耦合動(dòng)態(tài)方程的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在水質(zhì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

，， ，，

(1.長(zhǎng)江科學(xué)院 a.水資源綜合利用研究所；b.流域水資源與生態(tài)環(huán)境科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430010；2.武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430072)

耦合動(dòng)態(tài)方程的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在水質(zhì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

周彥辰1a,1b,2，胡鐵松2，陳進(jìn)1a,1b，許繼軍1a,1b，周研來1a,1b

(1.長(zhǎng)江科學(xué)院 a.水資源綜合利用研究所；b.流域水資源與生態(tài)環(huán)境科學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430010；2.武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430072)

水質(zhì)變化趨勢(shì)的有效預(yù)測(cè)對(duì)于水資源綜合管理具有重要意義。針對(duì)現(xiàn)有數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型不能有效反映研究對(duì)象物理機(jī)理的問題，提出了一種耦合動(dòng)態(tài)方程的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并給出了動(dòng)態(tài)方程的耦合方法。分別從數(shù)值算例和實(shí)際案例2個(gè)方面對(duì)傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型和機(jī)理先驗(yàn)前饋網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行了對(duì)比計(jì)算分析，擬合程度指標(biāo)和計(jì)算誤差指標(biāo)都表明機(jī)理性先驗(yàn)知識(shí)的加入可以提高網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)精度和非線性擬合能力。同時(shí)，該模型在水質(zhì)預(yù)測(cè)中具有適用性和合理性。在樣本數(shù)量一定的情況下，機(jī)理性先驗(yàn)知識(shí)的耦合是進(jìn)一步提高網(wǎng)絡(luò)計(jì)算精度的有效途徑。

水質(zhì)預(yù)測(cè)；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型；耦合動(dòng)態(tài)方程；機(jī)理性先驗(yàn)知識(shí)；Mackey-Glass混沌系統(tǒng)

1 研究背景

準(zhǔn)確預(yù)測(cè)重要水體的水質(zhì)變化趨勢(shì)對(duì)采取治理措施、建立決策預(yù)警機(jī)制具有重要意義。目前進(jìn)行水質(zhì)預(yù)測(cè)和評(píng)價(jià)的主要手段包括數(shù)值模擬模型和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型2類[1]，其中數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型由于輸出結(jié)果快而得到廣泛的應(yīng)用，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型，在具有一定數(shù)量早期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的情況下可輸出滿足精度要求的計(jì)算結(jié)果[2-3]。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型多采用黑箱模型形式，計(jì)算過程中并不需要考慮研究對(duì)象的物理機(jī)理，然而相關(guān)研究人員對(duì)這些物理機(jī)理并非一無(wú)所知，他們開展了諸多關(guān)于提示[4-5]和先驗(yàn)知識(shí)[6-7]的探索性工作，研究表明將已有的先驗(yàn)知識(shí)耦合到黑箱模型的計(jì)算中可以提高模型的計(jì)算精度。Hu等[8]在對(duì)降雨徑流預(yù)報(bào)中，依據(jù)徑流量隨前期土壤含水量增加而增加的經(jīng)驗(yàn)性先驗(yàn)知識(shí)，建立了基于先驗(yàn)知識(shí)的徑流預(yù)報(bào)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，在一定程度上提高了徑流預(yù)報(bào)的精度。Chua和Wong[9]在研究降雨徑流過程時(shí)采用了動(dòng)力波方程，通過對(duì)預(yù)報(bào)流量時(shí)的確定性系數(shù)和相關(guān)系數(shù)等誤差指標(biāo)的對(duì)比表明了串聯(lián)耦合建模技術(shù)的優(yōu)越性。

目前運(yùn)用先驗(yàn)知識(shí)改善神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)性能的研究基本局限于利用研究對(duì)象的單調(diào)性、凹凸性、對(duì)稱性和增益等一些簡(jiǎn)單特征。這種先驗(yàn)知識(shí)雖然可以認(rèn)為在計(jì)算過程中增加了一定的約束，但僅僅表征由樣本數(shù)據(jù)反映的數(shù)值特性，依然不能反映研究對(duì)象的領(lǐng)域知識(shí)。在水質(zhì)預(yù)測(cè)過程中，控制方程是一組已知的能反映研究對(duì)象物理特性的動(dòng)態(tài)方程，本文嘗試從數(shù)值模型與實(shí)際案例2方面討論將動(dòng)態(tài)方程與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的可行性和在水質(zhì)預(yù)測(cè)領(lǐng)域的適用性。

2 耦合動(dòng)態(tài)方程的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

2.1 黑箱神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是按照既定的規(guī)則進(jìn)行輸入變量與輸出變量間的映射計(jì)算，屬于典型的黑箱模型。按照網(wǎng)絡(luò)模型的分類方式，可以分成前饋網(wǎng)絡(luò)和反饋網(wǎng)絡(luò)、離散型網(wǎng)絡(luò)和連續(xù)型網(wǎng)絡(luò)、有導(dǎo)師學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)和無(wú)導(dǎo)師學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)等[10]。本文選擇結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、技術(shù)成熟的BP網(wǎng)絡(luò)作為研究工具。

BP網(wǎng)絡(luò)稱為誤差反傳前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，由輸入層、輸出層與若干隱含層組成，相鄰兩層間的神經(jīng)元采用全互連的連接方式，同一層內(nèi)的神經(jīng)元沒有連接。所謂誤差反傳是指依據(jù)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算輸出與樣本輸出間的誤差，按照從輸出層到隱含層，再?gòu)碾[含層到輸入層的順序逐層修正神經(jīng)元上的權(quán)閾值。

(1)

2.2 動(dòng)態(tài)方程的耦合

(2)

當(dāng)式(2)等號(hào)右邊的各項(xiàng)數(shù)值都能得到時(shí)，可以將該式作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化模型的一項(xiàng)新的約束。對(duì)于優(yōu)化問題來說，把先驗(yàn)知識(shí)作為一項(xiàng)約束條件，將其整合到計(jì)算過程中的常用方法是采用罰函數(shù)法[11-12]。罰函數(shù)法是指通過將原目標(biāo)函數(shù)與約束條件進(jìn)行組合，實(shí)現(xiàn)將有約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問題的方法。具體做法就是將約束條件變化為懲罰項(xiàng)，加到原目標(biāo)函數(shù)上，迫使迭代點(diǎn)遠(yuǎn)離不滿足約束條件的空間范圍，不斷逼近可行域。假設(shè)所有函數(shù)都是連續(xù)的，則含有等式約束的優(yōu)化問題的函數(shù)表達(dá)形式為

(3)

假設(shè)最優(yōu)解存在，則可行域?yàn)?/p>

D={x/h(x)=0} 。

令懲罰項(xiàng)p(x)=h2(x) ,

(4)

則包含懲罰項(xiàng)的新目標(biāo)函數(shù)可表示為

minF(x,M)=f(x)+Mp(x)=f(x)+Mh2(x)。

(5)

式中：F(x,M)為罰函數(shù)；M為懲罰因子。

F(x,M)的最優(yōu)解應(yīng)當(dāng)是在M足夠大時(shí)能夠逼近式(3)的最優(yōu)解。基于此，懲罰項(xiàng)Mp(x)應(yīng)具有以下性質(zhì)：當(dāng)x屬于可行域，即x∈D，h(x)=0，此時(shí)懲罰項(xiàng)不對(duì)計(jì)算造成影響；當(dāng)x?D，即不滿足約束條件時(shí)，懲罰項(xiàng)Mp(x)應(yīng)給予一個(gè)極大的懲罰。懲罰項(xiàng)的工作原理可用式(6)表示，即

Mh2(x)=0,x∈D;

Mh2(x)>0,x?D。

(6)

3 數(shù)值算例驗(yàn)證

為檢驗(yàn)本文提出的動(dòng)態(tài)方程耦合網(wǎng)絡(luò)模型的可行性和可操作性，同時(shí)考慮到樣本獲取的便利性，從數(shù)值算例的角度選取包含典型動(dòng)態(tài)方程的Mackey-Glass混沌系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，探討動(dòng)態(tài)方程的耦合對(duì)網(wǎng)絡(luò)模型泛化性能的影響。

3.1 基于Mackey-Glass混沌系統(tǒng)的先驗(yàn)前饋網(wǎng)絡(luò)模型

Mackey-Glass混沌系統(tǒng)的微分方程形式為

(7)

微分方程參數(shù)取a=0.2，b=0.1，c=10，τ=17時(shí)，產(chǎn)生混沌現(xiàn)象[13]。初值取y(0)=0.2，在t=0～1 500 s內(nèi)對(duì)y進(jìn)行采樣，時(shí)間步長(zhǎng)為1 s，由此產(chǎn)生1 500組數(shù)據(jù)，把前面500組過渡序列舍去，取后面1 000組作為計(jì)算樣本，從這1 000組數(shù)據(jù)中選擇700組作為訓(xùn)練樣本，其余300組作為測(cè)試樣本。

采用前5組數(shù)據(jù)計(jì)算后1組，即采用y(t)，y(t-1)，y(t-2)，y(t-3)，y(t-4)計(jì)算y(t+1)的值。對(duì)于Mackey-Glass混沌系統(tǒng)，輸入層有5個(gè)節(jié)點(diǎn)：y(t)，y(t-1)，y(t-2)，y(t-3)，y(t-4)，預(yù)測(cè)時(shí)段末對(duì)應(yīng)的時(shí)間t；輸出層有1個(gè)節(jié)點(diǎn)：y(t+1)；隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)由試算原則確定為5個(gè)，網(wǎng)絡(luò)模型的結(jié)構(gòu)確定為5-5-1。先驗(yàn)知識(shí)采用微分方程本身，結(jié)合式(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(8)

3.2 動(dòng)態(tài)方程對(duì)網(wǎng)絡(luò)泛化性能的影響

對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行檢驗(yàn)，主要需從預(yù)測(cè)結(jié)果與樣本值的擬合程度及誤差大小2個(gè)方面考慮。對(duì)于擬合程度，本文采用確定性系數(shù)CE和相關(guān)系數(shù)R兩項(xiàng)指標(biāo)，CE和R值越大，說明擬合效果越好，計(jì)算值與樣本值越接近。擬合指標(biāo)的計(jì)算公式為:

(9)

(10)

對(duì)于計(jì)算誤差，本文采用均方根誤差RMSE和平均絕對(duì)百分誤差MAPE兩項(xiàng)指標(biāo)，RMSE采用的是絕對(duì)誤差的形式，對(duì)特大或特小的誤差比較敏感；MAPE則采用的是相對(duì)誤差的形式，可以反映出所有測(cè)試樣本的平均計(jì)算誤差大小。誤差指標(biāo)的計(jì)算公式為:

(11)

(12)

采用生成的樣本序列和給定的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)含有先驗(yàn)知識(shí)和不含先驗(yàn)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行訓(xùn)練和預(yù)測(cè)計(jì)算，圖1和圖2分別表示變量在2種模型中擬合程度和誤差大小，表1表示2種預(yù)測(cè)模型的計(jì)算指標(biāo)。

圖1 有無(wú)先驗(yàn)知識(shí)計(jì)算結(jié)果擬合程度Fig.1 Fitting degree of calculation with and without priori-knowledge

圖2 有無(wú)先驗(yàn)知識(shí)的計(jì)算結(jié)果誤差Fig.2 Error of calculation with and without priori-knowledge

表1 數(shù)值算例計(jì)算結(jié)果指標(biāo)統(tǒng)計(jì)Table 1 Indexes of calculation for numerical cases

由表1可知，在Mackey-Glass混沌系統(tǒng)的預(yù)測(cè)中：①在其他條件不變的情況下，先驗(yàn)知識(shí)的加入提高了網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)精度；②先驗(yàn)前饋網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算結(jié)果的擬合程度更高，其中確定性系數(shù)相較一般網(wǎng)絡(luò)模型提高了0.019，相關(guān)系數(shù)提高了0.008；③先驗(yàn)前饋網(wǎng)絡(luò)模型將誤差控制在一個(gè)更合理的范圍，相較一般神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型均方根誤差下降了0.018 6，平均絕對(duì)百分誤差下降了1.819。從圖1可以看出，加入先驗(yàn)知識(shí)后，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果能夠更好、更準(zhǔn)確地反映Mackey-Glass數(shù)據(jù)變化的趨勢(shì)，更加符合自身產(chǎn)生的規(guī)律，在對(duì)新的未知數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)有更好的擬合能力，更接近真實(shí)模型，而一般神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果中出現(xiàn)了較多違背變化規(guī)律的現(xiàn)象。圖2顯示，先驗(yàn)知識(shí)加入后，模型計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差得以有效控制，極值下降了近50%。

綜上所述，先驗(yàn)知識(shí)可以顯著提高網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)精度，相較于一般神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型，先驗(yàn)前饋網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)于Mackey-Glass系統(tǒng)有更好的非線性擬合能力。

4 實(shí)例分析

4.1 工程概況

為探討本文提出的先驗(yàn)前饋網(wǎng)絡(luò)模型在水質(zhì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用效果，以湖北省某電廠排放的污染物為研究對(duì)象，污染物的物理特性如表2所示。

表2 污染物物理特性Table 2 Physical characteristics of contaminant

電廠運(yùn)行過程中會(huì)有污染物隨廢水持續(xù)排放進(jìn)入附近河道的受納水體。由于污染物自身的衰減和河水的稀釋作用，污染物濃度會(huì)沿水流方向逐漸下降。本案例以固定監(jiān)測(cè)斷面的污染物平均濃度的相對(duì)濃度值為研究對(duì)象，對(duì)文章中提出的方法進(jìn)行探討。

4.2 組分輸運(yùn)方程的耦合

污染物的遷移擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)主要受描述水動(dòng)力學(xué)特性的連續(xù)性方程、動(dòng)量守恒方程以及描述溶質(zhì)運(yùn)動(dòng)的組分輸運(yùn)方程控制[14]。本文嘗試將組分輸運(yùn)方程作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型的先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行耦合計(jì)算。二維組分輸運(yùn)方程為

(13)

式中：Cw為水體中污染物的相對(duì)濃度；u,v分別為x,y方向上的流速(m·s-1)；εx,εy分別為x,y方向上的擴(kuò)散系數(shù)(m2·s-1)；t為時(shí)間(s)；λi為污染物濃度衰減系數(shù)(L·s-1)；Si是污染物源項(xiàng)，在本文描述的監(jiān)測(cè)斷面可忽略不計(jì)。

由于擴(kuò)散系數(shù)、衰減系數(shù)和源項(xiàng)都是計(jì)算時(shí)給出的定值，流速、污染物濃度及濃度在方向上的一階導(dǎo)數(shù)都是可以在數(shù)值模擬中導(dǎo)出的，所以只需采用有限差分法得到濃度在方向上的二階導(dǎo)數(shù)，組分輸運(yùn)中的各個(gè)變量便都可以獲得求解。此時(shí)，將方程的瞬態(tài)項(xiàng)(?Cw/?t)中的2個(gè)變量使用網(wǎng)絡(luò)模型的輸入輸出表示，方程的其他項(xiàng)全部移動(dòng)到等式的右邊，便可以采用2.2節(jié)的方法將其耦合到前饋網(wǎng)絡(luò)模型的迭代計(jì)算過程中。其中，先驗(yàn)知識(shí)得到的懲罰項(xiàng)為

(14)

4.3 水質(zhì)預(yù)測(cè)分析

在不考慮溫度和水生動(dòng)植物的影響下，污染物的濃度主要受到當(dāng)前一段時(shí)期的濃度值與上游來水流量的影響。分析電站受納水體多年徑流量得知2006年可作為典型年，同時(shí)2005年來水流量的上下限包含了2006年的來水流量數(shù)值范圍。故采用2005年的數(shù)據(jù)對(duì)含有先驗(yàn)知識(shí)和沒有先驗(yàn)知識(shí)的2種網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行訓(xùn)練。采用2006年2—6月份的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)計(jì)算和討論，2006年的來水流量與污染物相對(duì)濃度的關(guān)系如圖3所示。

圖3 2006年來水流量與污染物相對(duì)濃度的關(guān)系Fig.3 Relationship between runoff and relative concentration of contaminant in 2006

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入層包括當(dāng)前濃度、前2 d濃度和來水流量共4個(gè)節(jié)點(diǎn)，輸出層包括下一天濃度1個(gè)節(jié)點(diǎn)，試算確定網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為4-4-1。2種訓(xùn)練模型的預(yù)測(cè)結(jié)果如表3所示。

表3 實(shí)例分析計(jì)算結(jié)果指標(biāo)統(tǒng)計(jì)Table 3 Indexes of calculation for practical case

由表3可知，在水質(zhì)預(yù)測(cè)問題中采用先驗(yàn)前饋網(wǎng)絡(luò)模型可以提高網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)精度。組分輸運(yùn)方程作為先驗(yàn)知識(shí)在優(yōu)化模型的迭代計(jì)算中可以促進(jìn)計(jì)算結(jié)果朝目標(biāo)方向收斂，說明本文提出的改進(jìn)網(wǎng)絡(luò)模型在水質(zhì)預(yù)測(cè)研究領(lǐng)域中具有適用性和合理性。

另一方面，從擬合精度的角度來看，CE值和R值都相較數(shù)值案例時(shí)有所下降，這是由于實(shí)例分析的樣本數(shù)量較少引起。但由于并不是所有的研究問題都可以提供足夠容量的樣本用于網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練，那么在樣本容量一定的情況下，有理由認(rèn)為耦合機(jī)理性動(dòng)態(tài)方程的先驗(yàn)前饋網(wǎng)絡(luò)模型能提供更高的計(jì)算精度。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型不能反映研究對(duì)象物理機(jī)理的不足，考慮將表征污染物運(yùn)動(dòng)的控制方程耦合到網(wǎng)絡(luò)模型的迭代計(jì)算過程中，提出了一種耦合動(dòng)態(tài)方程的先驗(yàn)前饋網(wǎng)絡(luò)模型及其耦合方法。從數(shù)值算例和現(xiàn)實(shí)案例2個(gè)方面對(duì)比計(jì)算了新模型和傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)效果。

(1) 將動(dòng)態(tài)方程作為先驗(yàn)知識(shí)耦合到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程中，可以提高網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)精度和非線性擬合程度。

(2) 本文提出的機(jī)理性先驗(yàn)前饋網(wǎng)絡(luò)模型在水質(zhì)預(yù)測(cè)中具有適用性和合理性。

(3) 在樣本一定的情況下，可考慮通過機(jī)理性先驗(yàn)知識(shí)的加入進(jìn)一步提高模型的精度。

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(編輯：陳 敏)

Application of Neural Network Model Coupled with Dynamic Equationin Water Quality Prediction

ZHOU Yan-chen1，2，3，HU Tie-song3，CHEN Jin1，2，XU Ji-jun1，2，ZHOU Yan-lai1，2
(1.Water Resources Department, Yangtze River Scientific Research Institute, Wuhan 430010, China; 2.Key Laboratory of Basin Water Resource and Eco-environmental Science in Hubei Province, Yangtze River Scientific Research Institute, Wuhan 430010, China；3.State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

Precise prediction of water quality trend is of vital importance for water resources management. Commonly used data-driving models cannot reflect the physical characteristics of research objective. In view of this, a neural network coupled with dynamic equation is proposed in this paper, and the method to couple dynamic equation into model iteration is also given. A numerical case and a practical case are used to demonstrate the difference between network model with mechanism priori-knowledge and traditional network model. The results of fitting degree and calculation error indicate that the coupled priori-knowledge is able to improve calculation accuracy and enhance non-linear fitting. The proposed model is applicable and rational in water quality prediction. Sample size is the basis of neural network model application, and coupling mechanism priori knowledge under the circumstance of fixed sample size is an efficient approach to improving prediction accuracy.

water quality prediction; neural network model; dynamic equation; mechanism priori knowledge; Mackey-Glass chaotic system

2016-05-25；

：2016-06-30

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(71171151,51509008)；湖北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015CFA157)

周彥辰(1988-)，男，湖北武漢人，在站博士后，主要從事水資源管理研究，(電話)027-82927557(電子信箱)zhouyc_omg@126.com。

10.11988/ckyyb.20160520

2017,34(9):1-5

X824

：A

：1001-5485(2017)09-0001-05