淺談幾何證明

才讓吉

摘 要：幾何證明，就是用理論演繹的方式，來(lái)斷定圖形的真實(shí)性質(zhì)的記敘。證明的主要任務(wù)是在于說(shuō)明為什么在一定條件之下必然產(chǎn)生一定的結(jié)論，即要提出根據(jù)，證實(shí)結(jié)論的真確性，揭發(fā)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。幾何證明的步驟包括分析、證明、整理三大部分，必要時(shí)在證明期間可以用到舉例法證實(shí)證明的成立性。在實(shí)際生活中，我們也要利用幾何證明來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。大到建筑工程的設(shè)計(jì)，小到一個(gè)汽車(chē)金屬配件都會(huì)用到幾何證明。用已知的一些知識(shí)體系來(lái)談幾何文化，雖然我對(duì)幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)也有很多不足和了解不深入、不透徹之處，但是隨著我學(xué)習(xí)的深入和閱讀大量的文獻(xiàn)及對(duì)本文更加深刻的理解，已有的這些不足、不深入、不透徹之處我將認(rèn)真的彌補(bǔ)。

關(guān)鍵詞：幾何證明 綜合法 分析法 解圖

1.幾何證明概述

1.1定義

幾何證明的定義是首先從某幾何的中已知條件、概念和定義出發(fā)，用公式來(lái)證明命題。所以我們必須把握定義和公理及定理中設(shè)題、結(jié)論和圖像“三個(gè)要素”。如：

例1 設(shè)直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)為C，斜邊AB的中點(diǎn)為D，則CD=AB.

證明：如圖1-1所示，延長(zhǎng)CD，使CD=ED，則有DA=DB，DC=DE，∠C=∠B。

所以ACBE是矩形?！郈E=AB，∴CD=AB

在例題1中我們利用已知條件來(lái)推到證明的過(guò)程，然后尋求未知條件。在已知條件中我們還可以考慮按照題目來(lái)畫(huà)幾何圖（圖1-1），顯然容易證明題目的要求。

1.2經(jīng)典證明

數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，得出的結(jié)論都要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，除了代數(shù)運(yùn)算或幾何運(yùn)算之外最多的是幾何證明。幾何證明的經(jīng)典方法可分為三個(gè)方面。

第一、在已知情況的條件下，我們可以很輕松的通過(guò)推理理論，結(jié)出證明。

第二、通過(guò)求證，分析出證明依據(jù)的論點(diǎn)，找到已知條件。

第三、通過(guò)以上兩個(gè)方面，找出他們之間的聯(lián)系，將思維過(guò)程完整化。

2.幾何證明的基本方法

2.1綜合法和分析法

在幾何證明過(guò)程中我們常會(huì)利用兩種方法來(lái)證明，比如；直接方法和簡(jiǎn)介方法，其中簡(jiǎn)介有兩種，反證法和同一法，反證法也有兩種，歸謬法和窮舉法?？偟膩?lái)說(shuō)就是綜合法和分析法。

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公里等，經(jīng)過(guò)一系列的推理證明，最后推到出所需要證明結(jié)論成立。這種證明方法叫做綜合法。

一般地，從證明的結(jié)論出發(fā)，追步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公里等）為止，這種證明方法叫做分析法。

3.幾何證明的基本步驟

3.1分析

分析是幾何證明的第一條件，當(dāng)然也要了解題目的內(nèi)容，要清楚題目給了什么條件，用什么方法，然后要詳細(xì)分析，一般情況下，分析題目時(shí)應(yīng)該找出相關(guān)的定理、定義、概念、公式等等。另一方面，要根據(jù)命題畫(huà)圖，在畫(huà)圖時(shí)要尋找圖的特點(diǎn)來(lái)解圖證明，但有些圖沒(méi)法直接證明，所以經(jīng)常會(huì)用到中線(xiàn)、切線(xiàn)、平分線(xiàn)、等輔助線(xiàn)來(lái)解決。一般情況下，幾何證明過(guò)程中不寫(xiě)分析的過(guò)程，除非是特殊情況，但在腦海里一定要有詳細(xì)的分析，否則容易證錯(cuò)。

3.2證明

一般情況下，證明是要把某個(gè)題目的內(nèi)容了解清楚，然后詳細(xì)的分析后，利用已知條件或者未知條件來(lái)一件一件證明，證明時(shí)一定要把心路歷程寫(xiě)清楚有邏輯又不繁瑣冗長(zhǎng)，證明的推理過(guò)程是最重要，也可以說(shuō)在幾何證明的命是證明的過(guò)程，所以證明的過(guò)程是必須要的，在證明時(shí)可以找出很多輔助線(xiàn)來(lái)簡(jiǎn)化證明。

3.3整理

整理是根據(jù)已知對(duì)求證進(jìn)行證明的結(jié)果。如：

例5如圖3-1所示，已知在△ABC中平分外角∠EAC，∠B=∠C。

求證：AD∥BC

分析：要證AD∥BC.∠EAD=∠B.由∠B=∠C（已知條件），∠EAC=∠B+∠C（三角形外角定理）EAC=2∠B又由AD平分外角∠EAC∠EAC=2∠EAD2∠EAD=2EAD=2∠B∠EAD=∠B

注：分析中使用符號(hào)“”是表示“需證”的意思。根據(jù)上述分析以及分析法與綜合法之間的關(guān)系，不難寫(xiě)出本體的證明過(guò)程。

證明：∵∠B=∠C（已知條件），∠EAC=∠B+∠C（三角形外角定理）

∴∠EAC=2∠B（等量代換）

又∵AD平分外角∠EAC（已知條件）

∴∠EAD=2∠B（角平分線(xiàn)定義）

∴AD∥BC

總之舉例法是在學(xué)幾何證明中最通用、最基礎(chǔ)的、不可缺少的方法。我們經(jīng)常利用舉例法進(jìn)行證明，當(dāng)然這三個(gè)證明的方法也要熟悉了解。無(wú)論幾何證明還是現(xiàn)實(shí)生活中有都會(huì)有與這個(gè)相似的例題。

結(jié)束語(yǔ)

從我小學(xué)升入初中再到高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，幾何成為了我學(xué)習(xí)中最大的障礙，幾何證明的難度也很大。因?yàn)閹缀位径际浅橄蟮母拍?，需要較強(qiáng)的邏輯思維能力和空間想象能力，所以很多學(xué)生都不愿學(xué)。

我們生活中最熟悉最常見(jiàn)的例子來(lái)分析，先從幾何證明的概念和定義作經(jīng)典的證明，再?gòu)膸缀蔚幕舅悸芳胺椒ê蛶缀巫C明的基本的步驟。一般來(lái)說(shuō)正確的數(shù)學(xué)結(jié)論的形成需要“發(fā)現(xiàn)”和“證明”兩個(gè)主要階段，在這兩個(gè)階段中都包含著“過(guò)程”。

參考文獻(xiàn)：

[1] 錢(qián)華.初中幾何證明教學(xué)研究-從說(shuō)理到證明[J].2008.湖南師范大出版社.2008.

[2] 許莼舫.許莼舫初等幾何四種[M].中國(guó)青年出版社.1978.

[3] 張玲釣.淺談初中幾何證明的教學(xué)[J].甘肅教育出版社，2009.

[4] 張震康.淺談幾何證明的方法及思路[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)雜志社.2012（4）

[5] 王兵.幾何學(xué)的思想與方法[M].濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2009.

[6] 朱德祥.朱維宗.初等幾何研究[M].北京：高等教育出版社，2003.1：13-14

[7] 課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.數(shù)學(xué)（選修2）[M].北京：人民教育出版社.2007.

[8] 課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.數(shù)學(xué)：幾何證明選講（選須4—1）[M].北京：人民教育出版社.2007.