三角形的性質(zhì)在圓錐曲線中的應(yīng)用

魏怡，王運(yùn)行

甘肅省蘭州新區(qū)舟曲中學(xué)

三角形的性質(zhì)在圓錐曲線中的應(yīng)用

魏怡，王運(yùn)行

甘肅省蘭州新區(qū)舟曲中學(xué)

圓錐曲線一直是高考的熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是高中教學(xué)中的難點(diǎn)。圓錐曲線的難點(diǎn)就在于它可以與很多幾何圖形產(chǎn)生聯(lián)系，比如三角形，這也是高頻考點(diǎn)。如果學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)中熟練運(yùn)用這些技巧，一定會(huì)起到事半功倍的作用。

圓錐曲線；三角形

在全國二卷的選擇填空中，圓錐曲線經(jīng)常出現(xiàn)在最后兩道題，以壓軸題的形式出現(xiàn)。在選擇題中對(duì)圓錐曲線進(jìn)行考察時(shí)，對(duì)技巧這一部分考查的比較多，筆者就涉及圓錐曲線的選擇題進(jìn)行了大量的比對(duì)，發(fā)現(xiàn)這一部分知識(shí)總是會(huì)與三角形的性質(zhì)交融在一起進(jìn)行考查。如果教師能夠在教學(xué)的過程中將這些技巧進(jìn)行總結(jié)，將會(huì)提升學(xué)生在這類題目上的正確率。下面筆者總結(jié)了幾例三角形的性質(zhì)與圓錐曲線交融的?？碱}型。

一、三角函數(shù)在圓錐曲線中的應(yīng)用

-----→

例---1→：若以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=4x上的兩點(diǎn)A，B滿足則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為？

分析：過A，B分別做準(zhǔn)線l的垂線并與準(zhǔn)線分別相交于A’，B’點(diǎn)，過B點(diǎn)作AA’的垂線，垂足為C。

假設(shè)BF=m,則AF=2m,利用拋物線的定義可知，BB’=C A‘=m,可得AC=m,BC=2 2m

總結(jié)：焦點(diǎn)弦問題是拋物線中的常考題型，如果能---夠--→利用---已→知條件構(gòu)造三角形，將會(huì)簡化這類問題。該題中已知AF=2FB，利用準(zhǔn)線構(gòu)造直角三角形，∠BAC的正切就是焦點(diǎn)弦所在直線的斜率，避免了聯(lián)立方程組所-----產(chǎn)→生的---復(fù)→雜運(yùn)算。因此，在拋物線中遇到焦點(diǎn)弦問題，并且已知AF=mFB，都可用上述幾何方法求得焦點(diǎn)弦所在直線的斜率。

例2：已知F1,F2為雙曲線點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，直線PF1與圓x2+y2=a2相切，且

分析：如上圖所示，設(shè)直線PF1與圓的切點(diǎn)為點(diǎn)A，過F2做PF1的垂線，垂足為B，由題意可知，ΔOAF1與ΔF2BF1均為直角三角形。

總結(jié)：離心率問題是圓錐曲線中的又一種?？碱}型，只要通過題目條件構(gòu)造出有關(guān)a、b、c三者之間的關(guān)系式就可求得離心率。在該題中利用直角三角形的余弦公式作為橋梁，構(gòu)造出等式，求出離心率，將復(fù)雜問題簡單化。

二、“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”在圓錐曲線中的應(yīng)用

由此可得|PA|+|PF|=|PA|+（4-|PF'|）=4+（|PA|-|PF'|）

當(dāng)P、A、F'三點(diǎn)共線，且P在AF'延長線上時(shí)，|PA|-|PF'|取得最大值。

總結(jié)：此類問題屬于橢圓定義的?？碱}，考點(diǎn)是橢圓的第一定義和第二定義，無外乎這兩種考法，通過轉(zhuǎn)化的方式都可以將問題轉(zhuǎn)化為了一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)和到一定直線（定點(diǎn)）的距離最值問題，再利用三角形“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”的性質(zhì)將問題解決。

三、“相似比”在圓錐曲線中的應(yīng)用

例4：設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C,其中點(diǎn)A，B在拋物線上（點(diǎn)A在第一象限），點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上，則ΔBCF與ΔABF的面積之比是分析：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F'，連接PF'、AF'.

總結(jié)：該題中對(duì)拋物線的定義與三角形的相似原理進(jìn)行了考查，利用相似比將問題轉(zhuǎn)化為定義問題，將復(fù)雜問題簡單化。

三角形是我們初中學(xué)習(xí)過的平面圖形，是我們較為熟悉的一部分知識(shí)，進(jìn)入高中后我們又學(xué)習(xí)了正余弦定理，在初中的基礎(chǔ)上對(duì)三角形的性質(zhì)進(jìn)行了拓展。而圓錐曲線卻是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，但是學(xué)生如果能將三角形與圓錐曲線聯(lián)系起來，利用三角行的知識(shí)解決圓錐曲線的問題，能夠達(dá)到化繁為簡的效果，充分體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)中“復(fù)雜問題簡單化”的思想。當(dāng)然在圓錐曲線的題目中，有很多的題目是非常復(fù)雜的，需要我們利用其它幾何圖形所具有的性質(zhì)，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，善于發(fā)現(xiàn)。