基于培養(yǎng)建模能力的力學(xué)競(jìng)賽資源庫(kù)建設(shè)

徐 粲， 胡一知， 鄧 瑋， 李 飛， 王勇潔， 巫緒濤

(合肥工業(yè)大學(xué)宣城校區(qū)建筑工程系，安徽宣城 242000)

基于培養(yǎng)建模能力的力學(xué)競(jìng)賽資源庫(kù)建設(shè)

徐 粲， 胡一知， 鄧 瑋， 李 飛， 王勇潔， 巫緒濤

(合肥工業(yè)大學(xué)宣城校區(qū)建筑工程系，安徽宣城 242000)

力學(xué)建模是聯(lián)結(jié)力學(xué)與工程應(yīng)用最為重要的紐帶，也是力學(xué)應(yīng)用通向工程技術(shù)進(jìn)步的一座橋梁。文章結(jié)合高校學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行力學(xué)競(jìng)賽資源庫(kù)建設(shè)。文中分別從知識(shí)點(diǎn)闡釋方式、知識(shí)點(diǎn)拓展、對(duì)數(shù)學(xué)能力的強(qiáng)化三方面概括闡述了資源庫(kù)由淺入深、循序漸進(jìn)，通過(guò)提煉問(wèn)題共性，由普遍至特殊拓展問(wèn)題，解決問(wèn)題的建立原則，以及資源庫(kù)為培養(yǎng)學(xué)生建模能力所采取的方法。

力學(xué)競(jìng)賽； 材料力學(xué)； 資源庫(kù)

多年來(lái)，隨著各高校對(duì)力學(xué)的重視程度不斷加深，力學(xué)教學(xué)取得了較豐富的成果。并且，伴隨其應(yīng)用的發(fā)展而不斷充實(shí)，經(jīng)過(guò)國(guó)家立項(xiàng)的面向21世紀(jì)系列課程改革，力學(xué)課程已經(jīng)取得了一系列成果[1]。其中，力學(xué)競(jìng)賽培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)精神、科學(xué)態(tài)度和科學(xué)方法，以及培養(yǎng)學(xué)生的意志品質(zhì)、思維品質(zhì)、實(shí)踐能力和自學(xué)能力。在競(jìng)賽輔導(dǎo)的同時(shí)也豐富了教師的專業(yè)知識(shí)，更重要的是增強(qiáng)了教師自身的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新實(shí)力，這將直接或間接地對(duì)創(chuàng)造型人才的培養(yǎng)產(chǎn)生積極的影響。但各高校對(duì)力學(xué)資源庫(kù)的建設(shè)工作往往散見(jiàn)于有關(guān)力學(xué)和工程應(yīng)用的文獻(xiàn)、力學(xué)競(jìng)賽的輔導(dǎo)教材中，集中思路、強(qiáng)調(diào)過(guò)程的資源庫(kù)尚不成熟。尤其是力學(xué)競(jìng)賽教學(xué)資源庫(kù)的建設(shè)和應(yīng)用還存在著很多問(wèn)題，由于力學(xué)競(jìng)賽的知識(shí)廣度和思維難度都遠(yuǎn)超本科階段學(xué)習(xí)，其資源庫(kù)的建設(shè)也涉及到方方面面的問(wèn)題。

多媒體技術(shù)的飛速發(fā)展,給現(xiàn)代教育帶來(lái)了生機(jī)與活力[2]。本文結(jié)合高校學(xué)生對(duì)材料力學(xué)[3]的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，開(kāi)展基于培養(yǎng)建模能力的力學(xué)競(jìng)賽資源庫(kù)建設(shè)，以提高學(xué)生力學(xué)建模能力。

現(xiàn)分點(diǎn)闡述幫助培養(yǎng)學(xué)生力學(xué)建模能力而采用的具體方式。

1 基礎(chǔ)知識(shí)闡釋方式

本資源庫(kù)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)方面的闡述不同于常規(guī)課堂學(xué)習(xí)的方式。后者常從基本假定出發(fā)，一步步推導(dǎo)，得出結(jié)論，結(jié)合具體實(shí)例強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的理解。而本資源庫(kù)基于學(xué)習(xí)對(duì)象主要為完成《材料力學(xué)》學(xué)習(xí)的學(xué)生，在介紹典型例題思路的同時(shí)系統(tǒng)地歸納串聯(lián)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，具體闡述各個(gè)知識(shí)點(diǎn)在例題中的應(yīng)用方式。相比于常規(guī)學(xué)習(xí)中的建立模型推出結(jié)論，資源庫(kù)著重培養(yǎng)的是利用結(jié)論解決實(shí)際問(wèn)題的能力。例如，在對(duì)一部分懸臂、一部分支撐在已知曲率臺(tái)座上梁的問(wèn)題分析中，課件內(nèi)由梁與臺(tái)座貼合這一結(jié)論結(jié)合相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，得出曲率與彎矩之間的關(guān)系式，從而完成對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的分析與解答。

2 關(guān)鍵知識(shí)應(yīng)用拓展

本資源庫(kù)建設(shè)的目的為培養(yǎng)學(xué)生的力學(xué)建模能力，故其課件中除了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)外，還對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了更具深度和廣度的拓展。思路分析過(guò)程循序漸進(jìn)，由點(diǎn)至面，由基礎(chǔ)問(wèn)題中的小知識(shí)點(diǎn)為起點(diǎn)拓寬至多個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，逐步發(fā)現(xiàn)并解決更具難度和深度的問(wèn)題，旨在幫助學(xué)生在面對(duì)工程問(wèn)題時(shí)，能夠“化繁為簡(jiǎn)”，從而建立一個(gè)合理的力學(xué)模型進(jìn)行分析求解。以達(dá)到提高學(xué)生建模能力與力學(xué)素養(yǎng)的預(yù)期效果，下面舉例闡述。

2.1 彎曲切應(yīng)力問(wèn)題分析

在基礎(chǔ)知識(shí)部分中，我們已完成了矩形截面梁彎曲切應(yīng)力的推導(dǎo)?？梢园l(fā)現(xiàn)，其中所運(yùn)用的切應(yīng)力互等定理可作為共性繼續(xù)推廣至對(duì)任意梁橫截面彎曲切應(yīng)力的推導(dǎo)中。

進(jìn)而引入對(duì)于T型梁彎曲橫截面的切應(yīng)力分析，利用之前推導(dǎo)實(shí)腹構(gòu)件橫截面切應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)，同樣將構(gòu)件從縱截面處截開(kāi)，但此時(shí)所截取的兩個(gè)縱截面中， 1-1截面已不同于閉口構(gòu)件中恒為水平面的縱截面(圖1)，此時(shí)，1-1截面法線方向呈水平方向見(jiàn)圖1，而矩形截面梁的縱截面法線方向衡垂直于水平方向。

圖1 T型梁彎曲切應(yīng)力推導(dǎo)隔離體截取位置

然后用類(lèi)似的分析方法，取隔離體見(jiàn)圖1，利用切應(yīng)力互等定理，沿軸向建立平衡方程，推導(dǎo)出開(kāi)口薄壁橫截面切應(yīng)力公式。

再推廣至任意橫截面彎曲切應(yīng)力推導(dǎo)。例如，梁受均布軸向荷載時(shí)的彎曲切應(yīng)力推導(dǎo)見(jiàn)圖2。類(lèi)似之前的推導(dǎo)，同樣取一隔離體如圖2、圖3所示，由受力分析可知，基于切應(yīng)力互等定理，但特殊在于此時(shí)正截面切應(yīng)力中應(yīng)再加上均布軸力的作用，然后建立軸向力的平衡方程求解，推導(dǎo)出此時(shí)正截面切應(yīng)力的解析式。

圖2 受均布軸向力作用梁

圖3 隔離體

此例運(yùn)用上例中切應(yīng)力推導(dǎo)的方法，將問(wèn)題拓寬，再結(jié)合此類(lèi)問(wèn)題的范式，推廣至特殊情況，然后解決問(wèn)題。

課件中大量運(yùn)用此類(lèi)方法，在加深問(wèn)題難度的同時(shí)，基于難度的逐步提升，對(duì)多種情況進(jìn)行對(duì)比，提煉問(wèn)題的共性，結(jié)合各實(shí)際問(wèn)題的特性，建立相應(yīng)力學(xué)模型進(jìn)行分析，更有利于學(xué)生理解此類(lèi)難度較大的問(wèn)題。

2.2 對(duì)稱與反對(duì)稱問(wèn)題分析

首先從內(nèi)力圖及變形的對(duì)稱與反對(duì)稱情況開(kāi)始引入，當(dāng)兩端簡(jiǎn)支梁受兩個(gè)對(duì)稱集中力作用時(shí)(圖4)，彎矩圖呈對(duì)稱

形式，而剪力圖呈反對(duì)稱形式(圖5)。

圖4 簡(jiǎn)支梁受兩個(gè)對(duì)稱集中力作用

圖5 對(duì)稱反對(duì)稱內(nèi)力

之后，結(jié)合能量法判斷截面所應(yīng)存在的內(nèi)力，引出對(duì)稱與反對(duì)稱超靜定結(jié)構(gòu)的辨別。對(duì)稱性與反對(duì)稱性同時(shí)存在時(shí)(圖6)。

圖6 對(duì)稱反對(duì)稱問(wèn)題

方法1：將此結(jié)構(gòu)分解為對(duì)稱受力與反對(duì)稱受力的疊加見(jiàn)圖6，將原結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解需建立一個(gè)三元一次方程組簡(jiǎn)化為對(duì)一個(gè)二元一次方程組和一個(gè)一元一次方程的求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算。

方法2：利用結(jié)構(gòu)對(duì)稱而荷載不對(duì)稱，直接將結(jié)構(gòu)從對(duì)稱處截開(kāi)，得截面處呈正對(duì)稱分布的軸力和彎矩，以及呈反對(duì)稱分布的剪力。然后在運(yùn)用力法求解時(shí)，基于此時(shí)單位力在兩側(cè)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱與反對(duì)稱性，簡(jiǎn)化計(jì)算見(jiàn)圖6。

本例中，課件在完成對(duì)內(nèi)力圖求解后，并未結(jié)束于此，而是基于此特殊內(nèi)力圖中彎矩圖的對(duì)稱和剪力圖的反對(duì)稱進(jìn)行了更深一步的討論，引出結(jié)構(gòu)及內(nèi)力具有對(duì)稱性或反對(duì)稱性時(shí)的求解方法。比如在薄壁圓環(huán)徑向受力的問(wèn)題中，取1/4隔離體作分析求解。

課件中，運(yùn)用此類(lèi)方法在傳統(tǒng)課堂學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)化各類(lèi)題型的求解方法，降低解題思維的復(fù)雜程度，豐富學(xué)生的力學(xué)知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)實(shí)際工程的處理能力。

2.3 不同材料組合梁的橫截面應(yīng)力分布問(wèn)題分析

首先結(jié)合組合梁與單一材料梁的共性，從“平面假定”的概念出發(fā)，推出“截面應(yīng)變連續(xù)”的幾何關(guān)系。然后由“單向胡克定律”：

利用這一本構(gòu)關(guān)系，得到截面上各點(diǎn)處的應(yīng)力分布狀態(tài)，應(yīng)力沿截面高度不連續(xù)見(jiàn)圖7。由靜力等效原理，通過(guò)改變截面尺寸將不同材料的組合梁換為同種材料的T型梁見(jiàn)圖7。

圖7 組合梁?jiǎn)栴}

指出兩者在純彎曲狀態(tài)下軸力為零的共性。結(jié)合《材料力學(xué)》中，對(duì)純彎曲梁中性軸位置的推導(dǎo)過(guò)程和方法，以此來(lái)確定此T型梁中性軸的位置。最后，由截面外力矩與截面應(yīng)力合力矩平衡的條件，得到組合截面梁橫截面的應(yīng)力大小。

本例中，課件將對(duì)梁橫截面應(yīng)力求解拓展至對(duì)不同材料組合梁的橫截面應(yīng)力求解，通過(guò)從基礎(chǔ)出發(fā)，加深難度，然后結(jié)合問(wèn)題的共性和特性，進(jìn)行分析求解。

整個(gè)資源庫(kù)的建設(shè)都類(lèi)似以上三點(diǎn)情況，整體的建設(shè)內(nèi)容循序漸進(jìn)、深入淺出，首先歸納知識(shí)點(diǎn)找出問(wèn)題的共性，而后加深難度至具特性的問(wèn)題，由普遍至特殊，拓寬知識(shí)廣度。這既幫助學(xué)生梳理課堂知識(shí)，又為教師上課提供了便利。同時(shí)，讓學(xué)生在課堂上就能學(xué)會(huì)舉一反三。

3 力學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)分析

部分力學(xué)問(wèn)題的難點(diǎn)，不在于力學(xué)知識(shí)，而在于數(shù)學(xué)計(jì)算。故在資源庫(kù)的建設(shè)中，課件在基礎(chǔ)知識(shí)的歸納和拓展部分，還植入數(shù)學(xué)知識(shí)。在一些特定問(wèn)題上，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，建立了相應(yīng)力學(xué)問(wèn)題具力學(xué)性質(zhì)的數(shù)學(xué)解析式。從 數(shù)學(xué)上對(duì)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析，突出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，也加強(qiáng)了學(xué)生的綜合建模能力：

3.1 壓桿穩(wěn)定問(wèn)題

在彎曲章節(jié)中，我們?cè)茖?dǎo)出撓曲線近似微分方程中撓度二階導(dǎo)數(shù)與梁所受彎矩的關(guān)系：

EIy″=-M(x)

引入記號(hào)，

可得彎曲問(wèn)題與穩(wěn)定性問(wèn)題所共同具有的撓曲線二階微分方程：

y″+k2y=0

然后對(duì)y在求兩次導(dǎo)，得兩者共有的撓曲線四階微分方程：

此時(shí)彎曲問(wèn)題以及穩(wěn)定性問(wèn)題，都可結(jié)合相類(lèi)似的位移邊界條件和靜力邊界條件，完成對(duì)上述兩個(gè)微分方程的求解。

而兩個(gè)問(wèn)題的不同之處在于，彎曲問(wèn)題對(duì)撓曲線近似微分方程的求解中，目的為求解撓度y的具體表達(dá)式，而在穩(wěn)定性求解中，目的在對(duì)方程通解系數(shù)進(jìn)行求解得到壓桿穩(wěn)定的臨界力。顯然，無(wú)論是對(duì)彎曲問(wèn)題的求解，還是對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題的分析，其中大量使用的數(shù)學(xué)技巧都在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，通過(guò)對(duì)比，加深學(xué)生對(duì)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的理解。

3.2 平面應(yīng)力狀態(tài)分析

對(duì)平面應(yīng)力狀態(tài)微元體受力分析，建立任意截面位置的應(yīng)力狀態(tài)矩陣表達(dá)式，從而可以實(shí)現(xiàn)應(yīng)力的坐標(biāo)變換，進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題的分析。此處運(yùn)用線性代數(shù)對(duì)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

以上兩個(gè)問(wèn)題的分析中，運(yùn)用了常微分方程、矩陣變換等多種數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)技巧作為工科學(xué)生的一項(xiàng)必備素質(zhì)，在力學(xué)建模中更是不可或缺。

課件中除了上述問(wèn)題中所用到數(shù)學(xué)技能外，還在其他更多問(wèn)題的具體分析中也用到了奇異積分、特殊函數(shù)等多項(xiàng)數(shù)學(xué)知識(shí)。在對(duì)力學(xué)問(wèn)題求解中，通過(guò)對(duì)各類(lèi)數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，也增進(jìn)了學(xué)生的力學(xué)建模能力。

4 結(jié)束語(yǔ)

力學(xué)建模作為連接理論與實(shí)踐的橋梁，在人才培養(yǎng)中占著舉足輕重的作用。本文通過(guò)介紹力學(xué)競(jìng)賽資源庫(kù)的幾項(xiàng)特點(diǎn)，簡(jiǎn)單闡述了力學(xué)競(jìng)賽資源庫(kù)對(duì)學(xué)生力學(xué)建模能力培養(yǎng)和力學(xué)素質(zhì)提高中所采取的方法。通過(guò)此次對(duì)資源庫(kù)的建設(shè)，也提升了筆者的力學(xué)建模能力和力學(xué)素養(yǎng)。本文以培養(yǎng)具有良好力學(xué)建模能力的學(xué)生為目的所進(jìn)行的資源庫(kù)建設(shè)雖然考慮了部分實(shí)際情況，但由于資源庫(kù)使用時(shí)間短暫，還有更多的問(wèn)題需在將來(lái)的不斷實(shí)踐中加以更正。

(指導(dǎo)教師巫緒濤系合肥工業(yè)大學(xué)副教授)

[1] 范欽珊，李緋，倪如慧， 等. 工程力學(xué)課程教學(xué)資源庫(kù)的建設(shè)[J]. 中國(guó)大學(xué)教育，2004(4)：21-22.

[2] 宋祥紅.巖土工程網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源庫(kù)的開(kāi)發(fā)[D]. 西安： 長(zhǎng)安大學(xué)，2005.

[3] 楊伯源.材料力學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2002.

徐粲(1996～)，男，本科在讀，土木工程專業(yè)。

TU311.41

A

[定稿日期]2017-08-08