZ)

2016-09-18；

2017-05-26．

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃資助項(xiàng)目(2016YFB0201000)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51779222)；國(guó)家自然科學(xué)基金委創(chuàng)新研究群體項(xiàng)目(51421064)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(DUT17LK16).

傅興安(1991-)，男，碩士生，E-mail:fuxingan@mail.dlut.edu.cn；李建波*(1977-)，男，博士，副教授，E-mail:jianboli@dlut.edu.cn;林 皋(1929-)，男，教授，中國(guó)科學(xué)院院士，E-mail:gaolin@dlut.edu.cn.

1000-8608(2017)05-0494-07

TV313

A

10.7511/dllgxb201705009