定義在有限區(qū)間上的二階常微分方程變號解的存在性

蔣玲芳

摘要：討論了二階常微分方程Drichlet邊值問題-u''（t）=λf（u（t）），00，f∈C2（-r，r），f'≥0，f（0）<0，limu→rf（u）>0。證得當(dāng)非線性項f滿足lims→±rf（s）（±r-s）=∞時，存在λ*，使得當(dāng)λ∈（0，λ*）時，該問題有兩個含有m（m=1，2，…）個零點的變號解。

關(guān)鍵詞：半正；變號解；二階；有限區(qū)間

中圖分類號：TB文獻(xiàn)標(biāo)識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2017.24.091

1引言

近年來，許多作者用不同的方法（比如，臨界點理論，錐上不動點理論，上下解方法，時間映像分析法等）討論了二階常微分方程邊值問題

-u''（t）=λf（u（t）），0

正解和變號解的存在性，見文獻(xiàn)。

特別地，1988年，A.Castro利用時間映像分析法考慮了問題（1）正解的存在性，其中f∈C2（R）。

1992年，Shvaji研究了問題（1）利用時間映像研究了變號解的存在性，其中f∈C2（R）。

注：本文將考慮定義在有限區(qū)間的情形：f∈C2（-r，r）

2時間映像分析法

類似文獻(xiàn)的方法，我們可以得到：

（1）若問題（1）有2n個零點，且u'（0）<0，則問題（1）對應(yīng)的時間映像為

G2n（p）∶=2n∫p0duF（p）-F（u）+（n+1）∫0q

duF（q）-F（u）（2）

（2）若問題（1）有2n-2個零點，且u'（0）>0，則問題（1）對應(yīng)的時間映像為

G2n-2（p）∶=2n∫p0duF（p）-F（u）+（n-1）∫0q

duF（q）-F（u） （3）

（3）若問題（1）有2n-1個零點，且u'（0）>0或u'（0）<0，則問題（1）對應(yīng)的時間映像為

G2n-1（p）∶=2n∫p0duF（p）-F（u）+n∫0q

duF（q）-F（u）（4）

3主要結(jié)論和證明

設(shè)||u||=supt∈[0，1]u（t），f∈C2（-r，r），f'≥0，f（0）<0，limu→rf（u）>0，且θ>0，β>0滿足f（β）=0，F(xiàn)（θ）=0，其中，F(xiàn)（s）=∫s0f（t）dt。進一步，設(shè)f''（s）<0，s<0；

f''（s）>0，s>0。lims→±rf（s）（±r-s）=+∞，lims→-r（f（s）-sf'（s））>0。

定理1設(shè)λn=n2（2∫θ0ds-F（s）），n∈Ν。則對于任意的λ∈（0，λn），問題（1）至少存在一個含有2n個零點且滿足u'（0）<0的變號解。并且，存在λ*∈（0，λ1]，使得當(dāng)λ∈（0，λ*）時，解是唯一的。

證明：根據(jù)時間映像分析法，我們只需證

（A）limp→rG2n（p）=0，（B）limp→θG2n（p）=λn。

首先，我們證明（A）：

根據(jù)（2）式，G2n（p）∶=2n∫p0duF（p）-F（u）+

（n+1）∫0qduF（q）-F（u），先考慮 n∫p0duF（p）-F（u）

=npF（p）∫10dv1-F（pv）F（p）（5）

設(shè)L（v）=F（pv）F（p），則L（0）=0，L（1）=1，L'（v）=pf（pv）F（p），L''（v）=p2f'（pv）F（p）。

又因為f（s）<0，s∈（0，β），f（s）>0，s∈（β，r），f'（s）≥0，故對于p∈（θ，r），有

L（v）≤v，v∈[0，1].根據(jù)（4）式得：

n∫p0duF（p）-F（u）≤npF（p）∫10dv1-v=2npF（p）（6）

又因為lims→rf（s）（r-s）=∞，存在M使得f（s）（r-s）>M，s∈（0，r），這樣

limp→rF（p）=limp→r∫p0Mr-tdt=limp→rM[-ln（r-p）+lnr]=∞，故limp→rp2F（p）=0。

其次，考慮

（n+1）∫0qduF（q）-F（u）=-（n+1）qF（q）∫10dv1-F（qv）F（q）（7）

設(shè)K（v）=F（qv）F（q），則K（0）=0，K（1）=1，K'（v）=qf（qv）F（q），K''（v）=q2f'（qv）F（q）。

又因為f（s）<0，s∈（-r，0），f'（s）>0，s∈（-r，0），故對于q∈（-r，0），有

K（v）≤v，v∈[0，1]，故

（n+1）∫oqduF（q）-F（u）≤-nqF（q）∫10dv1-v=-2（n+1）qF（q）（8）

又因為lims→-rf（s）（-r-s）=∞，存在M1使得f（s）（-r-s）>M1，s∈（-r，0），這樣

limq→-rF（q）≥limq→-r∫0qM1r+tdt=limq→-rM1[-ln（r+q）+lnr]=∞，故limq→-rq2F（q）=0，根據(jù)（5）和（7）得limp→rG2n（p）=0。

證明（B）： 當(dāng)p→θ時q→0，且F（θ）=0，有

limp→θG2n（p）=2n∫θ0du-F（u）=λn（9）

這樣我們證得（A）和（B），下面證存在λ*，由于

G'2n（p）∶=2n∫10H（p）-H（pv）（F（p）-F（pv））32dv-（n+

1）dpdq∫10H（q）-H（qv）（F（q）-F（qv））32dv

首先，考慮n∫10H（p）-H（pv）（F（p）-F（pv））32dv，其中，H（s）=F（s）-s2f（s），

H（s）=F（s）-s2f（s），H'（s）=12（f（s）-sf'（s）），H''（s）=-s2f''（s），又

f（0）<0，f''（s）>0，0

其次，考慮-（n+1）dpdq∫10H（q）-H（qv）（F（q）-F（qv））32dv，其中，

H（s）=F（s）-s2f（s），-dqdp>0，又f（0）<0，f''（s）<0，-r

lims→-r（f（s）-sf'（s））>0，因此，G'2n（p）<0

推論2類似定理1，我們可以得到類似的結(jié)論：

（1）問題（1）至少存在一個含有2n-1個零點且滿足u'（0）<0的變號解。并且，存在λ*∈（0，λ1]，使得當(dāng)λ∈（0，λ*）時，解是唯一的。

（2）問題（1）至少存在一個含有2n-2個零點且滿足u'（0）>0的變號解。并且，存在λ*∈（0，λ1]，使得當(dāng)λ∈（0，λ*）時，解是唯一的。

（3）問題（1）至少存在一個含有2n-1個零點且滿足u'（0）>0的變號解。并且，存在λ*∈（0，λ1]，使得當(dāng)λ∈（0，λ*）時，解是唯一的。

證明：類似問題（1）的證明，可以得到結(jié)論。

參考文獻(xiàn)

[1]A. Castro， R. Shivaji， Non-negative solutions for a class of non-positone problems[J]. Proc. Roy. Soc. Edin，1988（108A）： 291302.

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[3]K. J. Brown， M. A. Tbrahim， R. Shivaji， S-shaped bifurcation curves[J]. Nonlinear Anal， 1981，（5）：475486.

[4]S. Tersian ， J. Chaparova， Periodic and homoclinic solutions of extended Fisher Kolmogorov equations[J]. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 2000，（331）： 287292.

[5]R. Schaaf， Global solution branches of two point boundary value problems[J]. Springer Lecture Notes in Mathematics，1990，（1458）.