一類時滯SLARS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的周期解

趙 濤，魏蘇林，齊子健，張子振

（安徽財經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

一類時滯SLARS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的周期解

趙 濤，魏蘇林，齊子健，張子振

（安徽財經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

文章研究了一類具有分級感染率的時滯SLARS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型。以模型的時滯為分岔參數(shù)，確定了產(chǎn)生Hopf分岔的時滯臨界點；利用中心流形定理和規(guī)范型理論確定了在時滯臨界點處產(chǎn)生的Hopf分岔的性質(zhì)。

SLARS模型；時滯；Hopf分岔；周期解

0 引言

由于網(wǎng)絡(luò)病毒具有諸如破壞性、多態(tài)性以及不可預(yù)知性等典型特征，已經(jīng)成為我們工作和日常生活最大的威脅之一[1-2]。對網(wǎng)絡(luò)病毒傳播過程進(jìn)行動力學(xué)建模，是了解網(wǎng)絡(luò)病毒行為的一種有效方法。近年來，不少網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型被國內(nèi)外學(xué)者相繼研究，并取得了一定的研究成果，如，SEIR模型[3-4]，SEIRS模型[5-6]，SEIQRS模型[7-8]等。但是以上具有潛伏狀態(tài)的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型，大多都是假設(shè)潛伏狀態(tài)的主機(jī)不具備感染能力，并且考慮網(wǎng)絡(luò)病毒傳播過程中的時滯因素的也較少。最近，文獻(xiàn)[9]研究了如下潛伏狀態(tài)和活躍狀態(tài)主機(jī)均具有感染能力的時滯SLARS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型：

其中，S(t)，L(t)，A(t)和R(t)分別表示易感主機(jī)、處于潛伏狀態(tài)的主機(jī)、處于活躍狀態(tài)的主機(jī)以及處于恢復(fù)狀態(tài)的主機(jī)在t時刻所占的比例。μ為外部主機(jī)的聯(lián)網(wǎng)率和內(nèi)部主機(jī)的斷網(wǎng)率；β1和β2分別為處于潛伏狀態(tài)的主機(jī)和處于活躍狀態(tài)的主機(jī)的感染率；α，ε和γ分別為狀態(tài)轉(zhuǎn)移率。為反病毒軟件查殺網(wǎng)絡(luò)病毒所需要的時間周期。

文獻(xiàn)[9]以反病毒軟件查殺網(wǎng)絡(luò)病毒所需要的時間周期所引起的時滯為分岔參數(shù)，研究了模型（1）的有病毒平衡點的局部漸近穩(wěn)定性和局部Hopf分岔的存在性。對于一個動力系統(tǒng)模型而言，其動力學(xué)性質(zhì)除了穩(wěn)定性以外，還有持續(xù)性[10]，周期解[11]以及全局吸引性[12]等性質(zhì)。本文在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上，研究模型（1）的分岔周期解。

1 Hopf分岔的存在性

引理1[9]如果，則當(dāng)∈[0，0)時，系統(tǒng)（1）局部漸近穩(wěn)定。當(dāng)=0時，系統(tǒng)（1）在 E(S*，L*，A*，R*)處產(chǎn)生 Hopf分岔，并且產(chǎn)生一簇分岔周期解。其中，

2 分岔周期解的穩(wěn)定性

其中，

可以選取

則系統(tǒng)（2）可以轉(zhuǎn)化為

以及雙線性內(nèi)積

其中，

接下來，利用文獻(xiàn)[14]中的算法以及計算過程，可以得到下列參數(shù)表達(dá)式：

E1和E2可以根據(jù)下列方程得到

最后，可以計算得到下列參數(shù)的表達(dá)式：

由上，可以得到如下關(guān)于分岔周期解的結(jié)論。

定理1 對于模型（1），當(dāng) μ2＞0(μ2＜0)，則 Hopf分岔是超臨界(次臨界)的；當(dāng) β2＜0(β2＞0)，則分岔周期解是穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的；當(dāng) Τ2＞0(Τ2＜0)，則分岔周期解的周期是遞增(遞減)的。

3 仿真示例

直接計算得到，系統(tǒng)(17)的唯一有病毒平衡點 E(0.1116，0.2073，0.4936，0.1936)，進(jìn)而得到。當(dāng)時，如圖1所示，系統(tǒng)（17）是局部漸近穩(wěn)定的。當(dāng)時，系統(tǒng)（17）則失去穩(wěn)定性，產(chǎn)生Hopf分支并在平衡點附近產(chǎn)生一簇分支周期解。仿真效果如圖2所示。另外，根據(jù)公式（16）計算得到，C1(0)=-21.6027+13.5870i，μ2=3.3172＞0，β2=-43.2054＜0，T2=-0.0427＜0。因此，根據(jù)定理1 可知，在附近產(chǎn)生的Hopf分岔是超臨界的，分岔周期解是穩(wěn)定的并且其周期是遞增的。

圖1 當(dāng)時，系統(tǒng)（17）漸近穩(wěn)定

圖2 當(dāng)時，系統(tǒng)（17）不穩(wěn)定并發(fā)生Hopf分支

4 結(jié)論

本文在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了一類時滯SLARS網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型的分岔周期解，所得理論結(jié)果是對文獻(xiàn)[9]的適當(dāng)補充。研究表明，當(dāng)時滯t的取值足夠小時，模型處于理想的漸進(jìn)穩(wěn)定狀態(tài)，有利于網(wǎng)絡(luò)病毒傳播的控制。當(dāng)時滯t的值越過臨界值時，模型將失去穩(wěn)定，產(chǎn)生分岔周期解。此時，網(wǎng)絡(luò)病毒的傳播將失去控制。仿真結(jié)果表明，當(dāng)滿足一定條件時，模型（1）中的四種狀態(tài)的主機(jī)數(shù)量將以周期震蕩形式共存。這種情況說明，模型中的時滯是有害時滯，應(yīng)該盡量減小或者消除。在現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)中，可以通過不斷更新反病毒軟件以達(dá)到減小模型中的時滯，保證模型處于漸近穩(wěn)定狀態(tài)。

[1]PIQUEIRA J R C，ARAUJO V O.A modified epidemiologicalmodel forcomputerviruses[J].Applied Mathematics and Computation，2009，213（2）：355-360.

[2]COHEN F.Computer virus：Theory and experiments[J].Computers&Security，1987，6（1）：22-35.

[3]彭梅，李傳東，何興.基于直接免疫的SEIR計算機(jī)病毒傳播模型[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報，2013，30（1）：77-80.

[4]PENG M，HE X，HUANG J J，et al.Modeling computer virus and its dynamics[J].Mathematical Problems in Engineering，Article ID 842614，2013：1-5.

[5]MISHRA B K，SAINI D K.SEIRS epidemic model with delay for transmission of malicious objects in computer network[J].Applied Mathematics and Computation，2007，188（2）：1476-1482.

[6]WANG C L，CHAI S X.Hopf bifurcation of an SEIRS epidemic model with delays and vertical transmission in network[J].Advances in Difference Equations，2016，2016（1）：1-19.

[7]WANG F W，YANG F，ZHANG Y K.et al.Stability analysis of a SEIQRS model with graded infection rates for Internet worms[J].Journal of Computers，2014，9（10）：2420-2427.

[8]BADSHAH Q.Global stability of SEIQRS computer virus propagation model with non-linear incidence function[J].Applied Mathematics，2015，6（1）：1926-1938.

[9]張子振，尹發(fā)，緱超博.一類具有分級感染率的時滯網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型穩(wěn)定性[J].蚌埠學(xué)院學(xué)報，2016，5（2）:19-22.

[10]野金花，朱煥.一類具有階段結(jié)構(gòu)和Holling III類功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)的一致持久性[J].黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)學(xué)報，2017，29（1）：144-146.

[11]宋利民，張子振.具有隔離策略的網(wǎng)絡(luò)病毒傳播模型周期解[J].菏澤學(xué)院學(xué)報，2016，38（5）：56-62.

[13]劉昌東，江如，柴華金.一類具群體防御狀態(tài)及Holling III型功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)正周期解的全局吸引性[J].廣東海洋大學(xué)學(xué)報，2016，36（3）：89-97.

[14]HASSARD B D，KAZARINOFF N D，WAN Y H.Theory and applications of hopf bifurcation[M].Cambridge University Press，Cambridg e，1981.

Periodic Solutions to a Delayed SLARS Computer Virus Propagation Model

ZHAO Tɑo，WEI Sulin，QI Zijiɑn，ZHANG Zizhen
（School of Management Science and Engineering，Anhui University of Finance and Economics，Bengbu Anhui 233030，China）

A series of delayed SLARS computer virus propagation model with graded infection rate was studied in this paper.Taking the delay of the model as bifurcation parameter，the critical point of time delay for Hopf bifurcation has been determined.Meanwhile，based on the central manifold theorem and the canonical form theory，the properties of the Hopf bifurcation at the critical point of the delay has been determined in this paper.

SLARS Model；Delay；Hopf Bifurcation；Periodic Solution

O175.12

A

1009-8666（2017）08-0025-06

［責(zé)任編輯、校對：李書華］

10.16069/j.cnki.51-1610/g4.2017.08.006

2017-04-02

2014年度安徽省高等學(xué)校自然科學(xué)項目“基于網(wǎng)絡(luò)斷層掃描的Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)測量技術(shù)研究”（KJ2014A006）；2016年度安徽省自然科學(xué)研究項目“基于網(wǎng)絡(luò)層析成像的Ad Hoc網(wǎng)絡(luò)測量模型與方法研究”（1608085QF145）

趙濤（1981—），男，安徽蚌埠人。安徽財經(jīng)大學(xué)副教授，博士，研究方向：網(wǎng)絡(luò)安全；魏蘇林（1971—），男，安徽蚌埠人。安徽財經(jīng)大學(xué)講師，碩士，研究方向：網(wǎng)絡(luò)安全。