二維邊坡穩(wěn)定性分析的最小勢(shì)能法新解

孫加平 卜偉斐 胡金木 溫樹杰

?(江西工業(yè)工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院采礦與建筑工程系，江西萍鄉(xiāng)337055)

?(江西理工大學(xué)建筑與測繪工程學(xué)院，江西贛州341000)

二維邊坡穩(wěn)定性分析的最小勢(shì)能法新解

孫加平?,1)卜偉斐?胡金木?溫樹杰?

?(江西工業(yè)工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院采礦與建筑工程系，江西萍鄉(xiāng)337055)

?(江西理工大學(xué)建筑與測繪工程學(xué)院，江西贛州341000)

針對(duì)最小勢(shì)能法研究的不足，通過條塊虛位移方向的靜力平衡方程確定滑面上剪應(yīng)力的解析解，構(gòu)建了一種新的剪切勢(shì)能計(jì)算模型.同時(shí)，提出了一種多地層邊坡穩(wěn)定性分析方法.算例結(jié)果表明：剪切勢(shì)能對(duì)邊坡穩(wěn)定性系數(shù)會(huì)產(chǎn)生影響，使得計(jì)算結(jié)果更為合理；運(yùn)用文中方法計(jì)算得到邊坡穩(wěn)定性系數(shù)與極限平衡法的結(jié)果較為一致，表明文中的計(jì)算方法是可行且合理的；文中多地層邊坡的計(jì)算模型，考慮了土層滑面長度以及法向力對(duì)邊坡抗剪強(qiáng)度的貢獻(xiàn)，且計(jì)算簡便，易于工程人員使用.

最小勢(shì)能,滑面,剪應(yīng)力,邊坡,穩(wěn)定性系數(shù)

邊坡的穩(wěn)定性分析是巖土工程中的熱點(diǎn)問題，引起了研究者的關(guān)注[12].最小勢(shì)能法作為邊坡穩(wěn)定性分析的方法之一是近幾年逐漸發(fā)展起來的[36].如文獻(xiàn) [7]擴(kuò)展了最小勢(shì)能法邊坡穩(wěn)定性分析的適用范圍，將其應(yīng)用于擋土墻加固邊坡的穩(wěn)定性分析中；文獻(xiàn)[8]研究了錨桿作用下邊坡穩(wěn)定性的最小勢(shì)能法，說明了最小勢(shì)能法在加固邊坡的穩(wěn)定性分析中仍是適用的.因而，上述研究仍可從以下方面進(jìn)行補(bǔ)充：其一，考慮滑面儲(chǔ)存的剪切勢(shì)能，構(gòu)建一種適用于任意形狀滑面的計(jì)算模型；其二，對(duì)于復(fù)雜邊坡的穩(wěn)定性計(jì)算，文獻(xiàn)[4]的計(jì)算方式較為復(fù)雜，并且將地基系數(shù)用上覆土層的平均重度代替,地基系數(shù)與容重量綱相同，但二者不在同一個(gè)數(shù)量級(jí).因而，需要探索出一種簡便有效的解法.

因此，本文針對(duì)非加固邊坡問題，運(yùn)用最小勢(shì)能法構(gòu)建了一種適用于任意形狀滑面的計(jì)算模型,不僅在接觸點(diǎn)設(shè)置法向彈簧,而且增加了滑面切向剪切勢(shì)能.同時(shí)，給出適用于復(fù)雜邊坡穩(wěn)定性分析的計(jì)算方法.為驗(yàn)證文中計(jì)算方法合理性，運(yùn)用該法計(jì)算了兩個(gè)算例的穩(wěn)定性系數(shù)，并將得到的結(jié)果與極限平衡法進(jìn)行對(duì)比.

1 二維均質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析方法

1.1 滑面法向彈性勢(shì)能

對(duì)于如圖1所示的均質(zhì)邊坡，已知潛在滑面方程為y=f(x)，土體容重γ，土體內(nèi)摩擦角?，黏聚力c.建立模型時(shí)采用如下假定：(1)滑體為剛性體，沿滑面法向、切向分別產(chǎn)生彈性變形、剪切變形，并儲(chǔ)存彈性勢(shì)能、剪切勢(shì)能；(2)剛度系數(shù)ki的彈簧模擬滑面法向彈性變形，且ki=mli(li為滑面微段長度).其中，m是地基系數(shù)，均質(zhì)土的計(jì)算可將其消去[3]；(3)邊坡在合外力R=(Rx,Ry)作用下產(chǎn)生虛位移d，使系統(tǒng)勢(shì)能最小.

圖1 任意形狀均質(zhì)邊坡圖

根據(jù)假定(2)可得滑面的法向力Ni為

式中η為滑面外法線單位方向向量.則沿滑面法向儲(chǔ)存的總彈性勢(shì)能Πe為

1.2 滑面切向剪切勢(shì)能

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[8]可知，坡體的剪切勢(shì)能Πτi為

式中,Vi為剪切變形影響的土體體積，且Vi=hili；δi為土體的切應(yīng)變；為儲(chǔ)存剪切勢(shì)能的剪應(yīng)力.

如圖 1所示，土體受剪切變形影響的深度為hi，滑床與滑體沿著滑面切向產(chǎn)生相對(duì)位移 d′= |ee′|，則

式中t為滑面切向單位向量.

圖2為從圖1中任取的土條，由于邊坡失穩(wěn)沿土體抵抗力最小的方向d，故假定土條條間力與虛位移方向一致，并將條塊i的條間力記為Ei和Ei+1.其中 ? =且 dΔE為條間力合力 ΔEi的單位向

圖2 土條受力分析圖

令 d單位向量 量，則條塊沿虛位移方向應(yīng)滿足

式中,cosω為法向力與虛位移夾角余弦，且cosω= η·du；cos?是剪應(yīng)力與虛位移夾角余弦；cos?為合外力與虛位移夾角余弦；cosυ為條間力合力與虛位移夾角余弦；Ri為作用于土條上的合外力.

由式(5)得滑面上任意一點(diǎn)剪應(yīng)力為

由式(3),式(4),式(6)得條塊儲(chǔ)存的剪切勢(shì)能為

由于條間力合力ΔE與d方向一致，故而dΔE· d=|d|，則整個(gè)滑面剪切勢(shì)能Πτ為

由于條塊間的力為作用力與反作用力，則

1.3 虛位移及穩(wěn)定性系數(shù)的求解

滑體系統(tǒng)儲(chǔ)存的總勢(shì)能Π為

系統(tǒng)勢(shì)能最小時(shí)，式(10)的一階導(dǎo)數(shù)滿足

解式(11)便可求得虛位移d=(dx,dy)，則滑面上的法向力Ni以及剪切力Ti為

穩(wěn)定性系數(shù)Fs為滑面上的法向力、剪切力沿著虛位移方向上投影得到的抗滑力與合外力沿著虛位移方向上投影得到的下滑力比值，即

2 均質(zhì)邊坡算例驗(yàn)證

如圖3所示的均質(zhì)邊坡，滑面形狀為圓弧形，坡高h(yuǎn)=20m，其余參數(shù)均在圖中示出.

經(jīng)計(jì)算可得邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)Fs=1.687，為驗(yàn)證本文方法的合理性，將本文結(jié)果與其余算法進(jìn)行對(duì)比，如表1所示.

從表1可得到以下結(jié)論：(1)本文方法與其余算法結(jié)果較為接近，相對(duì)誤差范圍為0.09%～3.6%，可見本文方法是合理且可行的；(2)本文的結(jié)果略高于文獻(xiàn)[8]，作者認(rèn)為原因如下：該文認(rèn)為滑面上的剪應(yīng)力均勻分布，這樣有可能低估了滑面上的剪應(yīng)力，而本文的計(jì)算模型給出滑面上任意點(diǎn)的剪應(yīng)力，與實(shí)際情況更吻合；(3)同時(shí)，若忽略滑面上剪切勢(shì)能，按照本文理論計(jì)算的結(jié)果與極限平衡法誤差較大，相對(duì)誤差達(dá)30%～34%，而考慮剪切勢(shì)能的結(jié)果與其余算法更為接近，因而在二維邊坡穩(wěn)定性分析中考慮滑面上的剪切勢(shì)能是合理的.作者認(rèn)為原因如下：從式(2)、式(11)可以看出通過最小勢(shì)能原理推出了一個(gè)三力平衡方程，且其中的兩個(gè)力為法向力、合外力.顯然，若忽略了剪切勢(shì)能，推出的力平衡方程將只有法向力與合外力.既然如此，法向力與合外力應(yīng)滿足二力平衡.事實(shí)上，這是不可能的.因此，考慮滑面上的剪切勢(shì)能將使建立的力學(xué)分析模型更合理與嚴(yán)謹(jǐn).

圖3 均質(zhì)邊坡算例

表1 各種方法下的穩(wěn)定性系數(shù)

為進(jìn)一步增強(qiáng)本文方法的說服力，采用控制變量法研究單因子對(duì)邊坡穩(wěn)定性系數(shù)的影響，并將所得的結(jié)果與其余方法對(duì)比，計(jì)算結(jié)果見表2和表3.

表2 不同黏聚力下的邊坡穩(wěn)定性系數(shù)

表3 不同內(nèi)摩擦角下的邊坡穩(wěn)定性系數(shù)

從表中可以看出，本文方法與其余方法的結(jié)果較為接近.經(jīng)計(jì)算可知，本文方法與其余算法得到的穩(wěn)定性系數(shù)相對(duì)誤差均未高于5%，表明本文方法可以用于邊坡的穩(wěn)定性分析.此外，兩表中的數(shù)據(jù)表明：本文方法得到的穩(wěn)定性系數(shù)與土體的抗剪強(qiáng)度參數(shù)呈現(xiàn)線性正相關(guān)的變化規(guī)律，其余的算法同樣如此.事實(shí)上，這已是業(yè)界人士的共識(shí)，再次表明了本文計(jì)算方法的合理性與適用性.其實(shí)，從式 (12)和式(13)也可以看出，穩(wěn)定性系數(shù)與抗剪強(qiáng)度參數(shù)(內(nèi)摩擦角、黏聚力)符合單調(diào)遞增的函數(shù)關(guān)系.因而，隨著抗剪強(qiáng)度參數(shù)數(shù)值的增大，穩(wěn)定性系數(shù)也必然增大.同時(shí)，從表2和表3數(shù)據(jù)還可以看出，本文方法與Bishop法、Janbu法計(jì)算結(jié)果仍有差別.作者認(rèn)為原因主要有兩個(gè)：其一，本文方法與極限平衡法計(jì)算模型不同.Bishop法和Janbu法需迭代求解穩(wěn)定性系數(shù)，而最小勢(shì)能法直接給出了法向力，無需迭代；其二，本文方法與極限法穩(wěn)定性系數(shù)定義方式不同，Bishop法和Janbu法采用了強(qiáng)度折減的定義方式，本文與之不同.

3 多地層邊坡穩(wěn)定性分析方法

3.1 計(jì)算模型

本文采用將多地層邊坡的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)化成等效的均質(zhì)土邊坡的方式，但又不同于傳統(tǒng)的按層厚加權(quán)平均法.本文僅以圖4中的三層土邊坡為例進(jìn)行說明.將黏聚力c按各層土中滑面長度加權(quán)平均值作為簡化后的黏聚力ce，即

式中,ci為各層土黏聚力,li為各層土中滑面長度.

內(nèi)摩擦角影響抗剪強(qiáng)度的因素為滑面長度與法向力，而法向力與水平方向的夾角α有關(guān)，故而在ce計(jì)算基礎(chǔ)上引入修正系數(shù)αi，進(jìn)行等效內(nèi)摩擦角?e的計(jì)算，即

圖4 分層土邊坡示意圖

式中,αi為各土層滑面法線與水平面的夾角,為修正后的各層土體中滑面長度.則?e為

將式(15)、式(17)代入式(13)便可得穩(wěn)定性系數(shù).

3.2 算例驗(yàn)證

如圖 5所示存在軟弱下臥層的多地層邊坡，土體容重均為 19.2kN/m3.軟弱層厚度 4.55m，c=0，?=10°；上層土 c=29.3kPa，?=20°，坡高h(yuǎn)=12.2m，坡比為為2:1，潛在滑面方程為：(x-6.1)2+(y-21.3)2=24.42.計(jì)算結(jié)果如表 4所示.

圖5 多地層邊坡算例

表4 不同方法得到的結(jié)果

從表4可知文中方法與極限平衡法的結(jié)果較為接近，相對(duì)誤差在5%以內(nèi)，表明文中的計(jì)算方法是可行且合理的.同時(shí)，從表4的數(shù)據(jù)可以看出，按層厚加權(quán)平均法的計(jì)算結(jié)果偏小，且與極限平衡法的相對(duì)誤差達(dá)到了20%以上.主要是該法高估了土層厚度對(duì)邊坡的穩(wěn)定性的貢獻(xiàn)，低估了滑面弧長以及法向力的影響，而本文恰好考慮了滑面弧長以及法向力對(duì)穩(wěn)定性系數(shù)的貢獻(xiàn)，故而本文方法與實(shí)際更為相符.

此外，為進(jìn)一步增強(qiáng)文中多地層算法的說服力，在多地層算例的基礎(chǔ)上，通過改變上部堅(jiān)硬土層的厚度(兩層土的總厚度保持不變)，計(jì)算了各種方法的穩(wěn)定性系數(shù)，計(jì)算結(jié)果如圖6所示.

圖6 改變硬土層厚度各種方法下的穩(wěn)定性系數(shù)

從圖6可以看出：(1)在硬土層厚度為0,15.3m時(shí)，各種方法的穩(wěn)定性系數(shù)較為接近，再次表明本文方法是適用的；(2)按層厚加權(quán)平均得到的計(jì)算結(jié)果幾乎隨硬土層厚度線性變化，而本文結(jié)果呈現(xiàn)曲線變化規(guī)律.尤其是在軟土層厚度較小的情況下曲線的斜率較大，這與Janbu法、Bishop法的變化規(guī)律類似，并且結(jié)果接近，驗(yàn)證了本文多地層邊坡穩(wěn)定性分析模型是合理的.同時(shí)，上述現(xiàn)象說明，滑面下部的軟土層所起的作用很大，即使其厚度較小，對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響也較為明顯.實(shí)際上，這與工程實(shí)際情況相符.然而，按層厚加權(quán)平均的方法無法體現(xiàn)這種現(xiàn)象.因而，本文多地層算法是合理地，且具有工程應(yīng)用價(jià)值.

4 結(jié)論

本文從能量的角度出發(fā)，基于勢(shì)能最小原理進(jìn)行了邊坡穩(wěn)定性分析，得到了以下結(jié)論：

(1)文中的剪應(yīng)力計(jì)算模型適用于任意形狀滑面，且可以給出其在滑面上任意一點(diǎn)的解析解.算例結(jié)果表明：文中的計(jì)算方法得到的結(jié)果與極限平衡法相對(duì)誤差在5%以內(nèi)，滿足工程精度要求.

(2)文中非均質(zhì)土邊坡計(jì)算模型，分別從滑面長度以及法向力考慮了土體抗剪強(qiáng)度指標(biāo)對(duì)穩(wěn)定性系數(shù)的貢獻(xiàn)，物理意義明確，計(jì)算簡便，易于工程人員使用.

(3)用最小勢(shì)能分析法研究邊坡穩(wěn)定性是一種有益的探索.然而，目前其在國內(nèi)外的研究還不是很深入，且相應(yīng)的計(jì)算軟件不多，因此該法離工程應(yīng)用還有較大的距離.

1欒茂田,武亞軍,年延凱.強(qiáng)度折減有限元法中邊坡失穩(wěn)的塑性區(qū)判據(jù)及其應(yīng)用.防災(zāi)減災(zāi)工程學(xué)報(bào),2003,23(3):1-8

2房營光.土質(zhì)邊坡失穩(wěn)的突變性分析.力學(xué)與實(shí)踐,2004,26(4): 24-27

3沈愛超,李鈾.單一地層任意滑移面的最小勢(shì)能邊坡穩(wěn)定性分析方法.巖土力學(xué),2009,30(8):2463-2466

4王明華,李小強(qiáng),白世偉.基于GIS和最小勢(shì)能原理的斜坡穩(wěn)定性三維分析.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào),2005,24(13):2376-2379

5李小強(qiáng),白世偉,李鈾.最小勢(shì)能方法在二維邊坡穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用.巖土力學(xué),2004,25(6):909-912

6溫樹杰,孫加平,胡國保等.改進(jìn)的最小勢(shì)能法與Bishop法邊坡穩(wěn)定計(jì)算對(duì)比分析.人民長江,2015,46(22):45-48

7溫樹杰,田亮.擋土墻支護(hù)邊坡的最小勢(shì)能穩(wěn)定性分析方法.建筑科學(xué),2013,29(7):20-23

8李鈾,陸洋,李妮,等.錨桿(索)加固邊坡的最小勢(shì)能穩(wěn)定性分析方法研究.巖土力學(xué),2008,29(9):2329-2334

(責(zé)任編輯:劉希國)

NEW SOLUTION OF 2D SLOPE STABILITY ANALYSIS BASED ON MINIMUM POTENTIAL ENERGY PRINCIPLE

SUN Jiaping?,1)BU Weifei?HU Jinmu?WEN Shujie?

?(Department of Mining and Construction Engineering,Jiangxi Vocation College of Industry&Engineering, Pingxiang 337055,Jiangxi,China)
?(School of Architecture and Surveying Engineering,Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000,Jiangxi,China)

For insufficient of minimum potential energy method research,model of shear potential with static equilibrium equation of sliding body virtual displacement is proposed,which can solve shear strength on failure surface.Moreover,stability analysis method of multi layer slope is forwarded.Results of paper examples show that:shear potential energy of sliding mass can inf l uence stability factor of slope,and it can obtain reasonable result;paper method is feasible and reasonable,which result from stability factor of proposed method is close to limit equilibrium method;analysis method of multi layer slope not only considers contribution of sliding surface length and normal force,but also it is simple and easy to be used by engineering.

minimum potential energy,failure surface,shear strength,slope,stability factor

TU435

：Adoi：10.6052/1000-0879-17-004

2017–01–04收到第1稿，2017–03–08收到修改稿.

1)孫加平，碩士，助教，主要從事邊坡的穩(wěn)定性分析方面的研究.E-mail：sjpjust2013@126.com

孫加平,卜偉斐,胡金木等.二維邊坡穩(wěn)定性分析的最小勢(shì)能法新解.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(4):349-353

Sun Jiaping,Bu Weifei,Hu Jinmu,et al.New solution of 2D slope stability analysis based on minimum potential energy principle.Mechanics in Engineering,2017,39(4):349-353