有限元方法在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中的應(yīng)用

曹瑞峰++喬羽++高鵬

摘要：有限元法（FEM：FiniteElementMethod）作為一種最有效的數(shù)值方法，在工程實(shí)際中得到了廣泛、深入的應(yīng)用。本文闡述了FEM應(yīng)用的有關(guān)過程，介紹了結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)及其有限元方法的研究內(nèi)容，重點(diǎn)探討了作為結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析重要手段的模態(tài)分析的研究過程。

關(guān)鍵詞：有限元法；結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)；模態(tài)分析

1引言

FEM作為求解數(shù)學(xué)物理問題的一種數(shù)值方法，已經(jīng)歷了60余年的發(fā)展。有限元方法半個(gè)世紀(jì)以來已經(jīng)由彈性力學(xué)平面問題擴(kuò)展到板殼問題和空間問題，從靜力學(xué)問題擴(kuò)展到穩(wěn)定性問題和動(dòng)力問題，從一般的線性求解問題擴(kuò)展到非線性求解問題，從典型的固體力學(xué)問題的研究擴(kuò)展到相對復(fù)雜的流體力學(xué)等其他物理場的研究，從相對單一簡單的物理場研究與計(jì)算擴(kuò)展到多物理場的耦合問題的計(jì)算[1]。隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，各種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)層出不窮，新興結(jié)構(gòu)相繼出現(xiàn)，因而以經(jīng)驗(yàn)、類比和靜態(tài)設(shè)計(jì)為設(shè)計(jì)方法的傳統(tǒng)工程設(shè)計(jì)方法已經(jīng)無法適應(yīng)現(xiàn)代工程設(shè)計(jì)的需要，傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)開始向著動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)變。在此過程中，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問題的研究起到了至關(guān)重要的作用。

2 FEM的應(yīng)用過程[2]

2.1 問題的數(shù)學(xué)描述：建立微分方程及給出工程問題的邊界條件作為列有限元方程的前提，運(yùn)用數(shù)學(xué)方程和表達(dá)式對客觀的工程問題進(jìn)行描述

2.2 有限元方程的建立：建立一組可以用數(shù)值方法來求解的有限元方程，在建立有限元方程過程中通常會(huì)用到有限元理論中典型的原理和方法（例如利用變分原理，通過離散、單元分析、整體分析等過程來對有限元問題進(jìn)行求解）

2.3 算法研究：在考慮有限元計(jì)算條件的前提下，利用最優(yōu)算法對計(jì)算量巨大的有限元方程進(jìn)行精確而有效地計(jì)算

2.4 程序開發(fā)：利用計(jì)算機(jī)程序來實(shí)現(xiàn)算法的求解

2.5 有限元建模：也即為有限元計(jì)算的前處理過程。它為數(shù)值計(jì)算提供所有原始輸入數(shù)據(jù)（節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)、單元數(shù)據(jù)和邊界條件數(shù)據(jù)）

2.6 數(shù)值計(jì)算：有限元的數(shù)值計(jì)算是由一系列的計(jì)算機(jī)程序而組成，這樣的計(jì)算程序又被稱之謂求解器。特定類型的計(jì)算程序完成特定類型的有限元計(jì)算

2.7 結(jié)果處理：也即為有限元計(jì)算的后處理過程。它對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行處理、顯示、運(yùn)算和列表等

從過程（2.1）到過程（2.7）是求解有限元問題最典型而又完整的過程，合理運(yùn)用這一過程可以使有限元問題得以求解。然而，對于大多數(shù)實(shí)際工程問題都是已知的問題，因此可以省略前四步過程而可從第（5）步開始，即直接利用已有的FEA系統(tǒng)（例如ANSYS、ADAMSD等大型商業(yè)軟件系統(tǒng)），建立有限元模型。

3 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究內(nèi)容

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)載荷作用下產(chǎn)生響應(yīng)的規(guī)律的科學(xué)，或者說是研究結(jié)構(gòu)、動(dòng)載荷和響應(yīng)三者關(guān)系的科學(xué)[3]。

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題的有限元法，實(shí)質(zhì)就是將一個(gè)彈性連續(xù)體的振動(dòng)問題離散為一個(gè)以有限個(gè)節(jié)點(diǎn)位移為廣義坐標(biāo)的多自由度的振動(dòng)問題。其基本原理和方法類同于靜力學(xué)問題的有限元法，按照桿梁、薄板等不同結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。不同的是，應(yīng)用振動(dòng)理論建立動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，在單元分析中除需要形成剛度矩陣外，還需要形成質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣；在整體分析中，不僅求動(dòng)力響應(yīng)還有求解特征值問題（結(jié)構(gòu)振動(dòng)的固有頻率及其相應(yīng)的模態(tài)）。在動(dòng)力分析中，由于慣性力和阻尼力出現(xiàn)在平衡方程中，因此引入了質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，最后得到求解方程不是代數(shù)方程，而是常微分方程。

3.1 模態(tài)分析的研究內(nèi)容與現(xiàn)狀

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的模態(tài)分析作為一種“逆問題”分析方法在求解動(dòng)力學(xué)問題方面經(jīng)歷了將近50年的發(fā)展。模態(tài)分析是根據(jù)結(jié)構(gòu)的固有特性，包括頻率、阻尼和模態(tài)振型，這些動(dòng)力學(xué)屬性描述結(jié)構(gòu)的過程。機(jī)械結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)之中，機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題尤其是共振問題是機(jī)械設(shè)計(jì)工程師需要特別關(guān)心的，機(jī)械結(jié)構(gòu)的共振或疲勞引起的結(jié)構(gòu)破壞通常是因?yàn)樵谠O(shè)計(jì)過程之中沒有很好的解決振動(dòng)問題。因此模態(tài)分析對于熟悉和了解機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性起到了重要的作用，進(jìn)而可以避免在實(shí)際工況中因?yàn)闄C(jī)械結(jié)構(gòu)的共振造成結(jié)構(gòu)損壞。

3.2 ANSYS模態(tài)分析

ANSYS軟件是集結(jié)構(gòu)、熱、流體、電磁、聲學(xué)于一體的大型通用有限元商用分析軟件，可廣泛應(yīng)用于核工業(yè)、鐵道、石油化工、航空航天、機(jī)械制造、能源、電子、造船、汽車交通、國防工業(yè)、土木工程、生物醫(yī)學(xué)、輕工、地礦、水利、日用家電等一般工業(yè)及科學(xué)研究。

ANSYS的模態(tài)分析過程包括四個(gè)步驟：

建立模型：建立項(xiàng)目名稱并給定標(biāo)題，定義單元屬性（包括單元類型和實(shí)常數(shù)）、材料屬性以及模型的其他相關(guān)幾何性質(zhì)；

（2）加載與求解：定義分析類型和分析選項(xiàng)，施加約束和載荷，指定模態(tài)階數(shù)和頻率范圍，求解。應(yīng)該注意的是模態(tài)分析與靜力學(xué)分析不同，模態(tài)分析中唯一有效的載荷是零位移約束；

（3）擴(kuò)展模態(tài)：將振型寫入結(jié)果文件，只有擴(kuò)展模態(tài)后才能在后處理中看到振型；

（4）后處理：經(jīng)過擴(kuò)展模態(tài)后，模態(tài)分析的結(jié)果包括固有頻率、擴(kuò)展的模態(tài)振型、相對應(yīng)力和力分布將被寫入到結(jié)構(gòu)分析結(jié)果文件中去。

ANSYS提供了六種模態(tài)提取方法[4]：

（1）子空間迭代法：用于求解特征值對稱的大矩陣問題；

（2）分塊法：也可用于以上的問題求解，收斂速度更快；

（3）縮減法：這種方法較子空間迭代法速度快，但準(zhǔn)確性相對要較差。使用縮減法時(shí)，必須仔細(xì)選擇主自由度；

（4）阻尼法：有些問題阻尼不能忽略，阻尼法允許在結(jié)構(gòu)中包含阻尼因素。

（5）Power Dynamic法：用于非常大的模型，主要是用在求解結(jié)構(gòu)的前幾階模態(tài)以了解模型特征的問題；

（6）非對稱矩陣法：用于求解模型生成的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣存在不對稱的問題；

4 結(jié)束語：

FEM是20世紀(jì) 50年代發(fā)展起來的一種數(shù)值計(jì)算方法，隨著有限元理論研究的逐步深入和計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，F(xiàn)EM在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]于亞婷，杜平安，王振偉.有限元法的應(yīng)用現(xiàn)狀研究[J].機(jī)械設(shè)計(jì)，2005，22（3）：6-8.

[2]王勖成，邵敏.有限單元法基本原理與數(shù)值方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，1998.

[3]白松，徐新喜，高振海等.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究及其在機(jī)動(dòng)衛(wèi)生裝備中的應(yīng)用[J].醫(yī)療衛(wèi)生裝備，2010，31（9）：45-49.

[4]程坤.PCR_80冷輾擴(kuò)機(jī)模態(tài)分析及整機(jī)剛度多目標(biāo)優(yōu)化[碩士學(xué)位論文].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)，2005，（4）：27.endprint