復(fù)雜系統(tǒng)中初始頻率的空間排列對(duì)相同步的影響

王 晨，馮 鑫，馬紅靜，劉 苑，聶 雅

(1.航天恒星科技有限公司，北京 100086； 2.石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，石家莊 050021；3.石家莊市第二職業(yè)中專學(xué)校，石家莊 050000; 4.河北地質(zhì)大學(xué)，石家莊 050031)

復(fù)雜系統(tǒng)中初始頻率的空間排列對(duì)相同步的影響

王 晨1，馮 鑫4*，馬紅靜2，劉 苑3，聶 雅4

(1.航天恒星科技有限公司，北京 100086； 2.石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，石家莊 050021；3.石家莊市第二職業(yè)中專學(xué)校，石家莊 050000; 4.河北地質(zhì)大學(xué)，石家莊 050031)

目前，對(duì)混沌復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的研究，使人們掌握了越來(lái)越多的混沌控制和同步的方法。對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的深入研究可以為混沌控制、混沌加密通信、神經(jīng)細(xì)胞動(dòng)力學(xué)以及人類行為動(dòng)力學(xué)等方面的應(yīng)用提供非常重要的理論基礎(chǔ)，所以對(duì)耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究具有重要的意義。在耦合的非全同混沌振子構(gòu)成的系統(tǒng)中，初始頻率的空間排列對(duì)系統(tǒng)達(dá)到全局相同的同步過(guò)程和同步能力是有顯著影響的。對(duì)于同步過(guò)程而言，初始頻率的空間排列不同則過(guò)程中形成同步集團(tuán)的情況也不同，從而其對(duì)同步能力的影響也不同；對(duì)于同步能力來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)達(dá)到相同步所需臨界耦合強(qiáng)度 的呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且其與粗糙度Kc的關(guān)系是分兩段單調(diào)的。

Rossler振子；臨界耦合強(qiáng)度；相同步能力；粗糙度

0 引 言

非線性振子通過(guò)不同形式的耦合會(huì)表現(xiàn)出諸如死亡、混沌和同步[1]等豐富的行為。對(duì)這些行為的深入研究有助于更好的理解自然系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，其中有關(guān)同步方面的研究涉及到物理、化學(xué)、生物以及社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域，對(duì)同步[2-5]的研究實(shí)現(xiàn)了跨學(xué)科融合。

關(guān)于同步的研究，研究成果主要集中在由全同振子組成的系統(tǒng)的完全同步和由非全同的相振子組成的系統(tǒng)的相同步上。而關(guān)于相同步，一般是周期振子通過(guò)相互之間的耦合作用得來(lái)，最常見(jiàn)的描述模型是Kuramoto振子。

在實(shí)際的生活中，參數(shù)失配隨處可見(jiàn)，相關(guān)研究表明，參數(shù)失配對(duì)于系統(tǒng)的同步能力有較大的影響。馬紅靜等人發(fā)現(xiàn)，在環(huán)形耦合的的非全同振子組成的系統(tǒng)中，參數(shù)的不同空間分布對(duì)于系統(tǒng)的同步能力有很大的影響[6]；同樣的，在非全同最近鄰耦合振子中，吳曄等人發(fā)現(xiàn)，在非全同耦合Kuramoto振子[7]中，初始頻率存在某種空間模式，可以用較小的耦合強(qiáng)度使得系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)相同步。

盡管人們對(duì)系統(tǒng)的相同步問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)且深入的研究，但是對(duì)于相同步研究的諸多細(xì)節(jié)方面，例如相同步的同步過(guò)程與同步所需耦合強(qiáng)度之間的關(guān)系，參數(shù)失配對(duì)于同步能力的影響等，仍然存在著許多不甚明確，甚至亟待解決的難題。在文獻(xiàn)[7]中，吳曄研究了耦合的相振子模型，結(jié)果表明初始頻率的空間分布對(duì)頻率同步的臨界耦合強(qiáng)度值具有一定的影響，并且為了更好的描述兩者之間的關(guān)系，特別定義了一個(gè)物理量，即粗糙度，發(fā)現(xiàn)臨界強(qiáng)度值與粗糙度是單調(diào)遞減的關(guān)系。以此為基礎(chǔ)，本文重點(diǎn)考查了耦合的混沌Rossler振子，并發(fā)現(xiàn)了一些與相振子模型不同的結(jié)論。

1 Rossler振子模型

我們考慮P(t)個(gè)環(huán)形耦合的非全同Rossler振子，如下式所示：

(1)

其中，

(2)

這里a=0.25，μ=15.0，K表示振子之間的耦合強(qiáng)度。式(1)表明，該系統(tǒng)具備周期性邊界條件，且對(duì)于不同的振子j，其初始頻率ωi也是不同的，即初始頻率具有參數(shù)失配，在本文中，每個(gè)振子的初始頻率ωi定義為：

(3)

定義ω0=0.90，δω表明相鄰振子間初始頻率的參數(shù)失配。其中G={g(1),g(2),...,g(N)}是{1,2,...,N}的某種排列。

在討論相同步之前，振子的相位定義為

(4)

2 同步過(guò)程

考查由多個(gè)振子構(gòu)成的系統(tǒng)的相位之間的關(guān)系，一直以來(lái)都是很有意義的課題，在這過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)用到的一個(gè)重要的考查工具就是——同步分岔樹(shù)，通過(guò)對(duì)同步分岔樹(shù)的觀察，我們可以得到隨著耦合強(qiáng)度變化，系統(tǒng)的內(nèi)部的分岔過(guò)程。

當(dāng)振子個(gè)數(shù)等于N的時(shí)候，在本文所規(guī)定的周期邊界條件下，初始頻率的排列種類有(N-1)!/2種，當(dāng)振子個(gè)數(shù)N取值比較大的時(shí)候，要想窮舉初始頻率的所有排列，是不太現(xiàn)實(shí)的，例如當(dāng)N= 9時(shí)，排列種類已高達(dá)20160種?；诖?，我們選取振子個(gè)數(shù)N較小的情況開(kāi)始討論。

在本研究中，我們?cè)敿?xì)討論了系統(tǒng)振子的個(gè)數(shù)取值為5，即N= 9，初始頻率的完全不重復(fù)的12種排列。為了清晰地觀察到系統(tǒng)振子實(shí)現(xiàn)相同步的詳細(xì)過(guò)程，我們逐個(gè)計(jì)算了在不同初始頻率排列條件下的系統(tǒng)同步分岔樹(shù)，如圖1所示，每張小圖的右上角的數(shù)字，如{1,3,5,2,4}，表明了初始頻率的空間排列，不同的顏色及形狀代表了不同的振子，例如黑色的方塊表示振子1，在這種條件下，系統(tǒng)達(dá)到相同步所需的耦合強(qiáng)度臨界值為Kc，其中頻率失配參數(shù)為δω=0.02。

圖1 當(dāng)振子數(shù)量為5時(shí)，初始頻率的12種不同的排列所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的同步分岔圖。其中，δω=0.02。

通過(guò)觀察同步分岔樹(shù)，可以看到隨著耦合強(qiáng)度的變化，耦合系統(tǒng)中振子同步分岔的具體過(guò)程，反映了復(fù)雜非線性系統(tǒng)內(nèi)部從混沌到同步的有序變化過(guò)程。當(dāng)耦合強(qiáng)度K=0時(shí)，系統(tǒng)中每個(gè)振子的相位φi的排列順序取決于初始頻率的排列順序。隨著耦合強(qiáng)度K的逐漸增大，同步分岔圖反映出振子如何一步步達(dá)到全局的相同步，很顯然，這是一個(gè)集團(tuán)化的過(guò)程。

隨著該系統(tǒng)中振子初始頻率的空間排列不同，其相同步過(guò)程也會(huì)隨之變化，同時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到相同步所需的臨界耦合強(qiáng)度Kc的取值也會(huì)發(fā)生變化。如圖1所示，在振子個(gè)數(shù)為N=9時(shí)，我們選取了當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到相同步所需耦合強(qiáng)度在12種排列中分別為最小，居中，最大的3種排列模式，分別為G={1,3,5,2,4}，G={1,4,2,3,5}和G={1,2,3,4,5}，下面將對(duì)這三種空間排列的同步過(guò)程依次討論。

情況一，當(dāng)系統(tǒng)初始頻率的空間排列為G={1,3,5,2,4}時(shí)，同步分兩階段形成。階段一，隨著耦合強(qiáng)度K取值的增加，振子2(圖1中紅色實(shí)心標(biāo)示)和振子4(圖1中墨綠色下三角標(biāo)示)率先達(dá)到同步；階段二，隨著耦合強(qiáng)度的繼續(xù)增大，當(dāng)其達(dá)到臨界耦合強(qiáng)度Kc=0.043時(shí)，振子1(圖1中黑色方塊標(biāo)示)，振子3(圖1中藍(lán)色上三角標(biāo)示)和振子5(圖1中粉色左三角標(biāo)示)幾乎同時(shí)達(dá)到同步狀態(tài)，加入由振子2和振子4組成的同步集團(tuán)，最終形成整體同步。

情況二，當(dāng)系統(tǒng)初始頻率的空間排列模式為G={1,4,2,3,5}，系統(tǒng)的同步過(guò)程也分為兩個(gè)階段，在階段一中，隨著耦合強(qiáng)度K取值的增加，振子3和振子4率先形成較小的同步集團(tuán)，但與情況一不同的是，這兩個(gè)振子的初始頻率和耦合距離都很相近；在階段二中，持續(xù)增加耦合強(qiáng)度K的取值，余下的三個(gè)振子依次按照振子2，振子5，振子1的順序相繼(與情況一G={1,3,5,2,4}中余下的振子同時(shí)加入的情形不同)加入同步集團(tuán)，達(dá)到系統(tǒng)的整體同步。

情況一和情況二的兩個(gè)同步分岔圖存在一個(gè)相同的方面，即系統(tǒng)的同步過(guò)程是分兩個(gè)階段形成的，具體來(lái)說(shuō)，在階段一先由兩個(gè)振子達(dá)到同步，進(jìn)而形成一個(gè)較小的同步集團(tuán)，接下來(lái)在階段二中隨著耦合強(qiáng)度的持續(xù)增大，該同步集團(tuán)繼續(xù)吸引其余振子或同時(shí)，或相繼加入同步集團(tuán)，最后達(dá)到系統(tǒng)的整體同步。

情況三，當(dāng)系統(tǒng)初始頻率的空間排列模式為G={1,2,3,4,5}，與情況一和二不同，系統(tǒng)的同步過(guò)程是分為三個(gè)階段形成的，在第一階段中，隨著振子之間的耦合強(qiáng)度值K持續(xù)增大，與情況二中的階段一極為相似，兩個(gè)初始頻率與耦合距離都相近的振子會(huì)率先形成同步集團(tuán)，但與情況二不同這里會(huì)形成兩個(gè)較小的同步集團(tuán)，由振子4和振子5同步構(gòu)成的一號(hào)集團(tuán)，以及由振子1和振子2同步構(gòu)成的二號(hào)集團(tuán)。在這里需要特別說(shuō)明的是，這兩個(gè)集團(tuán)的形成均是由于初始頻率和耦合距離都很相近，另外，為什么振子1和振子2組成了同步集團(tuán)，而不是與相鄰的振子5一起同步，是因?yàn)橄噍^于振子2，振子1與振子5之間的的初始頻率相差較遠(yuǎn)；在階段二中，持續(xù)增加耦合強(qiáng)度值，振子3和二號(hào)同步集團(tuán)同步，行成了一個(gè)更大的二號(hào)集團(tuán)(振子1，振子2，振子3組成)；在階段三中，隨著耦合強(qiáng)度值的進(jìn)一步增加，新形成的二號(hào)集團(tuán)與一號(hào)小集團(tuán)達(dá)到了同步，使系統(tǒng)形成了一個(gè)全局的同步集團(tuán)?；仡櫿麄€(gè)同步過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)首先系統(tǒng)幾乎同時(shí)形成了兩個(gè)同步集團(tuán)，分別是由振子4和振子5組成一號(hào)集團(tuán)和由振子1和振子2組成的二號(hào)集團(tuán)，然后持續(xù)增大耦合強(qiáng)度值，其中一個(gè)集團(tuán)吸收振子3達(dá)到同步，形成了新的更大的二號(hào)集團(tuán)，并進(jìn)而吞并了一號(hào)集團(tuán)，形成最后的同步。

圖2 當(dāng)振子數(shù)量為5時(shí)，初始頻率的12種不同的排列所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)的同步分岔圖。其中，δω=0.07。

上述分析均在δω=0.02時(shí)進(jìn)行，若參數(shù)失配程度不同，即δω取值發(fā)生變化時(shí)，從圖1可知當(dāng)表征參數(shù)失配程度的δω=0.02，且初始頻率的排列模式為G={1,3,5,2,4}的時(shí)候，達(dá)到全局同步時(shí)所需要的耦合強(qiáng)度值才能取到最小，即Kc；當(dāng)初始頻率的排列模式為G={1,2,3,4,5}時(shí)，完成全局同步所需的耦合強(qiáng)度值達(dá)到最大，即Kc。而當(dāng)表征參數(shù)失配程度δω=0.07時(shí)，系統(tǒng)全局同步過(guò)程和同步結(jié)果如圖2所示，可知在初始頻率的排列為G={1,4,2,3,5}的時(shí)候，達(dá)到同步所需的耦合強(qiáng)度最小，即Kc=0.071，當(dāng)初始頻率的排列為G={1,2,3,4,5}的時(shí)候，達(dá)到同步所需要的耦合強(qiáng)度的最大，即Kc=0.228。

通過(guò)圖1和圖2的對(duì)比以及同步過(guò)程的相關(guān)分析，可以清楚的看出，對(duì)于不同的參數(shù)失配程度(即不同的δω取值)，系統(tǒng)的同步能力達(dá)到最強(qiáng)(或最弱)時(shí)，其初始頻率的排列模式也是不同的，對(duì)偶來(lái)看，系統(tǒng)的同步能力同時(shí)受到參數(shù)失配程度和初始頻率空間排列的影響。由于系統(tǒng)的同步能力受到參數(shù)失配程度和初始頻率空間排列兩方面因素影響，所以，如果想簡(jiǎn)單判斷初始頻率的哪種空間排列能夠使得系統(tǒng)達(dá)到相同步所需臨界耦合強(qiáng)度值最大(或最小)卻是不可能了。

由圖1和圖2，觀察分析系統(tǒng)初始頻率全排列所對(duì)應(yīng)的同步分岔樹(shù)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在達(dá)到全局同步的過(guò)程中會(huì)呈現(xiàn)出一些規(guī)律?；仡櫱闆r一、二的同步過(guò)程，系統(tǒng)最先出現(xiàn)了一個(gè)且僅有一個(gè)同步集團(tuán)，并以此為核心，吸引余下振子與其同步，此類情況下，系統(tǒng)達(dá)到相同步所需臨界耦合強(qiáng)度較小；而若同步過(guò)程類似情況三，系統(tǒng)幾乎同時(shí)形成兩個(gè)地位相當(dāng)?shù)募瘓F(tuán)(如一號(hào)集團(tuán)和二號(hào)集團(tuán))，由于這兩個(gè)同步集團(tuán)之間的競(jìng)爭(zhēng)，使得系統(tǒng)達(dá)到相同步所需的臨界耦合強(qiáng)度值較大。

3 臨界耦合強(qiáng)度的分布及其與粗糙度的關(guān)系

類似于文獻(xiàn)[7]，我們還計(jì)算了臨界耦合強(qiáng)度的分布及其與粗糙度的關(guān)系。首先給出當(dāng)振子個(gè)數(shù)N=9時(shí)，臨界耦合強(qiáng)度Kc的概率分布p(Kc)，如下圖3所示，觀察紅色的擬合曲線，發(fā)現(xiàn)臨界耦合強(qiáng)度值Kc大致服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布：

(5)

參數(shù)為c=-128.133 24，a=126.139 79，β=0.23931，λ=-1.86246。

圖3 當(dāng)系統(tǒng)的振子個(gè)數(shù)為Bφν=λνφν，計(jì)算初始頻率的所有空間排列下系統(tǒng)達(dá)到相同步所需臨界耦合強(qiáng)度Kc，發(fā)現(xiàn)其概率密度函數(shù)P(Kc)滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布，如紅線所示，參數(shù)為c=-128.133 24，a=126.139 79，β=0.239 31，λ=-1.862 46。

其次，定義粗糙度為R=(ωi+1-ωi)2/N，其中R描述了時(shí)空格局耦合配置的表面性質(zhì)。通俗來(lái)講，當(dāng)R取值較大時(shí)，對(duì)于初始頻率ω較小的振子來(lái)說(shuō)，其相鄰的兩個(gè)鄰居的初始頻率會(huì)較大，如，圖4(a)中所示，初始頻率為1的振子的鄰居的初始頻率分別是N和N-1，初始頻率ω的取值接近中間范圍的振子一般而言是集中在一起，如圖4(a)所示初始頻率是N/2的振子的鄰居的初始頻率分別是N/2-1和N/2+1。當(dāng)R取值較小時(shí)，其存在的形式一般為相鄰振子之間的初始頻率差值也是很小的，如圖4(b)所示相鄰兩個(gè)振子之間的頻率大部分情況下為1。

圖4 當(dāng)初始頻率的參數(shù)失配程度δω=1的時(shí)候，使得粗糙度最大Rmax和最小Rmin的N個(gè)振子的初始頻率的兩種空間排列[7]。

如圖5所示，分別計(jì)算了在δω=0.02和δω=0.07的時(shí)候，Kc與R的取值，并分析了兩者之間的關(guān)系。當(dāng)振子的初始頻率的失配參數(shù)δω取值不同時(shí)，隨著粗糙度R取值的增大，系統(tǒng)達(dá)到相同步所需的臨界耦合強(qiáng)度值Kc的總體變化趨勢(shì)也呈現(xiàn)出不同的特點(diǎn)。但在這兩種情況下，并未呈現(xiàn)出明顯的趨勢(shì)變化規(guī)律，因此很難討論清楚兩者的關(guān)系是怎樣的。

圖5 在參數(shù)失配程度不同((a)δω=0.02；(b)δω=0.07)時(shí)，臨界耦合強(qiáng)度值Kc與粗糙度R的關(guān)系。圖中空心圓表示粗糙度R，實(shí)心圓表示臨界耦合強(qiáng)度值Kc。

為了深入討論Kc-R之間的關(guān)系，本研究窮舉計(jì)算了20 160種初始頻率的空間排列(即遍歷了9個(gè)振子的全部不重復(fù)排列)情況下，系統(tǒng)達(dá)到全局相同步時(shí)所需的臨界耦合強(qiáng)度Kc和粗糙度R。計(jì)算結(jié)果表明，初始頻率的空間排列、粗糙度和臨界耦合強(qiáng)度這三者之間不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。具體來(lái)說(shuō)：(1)雖然粗糙度由初始頻率的空間排列決定，但反之不成立，即存在當(dāng)系統(tǒng)的初始頻率的空間排列不同時(shí)，粗糙度R有可能相同，例如當(dāng)初始頻率的空間排列為G={1,2,4,5,6,8,9,7,3}和G={1,2,3,6,7,9,8,5,4}時(shí)，二者的粗糙度R取值相同，均為R=4。(2)雖然一般情況下，粗糙度R相同，所需臨界值Kc也相同的。例如G={1,2,4,5,6,8,9,7,3}和G={1,2,4,8,9,7,6,5,3}，粗糙度都為R=4，同步所需臨界耦合強(qiáng)度值也同為Kc=0.215，但是也存在，粗糙度取值R相同時(shí)，系統(tǒng)同步所需臨界耦合強(qiáng)度值Kc不同的情況，例如當(dāng)初始頻率的空間排列為G={1,2,4,5,6,8,9,7,3}和G={1,2,3,6,7,9,8,5,4}時(shí)，二者的粗糙度取值相同，均為R=4，但臨界耦合輕度分別為Kc=0.215和Kc=0.16；如此，我們計(jì)算了在相同的粗糙度R下，系統(tǒng)所需臨界耦合強(qiáng)度的平均值，給出了〈Kc〉-R的關(guān)系，如圖6。

圖6 窮舉計(jì)算了20160種初始頻率的空間排列，即9個(gè)振子的所有無(wú)重復(fù)的排列，在每種情況下計(jì)算Kc和粗糙度R，對(duì)R相同的空間排列求Kc的平均值。紅線是Lognormal擬合，參數(shù)分別為c=0.076 03，a=2.721 88，β=0.914 46，λ=-2.734 49。

圖6中所呈現(xiàn)的臨界耦合強(qiáng)度的均值〈Kc〉與粗糙度R的關(guān)系，不同于Kuramoto振子中〈Kc〉-R的單調(diào)遞減關(guān)系[7]。在圖6中，隨著粗糙度增大，但不超過(guò)某個(gè)閾值時(shí)(在本文中閾值取值為7.5)，系統(tǒng)同步所需臨界耦合強(qiáng)度值〈Kc〉表現(xiàn)出單調(diào)遞增的性質(zhì)；當(dāng)粗糙度超過(guò)某個(gè)閾值(本文中閾值取值為7.5)時(shí)，隨著粗糙度R增大，系統(tǒng)同步所需臨界耦合強(qiáng)度〈Kc〉越小，呈現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢(shì)。圖6的紅色曲線是通過(guò)對(duì)數(shù)正態(tài)分布來(lái)擬合，該曲線的達(dá)到極大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的粗糙度即為上述討論中的閾值，該曲線的相關(guān)參數(shù)分別為c=0.07603，a=2.72188，β=0.91446，λ= -2.7344。

4 結(jié) 語(yǔ)

由圖1至圖6的計(jì)算分析可知，在耦合的非全同混沌振子構(gòu)成的系統(tǒng)中，初始頻率的空間排列對(duì)系統(tǒng)達(dá)到全局相同的同步過(guò)程和同步能力是有顯著影響的。具體來(lái)說(shuō)，(1)對(duì)于同步過(guò)程而言，從初始頻率的每種排列下給出的系統(tǒng)的同步分岔樹(shù)可以看出，初始頻率的空間排列不同，同步過(guò)程中形成同步集團(tuán)的情況也不同， 從而其對(duì)同步能力的影響也不同；(2)對(duì)于同步能力而言，系統(tǒng)達(dá)到相同步所需臨界耦合強(qiáng)度Kc的呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其與表征自然頻率空間分布特征的粗糙度R的關(guān)系是分兩段單調(diào)的，兩段區(qū)間的分界點(diǎn)是〈Kc〉所對(duì)應(yīng)的粗糙度R。本研究是較為基礎(chǔ)的理論研究，其意義可能更多是對(duì)于混沌振子同步過(guò)程的不斷深化認(rèn)識(shí)，有助于更好地理解復(fù)雜系統(tǒng)的同步過(guò)程。具體來(lái)說(shuō)本研究中涉及到參數(shù)分布對(duì)振子集體行為的影響，對(duì)耦合系統(tǒng)的自組織控制有現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。

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Effects of Spatial Frequencies Distributions on the Phase Synchronization

WANG Chen1, FENG Xin4, MA Hong-jing2, LIU Yuan3,Nie Ya4

(1. Space Star Technology Co. Ltd, Beijing 100086; 2. Shijiazhuang Posts and Telecommunications Technical College, Shijiazhuang 050021; 3. No.2 Vocational High School, Shijiazhuang 050000; 4. Hebei GEO University, Shijiazhuang 050031)

Rich dynamics of the chaotic systems had been explored and revealed by the researchers since great efforts had been stress on the nonlinear dynamics research. In this paper, the effects of the spatial frequencies distributions on the efficiency of phase synchronization are explored in an array of coupled oscillators with diverse natural frequencies distributions. A universal log-normal distribution of the critical coupling strength Kc for phase synchronization is found. Moreover, the efficiencies of the phase synchronization increase monotonously with the roughness of the spatial configuration of the frequencies.

Rossler oscillator; critical coupling strength; phase synchronization; roughness

10.3969/j.issn.1673-5692.2017.04.012

2017-06-01

2017-08-01

教育部人文社科青年基金項(xiàng)目(16YJC630022)；中國(guó)高等教育學(xué)會(huì)信息化專項(xiàng)(2016XXYB18)；河北地質(zhì)大學(xué)博士科研基金項(xiàng)目(BQ201607)；河北地質(zhì)大學(xué)國(guó)家預(yù)先研究項(xiàng)目(KY201701)；河北省社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目(HB16GL023)；河北軟科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目(154576288)。

王 晨(1985—)，男，漢，天津人，工程師，博士，研究方向?yàn)檐浖こ蹋瑥?fù)雜系統(tǒng)；

E-mail：coolmmmm@163.com

馮 鑫(1986—)，男，漢，河北石家莊人，講師，博士，研究方向?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)，數(shù)據(jù)挖掘，行為分析(通訊作者)；

E-mail：149987543@qq.com

馬紅靜(1985—)，女，漢，河北石家莊人，講師，博士，研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；

劉 苑(1985—)，女，漢，河北石家莊人，二級(jí)教師，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)據(jù)挖掘；

聶 雅(1985—)，女，講師，碩士，河北地質(zhì)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，研究方向?yàn)橛?jì)量經(jīng)濟(jì)、數(shù)據(jù)挖掘。

O322

A

1673-5692(2017)04-394-06