一類(α,m)-凸函數(shù)的H adamard型不等式

李玉嬌,杜廷松,2

(1.三峽大學(xué)理學(xué)院,湖北宜昌443002; 2.武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢430081)

一類(α,m)-凸函數(shù)的H adamard型不等式

李玉嬌1,杜廷松1,2

(1.三峽大學(xué)理學(xué)院,湖北宜昌443002; 2.武漢科技大學(xué)冶金工業(yè)過程系統(tǒng)科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢430081)

首先,提出了一個新的積分恒等式;然后,在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了一類二階導(dǎo)函數(shù)的絕對值的q次冪是(α,m)-凸函數(shù)的新型Hadamard型不等式;最后,給出了一些具體的應(yīng)用例子.

凸函數(shù);(α,m)-凸函數(shù);Hadamard型不等式

設(shè)f:I?R→R是一個凸函數(shù),a,b∈I且a

眾所周知,這是經(jīng)典的Hermite-Hadamard型凸函數(shù)不等式.已有很多學(xué)者對各種廣義凸函數(shù)不等式進(jìn)行了改進(jìn)和推廣[1-5].1978年,Breckner[6]介紹了s-凸函數(shù);1984年,Toader[7]定義了一類m-凸函數(shù);1993年,Mihe?san[8]介紹了(α,m)-凸函數(shù).

隨著不等式研究的發(fā)展,Hadamard型不等式在凸分析領(lǐng)域中的研究有了顯著的進(jìn)展.已有眾多學(xué)者研究了諸如凸函數(shù)[9]、s-凸函數(shù)[10]、m-凸函數(shù)[11]以及(α,m)-凸函數(shù)[12-14]的Hadamard型不等式.此外,還有一些學(xué)者針對(α,m)-對數(shù)凸函數(shù)[15]、(α,m)-幾何凸函數(shù)[16]和(α,m)-預(yù)不變凸函數(shù)[17]的Hadamard型不等式進(jìn)行了研究.

本工作基于文獻(xiàn)[10,18-19]中研究s-凸函數(shù)的Hadamard型不等式的構(gòu)造性思想,并受文獻(xiàn)[11,14]中涉及的m-凸性和(α,m)-凸性的Hadamard型不等式研究問題的啟發(fā),研究了一類(α,m)-凸函數(shù)的Hadamard型不等式,并提出了一個新的不同于文獻(xiàn)[10]的積分恒等式.需要強(qiáng)調(diào)的是,盡管本工作與文獻(xiàn)[10]均是對f(x)二階導(dǎo)函數(shù)Hadamard型不等式的研究,但是本工作研究的是(α,m)-凸函數(shù),而文獻(xiàn)[10]研究的是s-凸函數(shù).另外,本工作與文獻(xiàn)[14]均是研究(α,m)-凸函數(shù)的Hadamard型不等式,但文獻(xiàn)[14]考慮的是Hadamard型不等式(1)的右邊部分,而本工作是對式(1)左邊部分的上界進(jìn)行研究.也就是說,本工作獲得的主要結(jié)果是文獻(xiàn)[10-11,14]中已有結(jié)果的延伸和推廣.

1 預(yù)備知識

在本工作中,考慮實(shí)區(qū)間I?R=(-∞,∞),I?表示區(qū)間I的內(nèi)部.

定義1[8]函數(shù)f:[0,b]→R被稱為(α,m)-凸函數(shù),如果對任意的x,y∈[0,b],t∈[0,1]且(α,m)∈[0,1]2,有下面的式子成立:

易知當(dāng)(α,m)∈{(0,0),(α,0),(1,0),(1,m),(1,1),(α,1)}時,這類(α,m)-凸函數(shù)分別是增函數(shù)、α-starshaped函數(shù)、starshaped函數(shù)、m-凸函數(shù)、凸函數(shù)和α-凸函數(shù).

定理1[10]設(shè)函數(shù)f:I?[0,∞)→R是I?上的一個可微映射,f′′∈L[a,b],其中a,b∈I且a

推論1[10]在定理1中,當(dāng)s=1時,有下面的不等式成立:

2 一個新引理

引理1設(shè)f:I?R0→R是定義在I?上的一個二次可微映射,a,b∈I?.對于一些固定的m∈(0,1],mb>a,如果f′′∈L[a,b],則有下面的等式成立:

利用分部積分,得到

故式(5)成立.證畢.

3 新的H ermite-H adamard型不等式

定理2設(shè)f:I?R0→R是定義在I?上的一個可微映射,a,b∈I?,f′′∈L[a,b].對于一些固定的(α,m)∈(0,1]2,mb>a且q≥1,如果|f′′|q是定義在[a,b]上的(α,m)-凸函數(shù),則

假設(shè)q>1,依據(jù)引理1以及Power-Mean積分不等式,有

和

成立.

由于|f′′|q是[a,b]上的(α,m)-凸函數(shù),對任意的t∈[0,1],有

由式(7)～(10),可得

故不等式(6)成立.證畢.

推論2在定理2中,當(dāng)α=m=q=1,則

這里需要強(qiáng)調(diào)的是,不等式(11)與文獻(xiàn)[10]中定理2之推論1(見式(4))相比是一個改進(jìn)結(jié)果.

定理3設(shè)f:I?R0→R是定義在I?上的一個可微映射,a,b∈I?,f′′∈L[a,b].對固定的(α,m)∈(0,1]2,mb>a,q>1,如果|f′′|q是定義在[a,b]上的(α,m)-凸函數(shù),則

證明依據(jù)引理1以及H¨older’s不等式,有

故不等式(12)成立.證畢.

推論3在定理3中,當(dāng)α=m=1,則

4 應(yīng)用

考慮如下平均值.

(1)算術(shù)平均值.

(2)對數(shù)平均值.

(3)廣義對數(shù)平均值.

根據(jù)上述結(jié)果,給出一些具體應(yīng)用例子.

命題1設(shè)n∈(-∞,0)∪[1,∞){-1},[a,b]?[0,b?]且b?>0,則

證明將f(x)=xn應(yīng)用到推論2,即獲得不等式(14).

命題2設(shè)n∈(-∞,0)∪[1,∞){-1},[a,b]?[0,b?],b?>0且q>1,則

證明將f(x)=xn應(yīng)用到推論3,即獲得不等式(15).

[1]春玲,雙葉.協(xié)同s-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型積分不等式[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報,2013, 28(6):627-630.

[2]何曉紅,許謙.AH凸函數(shù)的幾個積分不等式及其應(yīng)用[J].上海大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,20(3): 368-373.

[3]D RAGOMIR SS.Hermite-Hadamard inequalities for operator convex functions[J].Applied Mathematics and Computation,2011,218(3):766-772.

[4]C HEN F X,F ENG Y M.New inequalities of Hermite-Hadamard type for functions whose fi rst derivatives absolute values are s-convex[J].Italian Journal of Pure and Applied Mathematics, 2014,32:213-222.

[5]L I S J,Z HAO L Z,L ENG G S.Inequalities for Tφ-convex functions[J].Journal of Shanghai University(English Edition),2007,11(2):142-147.

[6]B RECKNER W W.Stetigkeitsaussagen f¨ur eine k lasse verallgemeinerter konvexer funktionen in topologischen R¨aumen[J].Publications of the Institute for Mathematical,1978,23:13-20.

[7]T OADER G.Some generalizations of the convexity[C]//Proceedings of the Colloquiumon Approximation and Optimization.1984:329-338.

[8]MIHES?AN V G.Ageneralization of the convexity,seminar on functionar on functional equations[M].Romania:Approximation and Convexity,Cluj-Napoca,1993.

[9]C HUN L,Q I F.Integral inequalities of Hermite-Hadamard type for functionswhose third derivatives are convex[J].Journal of Inequalities and Applications,2013,DOI:10.1186/1029-242X-2013-451.

[10]¨O ZDEMIR ME,Y?LD?Z C?,AKDEMIR AO,et al.On some inequalities for s-convex functions and applications[J].Journal of Inequalities and Applications,2013,DOI:10.1186/1029-242X-2013-333.

[11]¨O ZDEMIR ME,AVCI M,S ET E.On some inequalities of Hermite-Hadamard type via m-convexity[J].Applied Mathematics Letters,2010,23(9):1065-1070.

[12]I S?CAN I.Anew generalization of some integral inequalities for(α,m)-convex functions[J].Mathematical Sciences,2013,7(1):1-8.

[13]W ANG S H,X I B Y,Q I F.On Hermite-Hadamard type inequalities for(α,m)-convex functions[J].International Journal of Open Prob lems in Computer Science and Mathematics, 2012,5(4):47-56.

[14]¨O ZDEMIR ME,AVCI M,K AVURMACI H.Hermite-Hadamard type inequalities via(α,m)-convexity[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,61(9):2614-2620.

[15]D ENG J H,W ANG J R.Fractional Hermite-Hadamard inequalities for(α,m)-logarithmically convex functions[J].Journal of Inequalities and Applications,2013,DOI:10.1186/1029-242X-2013-364.

[16]X I B Y,B AI R F,Q I F.Hermite-Hadamard type inequalities for the m-and(α,m)-geometrically convex functions[J].Aequationes Mathematicae,2012,84(3):261-269.

[17]L ATIFAMA,S HOAIBB M.Hermite-Hadamard type integral inequalities for diff erentiab le mpreinvex and(α,m)-preinvex functions[J].Journal of the Egyptian Mathematical Society,2015, 23(2):236-241.

[18]李玉嬌,杜廷松.推廣的(s,m)-GA-凸函數(shù)的Simpson型不等式[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2015, 31(5):487-497.

[19]Y ANG Z Q,L I Y J,D U T S.Ageneralization of Simpson type inequality via diff erentiable functions using(s,m)-convex functions[J].Italian Journal of Pure and Applied Mathematics, 2015,35:327-338.

H adamard-type inequalities for a class of (α,m)-convex functions

LIYujiao1,DU Tingsong1,2
(1.College of Science,China Three Gorges University,Yichang 443002,Hubei,China; 2.Hubei Province Key Laboratory of SystemScience in Metallu rgical Process,W uhan University of Science and Technology,W uhan 430081,China)

This paper proposes an integral identity.Based on the identity,some results of Hadamard inequalities are established for functions with the q-th power of the second derivative’s absolute value(α,m)-convex.Some specifi c applied examples are presented.

convex function;(α,m)-convex function;Hadamard-type inequality

O 178;O 174.6

A

1007-2861(2017)04-0583-07

DO I:10.12066/j.issn.1007-2861.1716

2015-06-01

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374028);湖北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013CFA131);三峽大學(xué)培優(yōu)基金資助項(xiàng)目(2015PY 075)

杜廷松(1969—),男,教授,研究方向?yàn)橥狗治黾白顑?yōu)化理論與算法.E-mail:tingsongdu@ctgu.edu.cn