線性空間中代數(shù)廣義逆的最簡表示

郭志榮,黃強(qiáng)聯(lián),張莉

(1.揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇揚州225002)

(2.揚州職業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇揚州225009)

線性空間中代數(shù)廣義逆的最簡表示

郭志榮1,2,黃強(qiáng)聯(lián)1,張莉1

(1.揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇揚州225002)

(2.揚州職業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇揚州225009)

本文主要在一般線性空間框架中從純代數(shù)的角度研究代數(shù)廣義逆的可加性與表示問題.首先在線性空間中利用空間代數(shù)直和分解給出I+AT+可逆的充要條件,進(jìn)而T+=T+(I+AT+)-1,給出了具有最簡表示的一系列充要條件.其次討論了在Banach空間廣義逆和Hilbert空間Moore-Penrose逆擾動問題研究中的應(yīng)用.本文的主要結(jié)果推廣和改進(jìn)了相關(guān)文獻(xiàn)中的一些近期成果.

代數(shù)廣義逆;廣義逆;Moore-Penrose逆;最簡表示;線性空間

1 引言及預(yù)備知識

設(shè)X,Y為線性空間,L(X,Y)表示從X到Y(jié)中的線性算子的全體.對T∈L(X,Y), D(T),N(T)和R(T)分別表示算子T的定義域,核空間和值域.I表示恒等算子.設(shè)M,N為X的線性子空間,M˙+N表示M與N的代數(shù)直和.若X,Y為Banach空間,M和N為X的閉子空間,M⊕N表示M與N的拓?fù)渲焙?B(X,Y),C(X,Y)分別表示從X到Y(jié)中的有界線性算子組成的Banach空間和稠定閉算子全體構(gòu)成的齊次集.

定義1.1[1,2]設(shè)X,Y為線性空間,T∈L(X,Y).若S∈L(Y,X)滿足R(T)?D(S), R(ST)?D(T),且TST=T,則稱S為T的代數(shù)內(nèi)逆;若S滿足R(S)?D(T),R(TS)?D(S),且STS=S,則稱S為T的代數(shù)外逆.若S既是T的代數(shù)內(nèi)逆,又是T的代數(shù)外逆,則稱S為T的代數(shù)廣義逆,記作T+.

代數(shù)廣義逆與空間的代數(shù)直和分解是一一對應(yīng)的[3],其不涉及空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).在Banach空間或Hilbert空間中,對應(yīng)于不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),可以引入相應(yīng)的廣義逆.

定義1.2[3]設(shè)X,Y為Banach空間,T∈B(X,Y).若S∈B(Y,X)滿足TST=T,則稱S為T的內(nèi)逆;若S滿足STS=S,則稱S為T的外逆.若S既是T的內(nèi)逆,又是T的外逆,則稱S為T的廣義逆,仍記作T+.

Banach空間的廣義逆與空間的拓?fù)渲焙头纸鈱?yīng),即

定理1.3[4]T+∈B(Y,X)為算子T∈B(X,Y)的廣義逆當(dāng)且僅當(dāng)X,Y分別具有拓?fù)渲焙头纸?X=N(T)⊕R(T+),Y=R(T)⊕N(T+).

定義1.4[3]若X,Y為Hilbert空間,定理1.3中的分解為正交分解,則稱相應(yīng)的廣義逆為T的Moore-Penrose逆,記為T?.

定義1.5[5]設(shè)X,Y為Banach空間,T∈C(X,Y).若算子S∈C(Y,X)滿足R(S)?D(T),R(T)?D(S),且在D(T)上TST=T;在D(S)上STS=S,則稱S為T的(無界)廣義逆,仍記作T+.

定理1.6[3]設(shè)X,Y為Banach空c間,T∈C(X,Y),N(T)和R(T)的閉包R(T)分別在X,Y中存在拓?fù)溲a(bǔ)N(T)c和R(T),即

記P,Q分別為X沿N(T)c到N(T)上和Y沿R(T)c到R(T)上的投影算子,則存在唯一的算子S∈C(Y,X)滿足：1)在D(T)上TST=T;2)在D(S)上ScTS=S;3)在D(T)上ST=I-P和4)在D(S)上TS=Q,其中D(S)=R(T)+R(T).進(jìn)一步,S有界當(dāng)且僅當(dāng)R(T)在Y中閉.

根據(jù)定理1.6,在空間具有拓?fù)渲焙头纸?1.1)的條件下,T存在無界廣義逆.又若X,Y為Hilbert空間,(1.1)中的分解為正交分解,則稱相應(yīng)的廣義逆為T的Moore-Penrose逆,記為T?.

廣義逆擾動理論是廣義逆理論研究的核心內(nèi)容之一,在近代分析、計算、優(yōu)化與控制論等學(xué)科中有著廣泛而重要的應(yīng)用[3,4,6-8].廣義逆擾動理論主要研究算子經(jīng)過微小擾動后是否仍然存在廣義逆,若不存在,什么條件可以保證存在;若存在,能否給出其表達(dá)式或廣義逆是否(在某種意義下)收斂于原廣義逆.國內(nèi)外很多學(xué)者研究了Banach空間中的各種線性算子廣義逆和Hilbert空間中Moore-Penrose逆的表示與擾動問題[3,6,7,9-18],如

定理1.7[7]設(shè)X,Y為Banach空間,T∈B(X,Y)存在廣義逆T+∈B(Y,X), δT∈B(X,Y)滿足kδTT+k＜1.則下列命題等價

無論是在Banach空間或Hilbert空間,討論有界線性算子或稠定閉算子的廣義逆或Moore-Penrose逆的擾動表示問題,本質(zhì)上都是討論線性空間中代數(shù)廣義逆的可加性問題.因而,在一般線性空間框架中從純代數(shù)的角度討論代數(shù)廣義逆更具有一般性.在1974年, Nashed和Votruba就在其系列論文中從純代數(shù)的角度研究了線性空間中代數(shù)內(nèi)逆、代數(shù)外逆、代數(shù)廣義逆及其性質(zhì)[1,2,3].代數(shù)廣義逆與Banach空間中的廣義逆不同,最本質(zhì)的區(qū)別在于代數(shù)廣義逆不涉及空間的拓?fù)?由于子空間在線性空間中總是代數(shù)可補(bǔ),因而代數(shù)廣義逆總是存在的[3].一個自然的問題是什么條件能保證代數(shù)廣義逆唯一?能否給出相應(yīng)廣義逆的具體表達(dá)式?本文擬從純代數(shù)角度給出代數(shù)廣義逆的最簡形式的表示,主要結(jié)果推廣和改進(jìn)了文[6,7,9,12-16,18]中的相關(guān)結(jié)果.

2 主要結(jié)果

引理2.1設(shè)T∈L(X,Y),S∈L(Y,X)滿足R(S)?D(T),R(T)?D(S).若S為T的代數(shù)外逆,則下列命題等價

(1)S為T的代數(shù)廣義逆;

(2)R(T)=R(TS);

(3)D(S)=R(T)˙+N(S);

(4)R(T)∩N(S)={0};

(5)N(ST)=N(T);

(6)D(T)=R(S)˙+N(T)或D(T)=R(S)+N(T).

證由于S為T的代數(shù)外逆,則TS,ST均為冪等算子,且R(S)=R(ST),N(TS)= N(S),D(T)=R(ST)˙+N(ST)=R(S)˙+N(ST),D(S)=R(TS)˙+N(TS)=R(TS)˙+N(S).

(1)?(2)若S為T的代數(shù)廣義逆,則TST=T,從而R(T)=R(TST)?R(TS)?R(T).

(2)?(3)若R(T)=R(TS),則D(S)=R(TS)˙+N(S)=R(T)˙+N(S).

(3)?(4)顯然.

(4)?(1)對任意x∈D(T),S(TSTx-Tx)=STSTx-STx=STx-STx=0,從而TSTx-Tx∈N(S).又TSTx-Tx∈R(T),根據(jù)(4),則TSTx=Tx.故TST=T.因此, S為T的代數(shù)廣義逆.

(1)?(5)若S為T的代數(shù)廣義逆,則TST=T.如果STx=0,那么Tx=TSTx=0,即N(ST)?N(T),又顯然有N(T)?N(ST)成立.故N(ST)=N(T).

(5)?(6)若N(ST)=N(T),則D(T)=R(S)˙+N(ST)=R(S)˙+N(T).

(6)?(1)對任意x∈D(T),由(6),存在y∈D(S)和x1∈N(T),使得x=Sy+x1.從而TSTx=TST(Sy+x1)=TSTSy=TSy=T(Sy+x1)=Tx.故TST=T,從而S為T的代數(shù)廣義逆.證畢.

引理2.2設(shè)T+∈L(Y,X)為T∈L(X,Y)的代數(shù)廣義逆,A∈L(X,Y)滿足D(T)?D(A),R(T+)?D(A),R(A)?D(T+).若T=T+A,則下列命題等價

(1)I+AT+：D(T+)→D(T+)為雙射;

(2)I+T+A：D(T)→D(T)為雙射;

(3)N(T)∩R(T+)={0}和D(T+)=TR(T+)+˙N(T+).

證(1)?(2)先證I+T+A：D(T)→D(T)為單射.若x∈D(T),(I+T+A)x=0,則A(I+T+A)x=0,即(I+AT+)Ax=0.根據(jù)(1),Ax=0,從而x=-T+Ax=0.次證I+T+A：D(T)→D(T)為滿射,也就是需證對任意y∈D(T),存在x∈D(T)使得(I+T+A)x=y.事實上,由于Ay∈D(T+),由(1),存在h∈D(T+),滿足(I+AT+)h=Ay.令x=y-T+h,則x∈D(T),且

(2)?(3)若I+T+A：D(T)→D(T)為雙射.設(shè)y∈N(T)∩R(T+),則存在x∈D(T+),滿足y=T+x,TT+x=Ty=0.因此

故T+x=0,即y=T+x=0.從而N(T)∩R(T+)={0}.下面證TR(T+)∩N(T+)={0}.設(shè)v∈TR(T+)∩N(T+),則存在u∈D(T+),滿足v=TT+u.因此

那么T+u=0,v=TT+u=0.

最后證D(T+)=TR(T+)+N(T+).一方面,易見TR(T+)+N(T+)?D(T+).另一方面,任取x∈D(T+),T+x∈D(T).根據(jù)(2),存在y∈D(T),使得T+x=(I+T+A)y,即T+x=(I-T+T)y+T+Ty.從而

因此y=T+Ty∈R(T+),T+x=T+Ty,進(jìn)而x-Ty∈N(T+).則

故D(T+)=TR(T+)+N(T+).

(3)?(1)首先證明I+AT+：D(T+)→D(T+)為單射.事實上,若x∈D(T+)滿足(I+AT+)x=0,則TT+x=TT+x-x∈TR(T+)∩N(T+)={0},從而x=TT+x,TT+x= 0.故T+x∈N(T)∩R(T+),根據(jù)(3),T+x=0.因此x=TT+x=0.為完成證明,只需證I+AT+：D(T+)→D(T+)為滿射.對任何y∈D(T+),由于D(T+)=TR(T+)+N(T+), y能表示為y=TT+y1+y2,其中y1∈D(T+),y2∈N(T+).因此

故I+AT+：D(T+)→D(T+)為雙射.證畢.

下面的定理說明如果T的代數(shù)廣義逆T+保持T的代數(shù)廣義逆T+的定義域,值域和核空間,那么T+是唯一確定的,并且具有最簡表示形式.

定理2.3設(shè)T+∈L(Y,X)為T∈L(X,Y)的代數(shù)廣義逆,A∈L(X,Y)滿足D(T)?D(A),R(T+)?D(A),R(A)?D(T+).若T=T+A存在代數(shù)廣義逆T+∈L(Y,X),滿足

證由于T+為T的代數(shù)廣義逆,則N(T)∩R(T+)={0}和D(T+)=R(T T+)+˙N(TT+) =TR(T+)+˙N(T+).因此根據(jù)假設(shè),得到N(T)∩R(T+)={0},D(T+)=TR(T+)+˙N(T+).由引理2.2,I+AT+：D(T+)→D(T+)和I+T+A：D(T)→D(T)均為雙射.進(jìn)一步可驗證T+(I+AT+)-1和(I+T+A)-1T+均是可定義的,且

又由N(T+)=N(T+)和T+(I-TT+)=0及R(T+)=R(T+)和(I-T+T)T+=0可知, T+=T+TT+和T+TT+=T+.故T++T+TT+-T+TT+=T+,從而T+(I+AT+)=T+.因此,T+=T+(I+AT+)-1.證畢.

下面給出T+具有最簡表示形式T+=T+(I+AT+)-1的充要條件.

定理2.4設(shè)T+∈L(Y,X)為T∈L(X,Y)的代數(shù)廣義逆,A∈L(X,Y)滿足D(T)?D(A),R(T+)?D(A),R(A)?D(T+).若I+AT+：D(T+)→D(T+)為雙射,則下列命題等價

證易見B=T+(I+AT+)-1=(I+T+A)-1T+是可定義的,且R(B)=R(T+), N(B)=N(T+).因為

所以B為T的代數(shù)外逆.注意到R(TB)=R(TT+)和N(BT)=N(T+T),根據(jù)引理2.1,我們知(1)～(6)兩兩等價.

(1)?(7)若B為T的廣義逆,則

(7)?(8)顯然,(I+T+A)N(T)=[I+T+(T-T)]N(T)=(I-T+T)N(T)?N(T).另一方面,由(7),對任何x∈N(T),有

故存在y∈R(T+),使得Ty=Tx.那么x-y∈N(T),且

因此N(T)?(I+T+A)N(T).

(8)?(4)任取y∈R(T)∩N(T+),存在x∈D(T),滿足y=Tx和T+Tx=0.因而

即(I+T+A)x∈N(T).根據(jù)(8),x∈N(T),故y=Tx=0.

(7)?(9)顯然.

(9)?(4)設(shè)y∈R(T)∩N(T+),存在x∈D(T)=D(T)滿足y=Tx和T+Tx=0.因為D(T)=N(T)+˙R(T+),x=x1+x2,這里x1∈N(T),x2∈R(T+).則

因而(I+AT+)-1Tx2=Tx2∈R(T).由(9),(I+AT+)-1Tx1∈R(T).注意到y(tǒng)∈N(T+),我們得到(I+AT+)y=y=Tx,進(jìn)而

故y∈R(T)∩N(T+).根據(jù)R(T)∩N(T+)={0}知,y=0.證畢.

定理2.5設(shè)T∈L(X,Y)為有限秩算子,T+∈L(Y,X)為T的代數(shù)廣義逆,A∈L(X,Y)滿足D(T)?D(A),R(T+)?D(A),R(A)?D(T+).若I+AT+：D(T+)→D(T+)為雙射,則B=T+(I+AT+)-1=(I+T+A)-1T+為T=T+A的代數(shù)廣義逆當(dāng)且僅當(dāng)

證必要性由定理2.4的(1)?(7)可得.下面證明充分性.根據(jù)(I+AT+)T= T+AT+T=TT+T,有T=(I+AT+)-1TT+T成立.如果Rank T=Rank T,那么dimR(T)=dimR(T)=dimR(TT+T).因此R(T)=R(TT+T)?R(TT+)?R(T).再根據(jù)定理2.4中的(1)?(2),B為T的代數(shù)廣義逆.證畢.

類似地,可以證明

定理2.6設(shè)T+∈L(Y,X)為T∈L(X,Y)的代數(shù)廣義逆,A∈L(X,Y)滿足D(T)?D(A),R(T+)?D(A),R(A)?D(T+).若dimN(T)＜+∞,I+AT+：D(T+)→D(T+)為雙射,則B=T+(I+AT+)-1=(I+T+A)-1T+為T=T+A的代數(shù)廣義逆,當(dāng)且僅當(dāng)

3 應(yīng)用

作為進(jìn)一步的應(yīng)用,本節(jié)討論Banach空間中廣義逆和Hilbert空間中Moore-Penrose逆的擾動表示.首先由定理2.4,可以得到

定理3.1設(shè)X,Y為Banach空間,T∈C(X,Y)存在廣義逆T+∈C(Y,X),δT∈B(X,Y)滿足R(δT)?D(T+).若kT+δTk＜1,則下列命題等價

證根據(jù)T∈C(X,Y)與δT∈B(X,Y),T=T+δT為稠定閉算子.又在假設(shè)＜1下,由著名的Banach引理,I+T+δT：X→X可逆,且(I+T+δT)-1為有界線性算子.由T+為稠定閉算子,容易證明B=(I+T+δT)-1T+也為稠定閉算子.根據(jù)定理2.4知,結(jié)論成立.證畢.

定理3.2設(shè)X,Y為Banach空間,T∈C(X,Y)存在有界廣義逆T+∈B(Y,X).若δT∈B(X,Y)滿足kδTT+k＜1,則下列命題等價

證在假設(shè)kδTT+k＜1下,I+δTT+：Y→Y可逆,且(I+δTT+)-1為有界線性算子.易見B=T+(I+δTT+)-1為有界線性算子.若B為T的廣義逆,則根據(jù)定理1.6和定理2.4,(2)～(9)均成立.反之,若(2)～(7)中之一成立,則(1)成立.若(9)成立,則(3)成立.若X=N(T)+R(T+)成立,則對任何x∈N(T),存在x1∈N(T),x2∈R(T+),使得x=x1+x2.從而x2=x-x1∈D(T),且x2-T+Tx2∈R(T+)∩N(T)={0},即x2=T+Tx2.因此

故(7)成立.證畢.

當(dāng)T∈B(X,Y),T+∈B(Y,X)時,R(T+)為閉集.由定理3.2,直接可以得到

定理3.3設(shè)X,Y為Banach空間,T∈B(X,Y)存在廣義逆T+∈B(Y,X).若δT∈B(X,Y)滿足kδTT+k＜1.則下列命題等價

注定理3.2和定理3.3推廣了文[6,7,13-16,18]中的相關(guān)結(jié)果.

定理3.4設(shè)X,Y為Hilbert空間,T∈C(X,Y)存在Moore-Penrose逆T?∈B(Y,X).若δT∈B(X,Y)滿足kδTT?k＜1,則B=T?(I+δTT?)-1=(I+T?δT)-1T?為T=T+δT的Moore-Penrose逆當(dāng)且僅當(dāng)R(T)=R(T),N(T)=N(T).

證若R(T)=R(T),N(T)=N(T)成立,則根據(jù)定理3.2,B為T的廣義逆.因此

根據(jù)Moore-Penrose逆的定義,X與Y分別具有正交分解

又R(T?)=R(B),N(T?)=N(B),則X=N(T)⊕⊥R(B),Y=R(T)⊕⊥N(B),即(3.1)式中的拓?fù)浞纸鉃檎环纸?因此B為T的Moore-Penrose逆.反之,若B為T的Moore-Penrose逆,則

從而N(T)=R(B)⊥,R(T)=N(B)⊥.注意到N(T)=R(T?)⊥,R(T)=N(T?)⊥,R(T?)= R(B)和N(T?)=N(B),我們得到R(T)=R(T)和N(T)=N(T).證畢.

注定理3.4推廣了文[9,14-16]中的相關(guān)結(jié)果.

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THE SIMPLEST EXPRESSION OF THE ALGEBRAIC GENERALIZED INVERSES IN LINEAR SPACES

GUO Zhi-rong1,2,HUANG Qiang-lian1,ZHANG Li1
(1.School of Mathematical Sciences,Yangzhou University,Yangzhou 225002 China)
(2.College of Mathematics,Yangzhou Vocational University,Yangzhou 225009 China)

In this paper,the authors study the additivity and expression of algebraic generalized inverses from the view of pure algebra in the framework of linear space.Utilizing the algebraic direct sum decomposition of linear space,we fi rst give the necessary and sufficient condition of the invertibility of I+AT+and T+=T+(I+AT+)-1.We also provide some necessary and sufficient conditions for T+to have the simplest expression.As applications,we discuss the perturbation problem of generalized inverse in Banach space and Moore-Penrose inverse in Hilbert space,which extend and improve many recent results in this topic.

algebraic generalized inverse;generalized inverse;Moore-Penrose inverse;the simplest expression;linear space

O177.2

A

0255-7797(2017)05-1013-09

2017-03-10接收日期：2017-06-02

國家自然科學(xué)基金資助(11771378;11271316);江蘇省自然科學(xué)基金資助(BK20141271);揚州大學(xué)中青年學(xué)術(shù)帶頭人基金資助(2016zqn03).

郭志榮(1970-),男,江蘇揚州,副教授,主要研究方向：泛函分析.

黃強(qiáng)聯(lián).

2010 MR Subject Classi fi cation：47L05;46A32