淺談初中數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論思想

梁澍剛

一、分類(lèi)思想定義與特點(diǎn)

所謂分類(lèi)討論思想，就是當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題在一定的題設(shè)下，其結(jié)論并不唯一時(shí)，我們就需要對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行必要的分類(lèi)。將一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題根據(jù)題設(shè)分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進(jìn)行歸納綜合。實(shí)質(zhì)上，分類(lèi)討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的策略.分類(lèi)思想有三個(gè)明顯特點(diǎn)，一是對(duì)什么東西分類(lèi)，即確定分類(lèi)的對(duì)象；二是按什么標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，即選擇分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)；三是分成哪幾類(lèi)，即確定分類(lèi)的結(jié)果。通過(guò)正確的分類(lèi)，可以使復(fù)雜的問(wèn)題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答。劃分只是手段，分類(lèi)研究才是目的.既可以將復(fù)雜的問(wèn)題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，而且恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)可避免丟值漏解，從而提高全面考慮問(wèn)題的能力，提高周密?chē)?yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、分類(lèi)討論思想應(yīng)遵循以下的原則

1、同一性原則。分類(lèi)應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類(lèi)不能同時(shí)使用幾個(gè)不同的分類(lèi)根據(jù)。

有些同學(xué)把三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、不等邊三角形、等腰三角形。這個(gè)分類(lèi)就不正確了，因?yàn)檫@個(gè)分類(lèi)同時(shí)使用了按邊和按角兩個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。

2、相稱性原則。分類(lèi)應(yīng)當(dāng)相稱，即劃分后子項(xiàng)外延的總和，應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)的外延相等。

3、互斥性原則。分類(lèi)后的每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容，即做到各子項(xiàng)相互排斥，也就是分類(lèi)后不能有一些事物既屬于這個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一個(gè)子項(xiàng)。

4、層次性原則。分類(lèi)有一次分類(lèi)和多次分類(lèi)之分。一次分類(lèi)是對(duì)被討論對(duì)象只分類(lèi)一次；多次分類(lèi)是把分類(lèi)后所得的子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再進(jìn)行分類(lèi)，直至滿足需要為止。有些對(duì)象的分類(lèi)情況比較復(fù)雜，這時(shí)常采用“二分法”來(lái)分類(lèi)，就是按對(duì)象有無(wú)某性質(zhì)來(lái)進(jìn)行分類(lèi)。按“二分法”作分類(lèi)，就是把討論對(duì)象的外延一直分為兩個(gè)互相矛盾的概念，一直分到不必再分為止。

四、分類(lèi)討論思想主要步驟

通過(guò)上述問(wèn)題的討論，分類(lèi)討論的思想方法在初中數(shù)學(xué)教材中有著廣泛的滲透。在運(yùn)用分類(lèi)思想解題時(shí)主要步驟有：（1）明確討論的對(duì)象：即對(duì)哪個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論；（2）對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行合理分類(lèi)（分類(lèi)時(shí)要做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一、分層不越級(jí)）；（3）逐類(lèi)討論：即對(duì)各類(lèi)問(wèn)題詳細(xì)討論，逐步解決。（4）歸納總結(jié)：將各類(lèi)情況總結(jié)歸納。

五、培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論思想的路徑

分類(lèi)討論思想貫穿中學(xué)整個(gè)數(shù)學(xué)課程的始末，充分發(fā)揮分類(lèi)討論思想的優(yōu)勢(shì)，可以將復(fù)雜的問(wèn)題大大簡(jiǎn)化，不僅有助于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，還有助于培養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維能力。

1、概念、定理、公式講解全面透徹

要做到全面、合理的分類(lèi)討論，擁有扎實(shí)的知識(shí)儲(chǔ)備是必不可少的，因此，教師一定要對(duì)存在變化的數(shù)學(xué)概念、定理、公式進(jìn)行全面的講解，把各種情況透徹的傳達(dá)給學(xué)生。

初中課本中很多定義、定理、公式本身是分類(lèi)定義、分類(lèi)概括的，教師在教學(xué)過(guò)程中要有意識(shí)地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸的體會(huì)分類(lèi)討論的思想。初一數(shù)學(xué)課本在引入負(fù)數(shù)后即對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類(lèi)：將有理數(shù)分為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)或?qū)⒂欣頂?shù)分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)。讓學(xué)生辨別不同分類(lèi)的依據(jù)，初步體會(huì)分類(lèi)要不重復(fù)，不遺漏；標(biāo)準(zhǔn)不同則分類(lèi)不同的基本原則。此時(shí)可提出問(wèn)題“-a一定是負(fù)數(shù)嗎？”啟發(fā)學(xué)生分a>0，a=0，a<0三種情況考慮。在學(xué)習(xí)絕對(duì)值的定義時(shí)，要有意識(shí)地啟發(fā)學(xué)生從有理數(shù)分類(lèi)進(jìn)行認(rèn)知的遷移，幫助學(xué)生概括出a>0，a=0，a<0時(shí)， 應(yīng)如何表示，并要求學(xué)生能做一些簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)題。

在日常教學(xué)中的這種有序的、有目的滲透，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步領(lǐng)悟出和接受解決問(wèn)題中的分類(lèi)討論的思想，明確分類(lèi)討論的思想是解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的、有用的思想方法。

2、 在單元小結(jié)、專題講座中提煉與概括分類(lèi)思想

在單元小結(jié)時(shí)，不僅要教會(huì)學(xué)生梳理知識(shí)，更要教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行“反思”。

由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有時(shí)同一內(nèi)容可體現(xiàn)出不同的數(shù)學(xué)思想，而同一數(shù)學(xué)思想如分類(lèi)思想又常常分布在許多不同的知識(shí)點(diǎn)中。于是，我在單元小結(jié)時(shí)注重從縱橫兩方面去整理單元知識(shí)中所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法，變教材的“單元內(nèi)容小結(jié)”為“內(nèi)容+數(shù)學(xué)思想方法”形式的小結(jié)。在單元小結(jié)中注意指導(dǎo)學(xué)生把常用的數(shù)學(xué)方法提高到思想方法的高度來(lái)認(rèn)識(shí)，注意把數(shù)學(xué)知識(shí)所揭示的本質(zhì)規(guī)律加以提煉、概括，使學(xué)生真正從思想方法上去掌握。

3、 在解題規(guī)律過(guò)程中突出與強(qiáng)化分類(lèi)討論的思想。

就分類(lèi)討論思想方法而言，在題規(guī)律過(guò)程中以下兩種情況居多。

一是由幾何圖形的可變性引起的討論。在解題過(guò)程中有些幾何問(wèn)題的圖形位置或形狀不能確定，如果解題時(shí)進(jìn)行統(tǒng)一處理，將會(huì)遇到較大困難，這時(shí)就必須進(jìn)行討論，把問(wèn)題分成幾類(lèi)或幾部分來(lái)處理，采取分而治之的方法來(lái)各個(gè)擊破。

在實(shí)際教學(xué)中可以碰到很多這種習(xí)題。如：

1.等腰三角形的兩邊為4，6，求該三角形的周長(zhǎng)？

2、 ⊙O的半徑為5cm，AB和CD為⊙O中的兩條平行弦，求AB和CD間的距離？

3、如圖1，已知 中， ，點(diǎn)P在斜邊AB上移動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），以P為頂點(diǎn)作 ，射線PQ交BC邊與點(diǎn)Q。 能否是等腰三角形？如果能夠，試求出AP的長(zhǎng)，如果不能，試簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。

二是由數(shù)量大小不確定引起的討論。在計(jì)算或推理過(guò)程中，遇到數(shù)量大小不能確定是應(yīng)進(jìn)行討論。

它揭示了二次根式性質(zhì)： 在分類(lèi)討論化一般為特殊，變抽象為具體所起的轉(zhuǎn)化作用。又如解關(guān)于x的不等式：x2-（a-1）x-a≤0，此二次不等式的解應(yīng)根據(jù)a與-1的大小來(lái)確定，因此同樣要進(jìn)行討論。

總之，初中是學(xué)生接觸分類(lèi)討論思想的起始站，教學(xué)中一定要揭示分類(lèi)討論思想的本質(zhì)，進(jìn)行滲透、概括、提煉與強(qiáng)化，使學(xué)生能夠自覺(jué)合理的運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題，掌握分類(lèi)討論數(shù)學(xué)思想方法這個(gè)銳利武器，從而提高學(xué)生的綜合運(yùn)用的能力和良好的思維品質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

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[3]蔡上鶴.《數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法》.endprint