基于三次B′ezier基函數(shù)插值的GM(1,1)模型背景值優(yōu)化研究

董克,呂文元

(1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海200093)

(2.安徽廣播電視大學(xué)公共基礎(chǔ)部,安徽合肥230022)

基于三次B′ezier基函數(shù)插值的GM(1,1)模型背景值優(yōu)化研究

董克1,2,呂文元1

(1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院,上海200093)

(2.安徽廣播電視大學(xué)公共基礎(chǔ)部,安徽合肥230022)

本文研究了傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型存在模型精度不高的問題.利用帶形狀參數(shù)的三次B′ezier基函數(shù),給出插值函數(shù)的表達(dá)式,并結(jié)合復(fù)化梯形公式,給定誤差限的方法,獲得了比傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型更高精度的結(jié)果.推廣了傳統(tǒng)灰色GM(1,1)預(yù)測模型的結(jié)果.

GM(1,1)模型;復(fù)化梯形公式;背景值;插值函數(shù)

1 引言

自上個(gè)世紀(jì)80年代鄧聚龍教授提出灰色系統(tǒng)理論[1]以來,灰色系統(tǒng)理論在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展[2-6].GM(1,1)模型是灰色系統(tǒng)理論的核心內(nèi)容之一,它主要針對“小樣本、貧信息”的不確定系統(tǒng).但是,傳統(tǒng)的GM(1,1)模型具有預(yù)測精度不高的問題,如何提高GM(1,1)模型的預(yù)測精度,已經(jīng)成為廣大研究人員最關(guān)注的問題.而影響GM(1,1)模型預(yù)測精度的主要因素有初始條件的選取、背景值的重構(gòu)和參數(shù)估計(jì)方法的改進(jìn),其中背景值的重構(gòu),具有決定性的作用.傳統(tǒng)方法實(shí)質(zhì)上是使用緊鄰均值構(gòu)造背景值,誤差通常較大,從而導(dǎo)致模型預(yù)測的偏差也較大,預(yù)測精度自然達(dá)不到要求.近年來不少學(xué)者提出了提高灰色GM(1,1)模型預(yù)測精度的方法,文獻(xiàn)[7-9]從背景值的幾何意義出發(fā),進(jìn)行了系列研究,提出了若干種背景值的構(gòu)造方式;文獻(xiàn)[10]利用拉格朗日插值公式對背景值進(jìn)行重構(gòu),對傳統(tǒng)模型的背景值進(jìn)行了改進(jìn),并利用最小二乘法對初始值進(jìn)行了優(yōu)化;李俊蜂等[11]提出一種基于數(shù)值分析中的插值法和Newton-Cotes公式的背景值構(gòu)造方法.但是,眾所周知,當(dāng)n較大時(shí),高次插值會(huì)出現(xiàn)Runge現(xiàn)象,造成的誤差可能會(huì)很大,故不能通過提高階的方法來提高求積精度;文獻(xiàn)[12]提出一種利用梯形面積和矩形面積相結(jié)合的正負(fù)誤差補(bǔ)償方法進(jìn)行背景值的重構(gòu)方法,取得一定的效果,但是n1值的選取很難把握;文獻(xiàn)[13]提出用Simpson公式構(gòu)造模型背景值的方法,擬合精度在一定程度上得到了改進(jìn);王曉佳等[14]提出利用分段插值函數(shù)與Newton插值函數(shù)相結(jié)合的組合插值方法,但分段過程比較繁瑣;蔣詩泉等[15]提出基于復(fù)化梯形公式的背景值優(yōu)化方法,但是僅選取區(qū)間等分?jǐn)?shù)n=4的情形,而對于n值取更大的情況未予以考慮.

文中構(gòu)造出帶形狀參數(shù)的三次B′ezier基函數(shù),然后給出插值函數(shù),提出了基于復(fù)化梯形公式的背景值構(gòu)造方法,給定誤差限,結(jié)合提出的優(yōu)化算法,計(jì)算出對應(yīng)的背景值,提高了GM(1,1)模型的預(yù)測精度.以工程實(shí)際應(yīng)用中無鎳鑄造裝甲鋼的斷裂韌度值為例,實(shí)例研究表明,提出的方法不僅提高了GM(1,1)模型的預(yù)測精度,并且擴(kuò)展了GM(1,1)模型的應(yīng)用范圍.

2 模型建立

給定x(0)(t)={x(0)(1),x(0)(2),···,x(0)(n),x(0)(t)＞0,i=1,2,···,n}為原始序列,可以建立基本的GM(1,1)模型,將序列x(0)(t)進(jìn)行一次累加(1-AGO),得到累加序列x(1)(t)為x(1)(t)={x(1)(1),x(1)(2),···,x(1)(n),···,x(1)(n)},其中

序列的白化微分方程為

灰色GM(1,1)模型的基本形式如下

利用最小二乘法求解參數(shù)a和b,

x(1)(k)的GM(1,1)模型為

由于預(yù)測方程是對累加數(shù)據(jù)序列x(1)(t)的預(yù)測,進(jìn)行累減還原,則可以得到原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測公式

從公式(2.6)可以看出,模型的擬合預(yù)測精度取決于參數(shù)a,b及初始值x(0)(1)的值.而參數(shù)a,b的值又取決于原始數(shù)據(jù)序列和背景值z(1)(k).因此,背景值構(gòu)造公式的合理性直接影響模型預(yù)測精度.傳統(tǒng)的背景值計(jì)算實(shí)質(zhì)上是梯形的面積,而實(shí)際值正如圖1所示,應(yīng)該等于曲線x(1)(t)在區(qū)間[k-1,k]上與t軸圍成的面積,這也是傳統(tǒng)背景值計(jì)算公式的誤差產(chǎn)生的根源所在.將積分區(qū)間分成若干小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間上用低階求積公式,然后將這些小區(qū)間上的積分值相加作為函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的積分的近似值,這就是復(fù)化求積的思想.下述內(nèi)容將給出利用三次B′ezier基函數(shù)構(gòu)造插值函數(shù),結(jié)合復(fù)化梯形公式的GM(1,1)模型的背景值優(yōu)化方法及算法.

圖1：傳統(tǒng)GM(1,1)模型誤差來源圖

3 灰色GM(1,1)模型背景值的優(yōu)化

3.1 插值基函數(shù)的構(gòu)造

1962年,法國雷諾(Renault)汽車公司的工程師B′ezier提出了一種新的方法用來構(gòu)造著名的B′ezier曲線[16],設(shè)計(jì)人員只需要移動(dòng)控制多邊形的控制節(jié)點(diǎn)就可以方便地修改曲線的形狀,而且形狀的變化完全在預(yù)料之中,但是它無法插值控制節(jié)點(diǎn),并且需要移動(dòng)控制節(jié)點(diǎn)的位置來改變曲線的形狀.下述將構(gòu)造出一種帶形狀參數(shù)λ的三次B′ezier基函數(shù),不用調(diào)節(jié)控制多邊形的節(jié)點(diǎn)位置,只須通過調(diào)節(jié)形狀參數(shù)λ的值,即可調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)曲線的形狀,而且當(dāng)參數(shù)值λ=2時(shí),曲線插值中間控制節(jié)點(diǎn).文中將利用參數(shù)λ=2時(shí),三次B′ezier基函數(shù)的插值性質(zhì),來構(gòu)造插值函數(shù),從而計(jì)算GM(1,1)模型的背景值.

定義3.1[1]對t∈[0,1],λ∈R,則稱關(guān)于t的多項(xiàng)式

為帶形狀參數(shù)λ的三次B′ezier基函數(shù).當(dāng)λ=0時(shí),基函數(shù)退化為二次B′ezier基函數(shù).因此它是二次B′ezier基函數(shù)的擴(kuò)展.當(dāng)λ=2時(shí),公式(3.1)將簡化為

若任意給定三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),插值函數(shù)為

當(dāng)t=0.5時(shí),基函數(shù)b1(t),b3(t)的值均為0,而b2(t)的值為1,則公式(3.3)為f(0.5)= x(1)(2),說明函數(shù)f(t)是插值于中間控制節(jié)點(diǎn)的.圖2為給定三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)(-2,0),(0,1), (2,0),所得到的插值函數(shù)圖形,從圖中可以看出,插值函數(shù)是插值中間控制點(diǎn)的.

圖2：利用插值基函數(shù)構(gòu)造的插值函數(shù)圖形

定義3.2設(shè)在區(qū)間[a,b]上,給定三個(gè)插值節(jié)點(diǎn)(k,x(1)(k)),(k+1,x(1)(k+1)),(k+ 2,x(1)(k+2)),再利用公式(3.2)所定義的基函數(shù),則可得區(qū)間[a,b]上的插值函數(shù)

3.2 復(fù)化梯形公式

定義3.3[17]將區(qū)間[a,b]劃分為n等份,分點(diǎn)xk=a+kh,h==0,1,···,n,在每個(gè)子區(qū)間,(k=0,1,···,n-1)上采用梯形公式

定理3.2對復(fù)化梯形公式Tn,若將區(qū)間[a,b]進(jìn)行2n等分,則得到T2n：

由定義3.1和定理3.2可得

在使用復(fù)化梯形公式進(jìn)行求積計(jì)算時(shí),必須先給出步長h或者等分?jǐn)?shù)n的值,步長h取得太大,則精度無法滿足要求;步長取得太小,則導(dǎo)致計(jì)算量過大.在使用復(fù)化梯形進(jìn)行實(shí)際計(jì)算時(shí),給定誤差值ε,用|T2n-Tn|＜ε成立與否,作為計(jì)算的終止條件.如果滿足給定的誤差限,則取T2n作為所求的值;否則,再將子區(qū)間對分,進(jìn)行計(jì)算,直到滿足給定的誤差要求為止.下一部分將給出利用復(fù)化梯形公式(3.6)進(jìn)行背景值優(yōu)化的算法.

3.3 算法步驟

步驟1輸入原始序列x0(i),x0(i)＞0,i=1,2,···,n,ε以及端點(diǎn)a,b的值,置

步驟2計(jì)算利用公式(3.4),計(jì)算插值函數(shù),并計(jì)算

步驟3計(jì)算

其他,轉(zhuǎn)步驟5;

步驟5轉(zhuǎn)向T;結(jié)束.

3.4 算法時(shí)間復(fù)雜度分析

傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型的背景值z(1)(k)的計(jì)算是與規(guī)模問題n無關(guān)的常數(shù),所以時(shí)間復(fù)雜度為O(1).但對于使用復(fù)化梯形公式進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算的背景值來說,時(shí)間復(fù)雜度與區(qū)間等分?jǐn)?shù)n相關(guān),時(shí)間復(fù)雜度為O(n).

4 算例分析

以無鎳鑄造裝甲鋼鋼的斷裂韌度值為例[18],分別計(jì)算傳統(tǒng)灰色GM(1,1)模型和所提出的優(yōu)化GM(1,1)模型在回火溫度為600°C時(shí)試樣斷裂韌度的預(yù)測值,以溫度為200°C, 300°C,400°C,500°C時(shí)的斷裂韌度值數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù),對溫度為600°C時(shí)的韌度值進(jìn)行預(yù)測,并以600°C時(shí)的實(shí)際數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù).

給定誤差限ε的值,即可以利用提出的算法,進(jìn)行背景值計(jì)算.此處取ε=0.01,選取插值節(jié)點(diǎn)(1,x(1)(1)),(2,x(1)(2)),(3,x(1)(3))為例,利用上述給出的插值函數(shù)公式及背景值優(yōu)化算法,得到z1(2)=149.226.同理可以得到z1(3)=220.098,z1(4)=323.240.

將利用復(fù)化梯形公式優(yōu)化算法計(jì)算得到的背景值,代入優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型,即可得到預(yù)測值,并計(jì)算出它的相對誤差值.可以看出,與傳統(tǒng)的GM(1,1)模型比較,優(yōu)化后的灰色GM(1,1)模型的平均相對誤差為4.5457%,比傳統(tǒng)的GM(1,1)模型降低了0.6235%,有明顯改進(jìn).預(yù)測誤差也由16.8118%降低至13.1823%,精度提高了3.6295%.可見,文中所提出的方法與傳統(tǒng)模型方法相比,具有一定的優(yōu)越性.結(jié)果見表1.

表1：斷裂韌度值預(yù)測比較表

5 結(jié)語

文中給出了基于帶三次B′ezier插值基函數(shù)插值,結(jié)合復(fù)化梯形公式的背景值的優(yōu)化方法,給定誤差限,利用給出的算法,即可計(jì)算出灰色GM(1,1)模型的背景值.與傳統(tǒng)的背景值構(gòu)造方法采用Lagrange[10]、Newton[11]插值或者組合插值[13]相比,文中構(gòu)造出一組插值基函數(shù),方法簡便,只須將累加序列節(jié)點(diǎn),代入即可求出插值函數(shù),易于操作.實(shí)例研究表明,文中提出的優(yōu)化模型及算法的有效性,比傳統(tǒng)的灰色GM(1,1)模型誤差有明顯的改進(jìn),擴(kuò)大了GM(1,1)模型的適應(yīng)性,優(yōu)化后的GM(1,1)模型更合理,有助于提高GM(1,1)模型的預(yù)測精度,擴(kuò)展了GM(1,1)模型的應(yīng)用范圍.

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OPTIMIZATION OF BACKGROUND VALUE IN GM(1,1)BASED ON CUBIC B′EZIER BASIS FUNCTION INTERPOLATION

DONG Ke1,2,LV Wen-yuan1

(1.Business School,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)
(2.Department of Foundation,Anhui Radio&TV University,Hefei 230022,China)

In this paper,we study the accuracy of GM(1,1)forecasting model.In combination with compound trapezoid formula,cubic B′ezier basis function method with shape parameter interpolation function expression is presented to solve the problem of low precision of traditional GM(1,1).Given error limits,the model which given in this paper can obtain more precision than traditional GM(1,1)model,which enlarge the application scope of GM(1,1)model.

GM(1,1)model;compound trapezoid formula;the background value;interpolation function

O175.2

A

0255-7797(2017)05-1022-07

2015-07-01接收日期：2015-12-23

上海市浦江人才計(jì)劃項(xiàng)目(14PJC077);安徽廣播電視大學(xué)青年教師基金項(xiàng)目(qn15-19).

董克(1982-),男,安徽蚌埠,講師,主要研究方向：灰色理論及其應(yīng)用.

2010 MR Subject Classif i cation：35F10