自步學習在確定含水層參數(shù)中的應用

楊陳東,常安定,張 明

(1.西安航空學院理學院,陜西 西安 710077; 2.長安大學理學院,陜西 西安 710061)

自步學習在確定含水層參數(shù)中的應用

楊陳東1,常安定2,張 明1

(1.西安航空學院理學院,陜西 西安 710077; 2.長安大學理學院,陜西 西安 710061)

通過分析受到誤差影響的抽水試驗數(shù)據(jù)進行含水層估計,為含水層參數(shù)估計提供方法支持。以機器學習領域的自步學習方法為基礎,構造了基于差分進化算法優(yōu)化的自步學習方法,并將其應用到含水層參數(shù)確定中；在不同誤差水平下,與其他方法進行對比試驗。結果表明,在不同誤差水平下,估計參數(shù)值與傳統(tǒng)估計值之間以及仿真數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)之間均保持較小差異；基于抽水試驗數(shù)據(jù)估計含水層參數(shù)的自步學習方法估計結果有效可靠,算法對誤差的穩(wěn)定容錯性強。

水資源;含水層參數(shù);抽水試驗;自步學習;差分進化算法

在地下水資源評價與開發(fā)過程中,導水系數(shù)和儲水系數(shù)等含水層參數(shù)是非常重要的基本數(shù)據(jù),分析非穩(wěn)定流抽水試驗數(shù)據(jù)是確定含水層參數(shù)的重要途徑之一。針對Sushil方法及直線圖解法等[1-2]傳統(tǒng)方法的局限性,將智能優(yōu)化算法應用在確定含水層參數(shù)中,表現(xiàn)出一定的優(yōu)越性[3-4],由于此類方法目標函數(shù)均采用最小二乘形式,這里將其統(tǒng)稱為最小二乘方法。最小二乘方法均沒有考慮實測數(shù)據(jù)的誤差,事實上,誤差是普遍存在的,數(shù)據(jù)在獲取和傳輸過程中都存在誤差污染的可能。當數(shù)據(jù)存在較大誤差時,以最小二乘為目標函數(shù)的優(yōu)化問題將嚴重偏離真實結果。因此,如何從含有比較嚴重的誤差和奇異值的抽水試驗數(shù)據(jù)中,確定更加有效、可靠的含水層參數(shù),具有十分重要的意義。

受人類學習原則啟發(fā),2009年,Bengio等[5]提出一種全新的機器學習框架,其核心思想是逐漸將樣本序列加入學習,簡單樣本先學習,較難的樣本后學習。這種先易后難的學習策略對應于人類(及其他動物)在不同成長階段學習不同難度知識的規(guī)律。2010年,Kumar等[6]提出了自步學習(self-paced learning,SPL),并將其應用到潛變量模型中。之后SPL框架被廣泛應用到各個領域[7-10]。2015年,Zhao等[11]將選擇樣本中的二值權值推廣到實值權重,使得學習方式更加靈活。本文構造基于差分進化(differential evolution, DE)算法優(yōu)化的自步學習模型,并將其應用于含水層參數(shù)確定中，可為含水層估計提供方法支持。

1 自步學習

(1)

(2)

式中引入?yún)?shù)γ>0來控制用于選取樣本的權重的強度。

利用泰斯公式及其近似表達式[4],可計算在含水層中距抽水井距離為r處的水位降深sei。在應用自步學習時,要求待估計的參數(shù)值能使下式表示的目標函數(shù)達到最?。?/p>

(3)

式中：soi為抽水開始后第i個時刻觀察到的實際水位降深;θ為待估參數(shù)。

2 DE算法優(yōu)化的自步學習模型

2.1 基本思想

DE算法是一種全局并行優(yōu)化算法,具有記憶個體最優(yōu)解和種群內(nèi)部信息共享的特點[13],這種算法主要包括交叉、變異和選擇等操作算子。其基本思想是運用當前種群個體的差分變異和交叉重組得到的中間種群,然后基于貪婪選擇策略對父代種群和中間種群中的個體進行選擇操作得到具有更佳適應度的子代個體。

將式(3)作為目標函數(shù),對待估參數(shù)向量θ=(T,μ)、樣本的權重(v1,v2,…,vn)進行編碼得到(θ,v1,v2,…,vn)作為決策變量,利用DE算法進行優(yōu)化。同時,年齡系數(shù)隨著迭代次數(shù)增加而不斷增大。這使得在迭代前期,算法結果不精確的情況下,算法選擇簡單樣本進行訓練;在迭代后期,算法將考慮更多更為復雜的樣本,從而趨向成熟。

2.2 算法步驟及流程

步驟1:初始化種群規(guī)模N、交叉因子C、輸入求解參數(shù)的上界和下界、 最大迭代次數(shù)kmax以及滿足精度要求的迭代次數(shù)k。

步驟2:利用式(3)計算各個體的適應度fi及其對應位置gi,從其中確定全局最優(yōu)適應度f及其對應位置g。

步驟4:由DE算法得到變異個體mi,k+1,試驗個體ui,k+1 和下一代個體xi,k+1。計算并比較ui,k+1 與xi,k+1 相應的適應度值,將新的最優(yōu)位置賦給xi,k+1;并且在新的歷史最優(yōu)位置中確定全局最優(yōu)位置g。

步驟5:如果滿足終止條件,則停止迭代;否則k=k+1,轉向步驟3。

步驟6:輸出全局最優(yōu)適應度f及其相應位置g。

算法流程圖如圖1所示。

圖1 DE算法優(yōu)化的自步學習方法流程

3 數(shù)值試驗

3.1 試驗一

為驗證本文方法的有效性,采用文獻[2]的數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)進行驗證試驗，試驗中抽水流量為0.073 m3/s,持續(xù)時間為800 min。含水層類型、含水層介質、抽水試驗的基本情況等水文地質條件詳見文獻[2]。表1為距抽水井30.48 m處觀察孔中的水位降深觀測數(shù)據(jù)。由于測量誤差不可避免,給此原始數(shù)據(jù)添加較小的測量誤差?？紤]到實際情況,前50%數(shù)據(jù)添加服從N(0,1)分布的高斯誤差,后50%添加服從N(0,10)分布的高斯誤差。利用MATLAB語言編程進行數(shù)值試驗。將采用DE算法的最小二乘法和本文方法進行對比,兩種方法均采用相同參數(shù)(N=80,kmax=3 000,CR=0.8)進行求解,運行20次,所得參數(shù)T和μ均取20次結果的平均值。所得參數(shù)值代入式(3)中,模擬水位降深結果如圖2所示。引入殘差平方和RS對模擬結果進行評價:

(4)

式中:sRi為抽水開始后第i個時刻觀察到的真實水位降深;sei為利用泰斯公式及其近似表達式[4]計算得到的第i個時刻水位降深。RS越小,說明模擬數(shù)據(jù)越接近原始數(shù)據(jù)。

表1 水位降深觀測數(shù)據(jù)

圖2 試驗結果對比(小誤差)

在實測數(shù)據(jù)包含較小誤差的情況下的試驗結果對比如圖2所示。由圖2可知,本文方法與最小二乘法在相同的條件下,模擬數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)非常接近。將不同方法的計算結果列于表2?？梢钥闯?兩種方法所求參數(shù)值、殘差平方和均相差不多。這表明,在誤差較小的情況下,本文方法與最小二乘法均可以有效求解含水層參數(shù)。

3.2 試驗二

考慮實際數(shù)據(jù)包含較大誤差的情況,將原始數(shù)據(jù)前50%添加服從N(0,10)分布的高斯誤差,后50%添加服從N(0,100)分布的高斯誤差,然后隨機選取約40%(10個)的數(shù)據(jù)作為缺失數(shù)據(jù)。在與試驗一相同試驗條件下,分別以最小二乘法和本文方法進行對比試驗,所得模擬水位降深結果如圖3所示。

表2 不同方法計算結果

圖3 試驗結果對比(大誤差)

由圖3可以看出,當數(shù)據(jù)包含較大誤差時,最小二乘法法計算結果嚴重偏離實際情況,而本文方法仍然可以較好地逼近原始數(shù)據(jù)。由表2可知,在參數(shù)值和殘差平方和方面,本文方法均得到較好的結果。這表明,本文方法在數(shù)據(jù)誤差較大時,可以有效地減小誤差對計算結果的影響,保持較好的穩(wěn)定性。

3.3 試驗三

考慮到實際數(shù)據(jù)可能包含隨機混合誤差,將原始數(shù)據(jù)隨機選取35%添加服從N(0,1)分布的高斯誤差,隨機選取35%添加服從N(0,10)分布的高斯誤差,隨機選取30%添加服從N(0,100)分布的高斯誤差,然后隨機選取約40%(10個)的數(shù)據(jù)作為缺失數(shù)據(jù)。在與試驗一相同試驗條件下,分別以最小二乘法和本文方法進行對比試驗,所得模擬水位降深結果如圖4所示。

圖4 試驗結果對比(混合誤差)

由圖4可以看出,當測量數(shù)據(jù)包含隨機混合誤差時,最小二乘法方法計算結果和本文方法均有偏差,但本文方法更加逼近原始數(shù)據(jù)。表2中,本文方法所求參數(shù)值和殘差平方和均接近傳統(tǒng)方法并且優(yōu)于最小二乘法。這表明,本文方法在實測數(shù)據(jù)包含混合隨機誤差時,可以有效地減少誤差對計算結果的影響,保持較好的穩(wěn)定性。

4 結 論

針對以往確定含水層參數(shù)的研究中沒有考慮誤差影響的情況,本文嘗試將機器學習中自步學習方法引入到確定含水層參數(shù)中,構造了基于差分進化算法優(yōu)化的自步學習方法,數(shù)值試驗結果表明:①在誤差較小的情況下,自步學習方法的精度與最小二乘方法相當?shù)慕Y果;②在誤差較大的情況下,自步學習方法可以有效減少誤差的影響,使得所求參數(shù)更加接近真實情況;③在實測數(shù)據(jù)包含隨機混合誤差情況下,此方法同樣可以達到滿意結果。因此,自步學習方法可以有效確定含水層參數(shù),并保持良好穩(wěn)定性。

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Applicationofself-pacedlearningtoestimationofaquiferparameters

YANG Chendong1, CHANG Anding2, ZHANG Ming1

(1.SchoolofScience,Xi’anAeronauticalUniversity,Xi’an710077,China; 2.SchoolofScience,Chang’anUniversity,Xi’an710061,China)

Through analysis of the pumping test data, which were affected by errors, an aquifer was investigated in order to present a new method for estimating the aquifer parameters. Based on the self-paced learning method in the machine learning field, a self-paced learning method based on the differential evolution algorithm was established and applied to the determination of aquifer parameters. This method was compared with other methods under errors of different levels. The numerical experimental results show that under errors of different levels, the differences between the values estimated with this method and traditional methods are small, and there are minor differences between the simulation data and original data. The results of the self-paced learning method, which was used for estimation of aquifer parameters based on pumping test data, are effective and reliable. The established algorithm is highly stable and it is seldom affected by data errors.

water resources; aquifer parameters; pumping test; self-paced learning; differential evolution algorithm

陜西省教育廳科研計劃(16JK1394)

楊陳東(1990—),男,助教,碩士,主要從事最優(yōu)化理論與方法研究。E-mail:yangchendong525@163.com

10.3880/j.issn.1006-7647.2017.05.013

TV211.1+2

：A

：1006-7647(2017)05-0074-04

2016-08-12 編輯：鄭孝宇)