萬有引力定律的應(yīng)用問題歸類例析①

(廣東省五華縣田家炳中學(xué)，廣東 梅州 514400)

萬有引力定律的應(yīng)用問題歸類例析①

古煥標(biāo)

(廣東省五華縣田家炳中學(xué)，廣東 梅州 514400)

運用萬有引力定律求解天體(衛(wèi)星)運動問題一直是高考命題熱點，此類習(xí)題題型較多，本文對該類問題進行了分類，并總結(jié)了解題的中心方法是“萬有引力提供向心力”和“黃金代換”。

萬有引力；向心力；黃金代換

萬有引力定律部分內(nèi)容比較抽象，習(xí)題類型較多，在教學(xué)中學(xué)生普遍反映這一部分內(nèi)容變化繁雜，學(xué)習(xí)思路不清晰，難懂、難學(xué)。筆者根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗，將這一部分知識的解題思路進行歸納，經(jīng)過實際教學(xué)實踐，絕大部分學(xué)生反映采用這種方法學(xué)習(xí)以后，學(xué)習(xí)思路清晰了，知識掌握牢固了，學(xué)習(xí)負擔(dān)減輕了，以下針對萬有引力的不同類型習(xí)題的解法加以歸類、分析。

1 解題思路

2 問題歸類

2.1 星體表面上的重力加速度

除此以外，還可通過在星體表面涉及的自由落體、豎直上拋、平拋等拋體運動形式來求星體表面的重力加速度g。

例1：一宇宙飛船繞地心做半徑為r的勻速圓周運動，飛船艙內(nèi)有一質(zhì)量為m的人站在可稱體重的臺秤上。用R表示地球的半徑，g表示地球表面處的重力加速度，g′表示宇宙飛船所在處的地球引力加速度，F(xiàn)N表示人對秤的壓力，下列說法中正確的是( )。

2.2 中心天體的質(zhì)量M和密度ρ

當(dāng)衛(wèi)星繞行星或行星繞恒星做勻速圓周運動時，根據(jù)題目提供的不同條件，在下面4種情況下都可求解中心天體的質(zhì)量。

例2：要計算地球的質(zhì)量，除已知的一些常數(shù)外還需知道某些數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出下列各組數(shù)據(jù)，可以計算出地球質(zhì)量的是( )。

A.已知地球半徑R

B.已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑r和線速度v

C.已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的線速度v和周期T

D.已知地球公轉(zhuǎn)的周期T′及運轉(zhuǎn)半徑r′

2.3 衛(wèi)星運行的參量

例3：設(shè)地球質(zhì)量為月球質(zhì)量的81倍，地球半徑是月球半徑的4倍，若探測器甲繞地球和探測器乙繞月球做勻速圓周運動的半徑相同，則( )。

A.甲與乙線速度之比為9∶2

B.甲與乙線速度之比為1∶9

C.甲與乙向心加速度之比為81∶1

D.甲與乙運動周期之比為1∶1

2.4 赤道上的物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星運行參量的比較

例4：有a、b、c、d四顆衛(wèi)星，a還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球一起轉(zhuǎn)動，b在地面附近近地軌道上正常運動，c是地球同步衛(wèi)星，d是高空探測衛(wèi)星，設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為24h，所有衛(wèi)星的運動均視為勻速圓周運動，各衛(wèi)星排列位置如圖1所示，則下列關(guān)于衛(wèi)星的說法中正確的是( )。

圖1

A.a的向心加速度等于重力加速度g

C.b在相同的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長最長

D.d的運動周期可能是23h

2.5 衛(wèi)星的變軌問題

例5：如圖2所示是“嫦娥三號”飛行軌道示意圖。假設(shè)“嫦娥三號”運行經(jīng)過P點第一次通過近月制動使“嫦娥三號”在距離月面高度為100km的圓軌道Ⅰ上運動，再次經(jīng)過P點時第二次通過近月制動使“嫦娥三號”在距離月面近地點為Q、高度為15km，遠地點為P、高度為100km的橢圓軌道Ⅱ上運動，下列說法正確的是( )。

圖2

A.“嫦娥三號”在距離月面高度為100km的圓軌道Ⅰ上運動時速度大小可能變化

B.“嫦娥三號”在距離月面高度100km的圓軌道Ⅰ上運動的周期一定大于在橢圓軌道Ⅱ上運動的周期

C.“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動經(jīng)過Q點時的加速率一定大于經(jīng)過P點時的加速度

D.“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動經(jīng)過Q點時的速率可能小于經(jīng)過P點時的速率

解析：“嫦娥三號”在距離月面高度為100km的圓軌道上運動是勻速圓周運動，速度大小不變，選項A錯誤；由于圓軌道的軌道半徑大于橢圓軌道半長軸，根據(jù)開普勒定律，“嫦娥三號”在距離月面高度100km的圓軌道Ⅰ上運動的周期一定大于在橢圓軌道Ⅱ上運動的周期，選項B正確；由于在Q點“嫦娥三號”所受萬有引力大，所以“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動經(jīng)過Q點時的加速度一定大于經(jīng)過P點時的加速度，選項C正確；“嫦娥三號”在橢圓軌道上運動的引力勢能和動能之和保持不變，Q點的引力勢能小于P點的引力勢能，所以“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動到Q點的動能較大，速度較大，所以“嫦娥三號”在橢圓軌道Ⅱ上運動經(jīng)過Q點時的速率一定大于經(jīng)過P點時的速率，選項D錯誤。

2.6 中心天體的第一宇宙速度

地球的第一宇宙速度是衛(wèi)星運行半徑為地球半徑時的環(huán)繞速度，與此類似，其他星球的第一宇宙速度是衛(wèi)星的運行半徑為此星球半徑時的環(huán)繞速度，計算第一宇宙速度一般有下面兩種方法。

例6：某星球的半徑為R，在其表面上方高度為aR的位置，以初速度v0水平拋出一個金屬小球，水平射程為bR，a、b均為數(shù)值極小的常數(shù)，則這個星球的第一宇宙速度為( )。

2.7 雙星類問題

(1)雙星問題的特點：① 兩星的運動軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點。

② 兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供。

③ 兩星的運動周期、角速度相同。

④ 兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，即r1+r2=L。

圖3

例7：如圖3所示，由兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動。現(xiàn)測得兩顆星之間的距離為L，質(zhì)量之比為m1∶m2=3∶2，下列說法中正確的是( )。

A.m1、m2做圓周運動的線速度之比為3∶2

B.m1、m2做圓周運動的角速度之比為3∶2

2.8 天體運動中的能量變化

例8：目前，在地球周圍有許多人造地球衛(wèi)星繞著它運轉(zhuǎn)，其中一些衛(wèi)星的軌道可近似為圓，且軌道半徑逐漸變小。若衛(wèi)星在軌道半徑逐漸變小的過程中，只受到地球引力和稀薄氣體阻力的作用，則下列判斷正確的是( )。

A.衛(wèi)星的動能逐漸減小

B.由于地球引力做正功，引力勢能一定減小

C.由于氣體阻力做負功，地球引力做正功，機械能保持不變

D.衛(wèi)星克服氣體阻力做的功小于引力勢能的減小

3 結(jié)語

應(yīng)用萬有引力定律解決問題的習(xí)題題型較多，涉及的題型以天體運動為核心，如運行速度、估算天體質(zhì)量或平均密度、變軌問題等，解題的方法是“萬有引力提供向心力”和運用“黃金代換式”：GM=gR2。

[1] 馮占余.萬有引力及天體問題考點分析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2011,(5)：71-73.

[2] 章克文.2015高考萬有引力與航天類試題評析[J].物理教學(xué)探討，2015,33(9):45-47.

①本文系梅州市普教系統(tǒng)“百千萬人才工程”第五期立項課題“高中物理習(xí)題的創(chuàng)新與解題策略的研究”(課題編號:20160630052)的成果之一。