基于Hilbert變換科氏流量計相位差測量方法改進

徐同旭，黃丹平，2，3,郭康

（1.四川理工學(xué)院機械工程學(xué)院，四川自貢643000；2.人工智能四川省重點實驗室，四川自貢643000；3.過程裝備與控制工程四川省高校重點實驗室，四川自貢643000）

基于Hilbert變換科氏流量計相位差測量方法改進

徐同旭1，黃丹平1，2，3,郭康1

（1.四川理工學(xué)院機械工程學(xué)院，四川自貢643000；2.人工智能四川省重點實驗室，四川自貢643000；3.過程裝備與控制工程四川省高校重點實驗室，四川自貢643000）

離散Hilbert變換因其計算相位差準(zhǔn)確度高，在科氏流量計中得到廣泛應(yīng)用。針對非整周期采樣下信號變換失真問題，研究基于采樣數(shù)據(jù)的減小信號變換失真算法，提高流量測量精度。分析離散Hilbert變換四步算法，根據(jù)離散變換特征，提出非整周期信號周期化插補算法和信號變換誤差計算的區(qū)間循移算法。通過實驗驗證，在非整周期采樣時，所研究算法可減小采樣信號變換失真，相位差計算精度提高一位，質(zhì)量流量計算誤差小于原來誤差1/5。

非整周期采樣；相位差；離散Hilbert變換；周期化插補；區(qū)間循移

0 引言

流體流量測量與人類生產(chǎn)活動密切相關(guān)，尤其是在生產(chǎn)自動控制環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)流量計使用易受溫度、器件腐蝕等因素影響，導(dǎo)致流量測量不準(zhǔn)確。隨著測量理論和技術(shù)的發(fā)展，研發(fā)出許多新式流量計。科式質(zhì)量流量計以其獨特測量原理及測量準(zhǔn)確性，迅速應(yīng)用于各個工業(yè)領(lǐng)域[1]。

科式質(zhì)量流量計（CMF）是利用流體在振動的流量管中流動產(chǎn)生與質(zhì)量流量成正比的科里奧利力[2-6]而制成的一種直接式流量測量儀表。如圖1所示，為流量管振動模型圖。流量管的中點B受驅(qū)動力作用，若流量管中無流體流過，則其振動形式如圖1（a）所示。若流量管通過勻速流體，則其振動形式如圖1（b）所示（圖中夸張顯示）。通過位移傳感器檢測，可獲得A、C處的振動信號，對振動信號處理，可得與質(zhì)量流量成正比的相位差，從而計算流體流量。

圖1 流量管振動模型

目前，國內(nèi)外對流量計信號處理算法，幾乎都是基于整周期采樣信號而研究的算法。整周期采樣，離散Hilbert變換相位差測量準(zhǔn)確，但是實際采樣信號長度通常為非整周期，此時離散Hilbert變換波形失真，相位差求取不準(zhǔn)確，影響流量測量精度。本文分析非整周期采樣下離散Hilbert變換產(chǎn)生誤差原因，并提出兩種改進算法來減弱變換波形失真，使得相位差和流量測量精度更高。

1 離散Hilbert變換及誤差

Hilbert變換的單位沖激響應(yīng)[2，7]為h（t），其傅里葉變換的幅頻響應(yīng)為

設(shè)x（t）表示實數(shù)模擬信號，其連續(xù)時間傅里葉變換為X（jω）。實數(shù)信號的幅度譜具有偶對稱，可由正頻譜和負頻譜[7]組成，現(xiàn)設(shè)正頻率譜部分Xp（jω），負頻率譜部分Xn（jω），則有：

信號x（t）的Hilbert變換x?（t），其頻譜為X?（jω）。設(shè)復(fù)數(shù)信號，其頻譜為Y（jω），則有：由上可得離散Hilbert變換四步算法：

1）對序列{x[n]}進行離散傅里葉變換，得到頻域序列{X[k]}。

2）構(gòu)造向量V=[1，2，2，…，2，1，0，…，0]T，其中：

3）將向量X與V對應(yīng)的元素相乘，得到一個新的向量Xν。

4）對向量Xν進行離散傅里葉逆變換，得到復(fù)信號y的離散序列向量，復(fù)序列虛部即為移相信號序列。

以信號x（t）=10sin（160π·t+π/3）為例，則移相信號[8]為x→（t）=-10cos（160π·t+π/3）。設(shè)采樣序列為{x[n]}，理想移相序列為{x→[n]}，離散Hilbert變換虛部序列為{x?[n]}，則序列變換誤差為

仿真實驗結(jié)果如圖2所示。從圖2（a）中可知非整周期采樣時，變換輸出信號在兩端失真嚴重。從圖2（b）可知，非整周期采樣時離散Hilbert變換有較大的誤差。

2 離散Hilbert變換算法分析

設(shè)信號x（t）的時域采樣區(qū)間為[t0，t0+L]，且采樣點數(shù)為N，采樣間隔為Δt=L/（N-1），則采樣序列為

對序列進行離散傅里葉變換，離散傅里葉變換矩陣[7]為D，其中：

其中s、p為矩陣的行號和列號。可得離散頻譜向量：

圖2 非整周期變換及其誤差

構(gòu)造列向量V，其對應(yīng)的矩陣為G，其中：

則Xν=G（Dx）=GX。離散傅里葉逆變換矩陣[7]為DN，其中：

那么

令M=DN·G·D，于是輸出解析信號序列向量為

因M為復(fù)數(shù)矩陣，設(shè)其實部為RM，虛部為IM，從而：

經(jīng)計算得M的元素為

由于

于是，可得虛部矩陣IM，其元素為

由式（15）可得：

從式（19）中可知，IM為信號離散Hilbert變換的移相矩陣。根據(jù)式（19），可得決定非整周期采樣下信號變換失真的因素有兩個，非整周期數(shù)據(jù)和移相矩陣IM。對于非整周期采樣，提出兩種方案來解決離散Hilbert變換信號失真問題。

3 離散Hilbert變換改進算法

當(dāng)采樣數(shù)據(jù)點數(shù)不變時，離散變換誤差的影響因素只有非整周期采樣數(shù)據(jù)點本身。因整周期數(shù)據(jù)離散變換無誤差，研究基于采樣數(shù)據(jù)點的周期化數(shù)據(jù)插補算法和區(qū)間循移算法來降低離散變換誤差。

3.1 周期化數(shù)據(jù)插補

首先，求解出所采集數(shù)據(jù)的周期，將所采集非周期的數(shù)據(jù)進行整周期化插補，然后對插補的整周期數(shù)據(jù)進行離散Hilbert變換，計算相位差，從而降低或消除信號變換誤差ε，算法流程圖3所示。

圖3 周期化數(shù)據(jù)插補算法流程

信號周期求取算法，是以小概率事件為原理研究出的算法。對于任意序列{x[n]}，設(shè)從中任取兩個元素x1、xk相等的概率為P0，則連續(xù)c個元素相等的概率為

若P0取值為0.5，c=20，上式約等于9.5×10-7。這是小概率事件，只有當(dāng)k為序列周期時，連續(xù)c個元素才相等。

設(shè)信號x（t），采樣區(qū)間[t0，t0+L]，采樣間隔為Δt=L/（N-1），信號周期為Tn，非整周期采樣序列{x[n]}，則序列元素x[n]=（n-1）Δt，其中n=1，2，…，N。對于求取的序列周期k，其對應(yīng)時域長度不一定是周期Tn，這對變換結(jié)果有一定影響。如圖4的P3點，當(dāng)Tn/Δt為整數(shù)時，序列周期k對應(yīng)時域長度為周期Tn，在進行周期化數(shù)據(jù)插補后，序列的離散Hilbert變換幾乎無誤差。當(dāng)Tn/Δt不是整數(shù)時，序列周期k對應(yīng)時域長度不是周期Tn，而是略小于或大于Tn，如點P1、P2，周期化數(shù)據(jù)插補后，序列的離散Hilbert變換有誤差。事實上，非整周期采樣時，Tn/Δt通常不是整數(shù)。

以周期信號x（t）=10sin（160π·t+π/3）為例，采樣數(shù)量N=220，采樣頻率8 000 Hz，時域采樣長度約2.19個周期。對采樣序列進行變換，結(jié)果如圖5所示。從圖可知，在非整周期采樣時，周期化插補算法顯著降低了離散Hilbert變換誤差。

圖4 采樣序列周期的長度

圖5 周期插補算法誤差

3.2 區(qū)間循移算法

經(jīng)分析可知，產(chǎn)生誤差原因為非整周期數(shù)據(jù)周期化變換導(dǎo)致信號失真。因此，研究一種間接算法來降低信號離散Hilbert變換誤差。該算法通過計算出離散Hilbert變換誤差，再用變換結(jié)果減去誤差，最后得出優(yōu)化變換輸出，算法流程如圖6所示。

圖6 區(qū)間循移算法流程

對于周期信號x（t），采樣區(qū)間[t0，t0+L]，信號周期Tp，序列向量x，則序列第k點的幅值為

先構(gòu)造信號點x[k]映射的周期區(qū)間Rgk，在該周期區(qū)間均勻取N個點組成新周期序列{xk[n]}，使得第k個序列滿足式（22）、式（23）：

可得誤差計算向量ek，設(shè)信號序列點x[k]的變換誤差εk，則有：

從而得到序列第k點優(yōu)化變換輸出：

令：

則有采樣信號優(yōu)化變換輸出

同樣以周期信號x（t）=10sin（160π·t+π/3）為例，設(shè)置采樣頻率為8000Hz，采樣數(shù)量N=220，采樣信號約2.19個周期，算法仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 區(qū)間循移算法誤差

從圖7（b）可以看出，本算法減小離散Hilbert變換誤差，從而減弱信號變換的畸變，提高相位差計算精度。上述結(jié)果是在已知周期信號周期的情況下計算所得，誤差顯著減小，實際信號周期通常未知。此種情況，可利用3.1中周期求取算法，找出周期數(shù)據(jù)，對其進行3次樣條插值[9]，獲取周期區(qū)間的N點數(shù)據(jù)，此后，計算各點誤差。

4 仿真實驗

4.1 CMF信號濾波

CMF實際輸出信號帶有干擾，對信號濾波是計算相位差的前提。信號去噪方法有自適應(yīng)格型陷波器法[10]、SVD法[8]、小波變換降噪[11]等，本文采用經(jīng)典的FIR型帶阻濾波器對采樣數(shù)據(jù)進行濾波。CMF信號為正弦信號，干擾為隨機信號，建立流量計實際輸出信號模型為

式中：f——信號頻率；

N（t）——隨機干擾噪聲。

為進行仿真，取A=10，f=80Hz，θ=π/3，設(shè)采樣頻率為fc=8000Hz，采樣數(shù)據(jù)量為N，則采樣數(shù)據(jù)為

其中i=1，2，…，N。則采樣信號如圖8（a）所示，信號信噪比為22.47 dB，圖8（b）為信號與濾波器的幅頻響應(yīng)。

圖8 信號與濾波器

圖93 次濾波效果

使用圖8（b）中濾波器對信號濾波1～5次，濾波1次還原后信號信噪比為32.16dB，信噪比增加了約10dB，明顯改善信號質(zhì)量。如圖9所示，3次濾波后，其信噪比為34.43dB，進一步改善信號質(zhì)量。實驗結(jié)果表明，濾波次數(shù)＞3，濾波效果基本不變。因此，將采用FIR低通濾波器3次濾波的方法對CMF信號進行濾波，然后使用濾波后信號計算相位差。

4.2 相位差計算

計算相位差的常用方法有相關(guān)法[12]、過零檢測法和離散Hilbert法，下面將使用相關(guān)法、離散Hilbert法與本文兩個基于離散Hilbert變換的改進算法進行比較。設(shè)CMF兩路信號[10，13]為

在對信號采樣N個數(shù)據(jù)后，定義采樣數(shù)據(jù)的相位差與相位差誤差：

則相位差相對誤差為

令式（31）中信號頻率為80Hz，采樣頻率8000Hz，采樣數(shù)量N=230，信號幅值A(chǔ)=10 V，采樣長度約為2.19倍周期，在不同相位差下進行仿真實驗，實驗結(jié)果如表1所示。將表中低信噪比數(shù)據(jù)以圖形形式顯示，如圖10所示，從圖中可知所研究算法計算相位差優(yōu)于相關(guān)法與離散Hilbert法，顯著提高相位差計算精度。

固定相位差為0.02rad，變化非整周期采樣長度，進行仿真實驗，算法仿真結(jié)果如表2所示，表中相位差單位為弧度。同時，將相對誤差數(shù)據(jù)以圖形顯示，如圖11所示。結(jié)合表2及圖11，可知非整周期采樣，所研究算法相位差計算精度優(yōu)于離散Hilbert法。

表1 不同相位差下算法仿真結(jié)果比較

圖10 不同相位差算法比較

圖11 變采樣長度算法比較

表2 不同采樣長度下算法仿真結(jié)果比較

表3 恒流下算法流量測試結(jié)果

5 實際測量驗證

為了驗證算法在實際工況條件下的效果，選用四川中測科技發(fā)展有限公司的科式質(zhì)量流量計進行流量測量，流量計型號TH010，準(zhǔn)確度等級0.5級，流量范圍4～65kg/min。流量計信號的采集，選用凌華PCI-9114DG多功能采集卡，該采集卡單通道最高采樣頻率100kHz。

實驗中，用穩(wěn)流器控制水的流速，采集卡采樣頻率設(shè)置為50kHz。在不同流速下，待采集系統(tǒng)波形穩(wěn)定，開始采集數(shù)據(jù)。采集卡單通道每次采集512個數(shù)據(jù)，采集1000次，單路信號累計數(shù)據(jù)512000個，累計采集時長10.24s。將采集數(shù)據(jù)導(dǎo)出到本地磁盤上，應(yīng)用算法計算相位差并轉(zhuǎn)換成流體質(zhì)量，實驗結(jié)果如表3所示。從表中可以看出，本文所研究算法，在非整周期采樣下，提高了質(zhì)量流量計算精度。

6 結(jié)束語

文中對CMF輸出兩路信號離散Hilbert變換產(chǎn)生的誤差進行分析，得到離散Hilbert變換的矩陣計算式（19）。根據(jù)分析結(jié)果，研究出基于采樣數(shù)據(jù)的周期插補算法和區(qū)間循移算法來改進離散Hilbert變換結(jié)果。通過仿真實驗與實際測試，兩種改進算法均可降低信號離散Hilbert變換誤差，提高相位差計算精度，從而提高質(zhì)量流量計算精度。

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（編輯：劉楊）

Improvement of phase difference measuring method based on Hilbert transform for Coriolis mass flowmeter

XU Tongxu1，HUANG Danping1，2，3，GUO Kang1
（1.School of Mechanical Engineering，Sichuan University of Science&Engineering，Zigong 643000，China；2.Artificial Intelligence Key Laboratory of Sichuan Province，Zigong 643000，China；3.Sichuan Provincial Key Lab of Process Equipment and Control，Zigong 643000，China）

Discrete-time Hilbert transform is widely applied in Coriolis mass flowmeter due to its high accuracy in calculating phase difference.Under non-integer-period sampling，the discrete-time Hilbert transform will have signal distortion and affect the accuracy of flow measurement.For the problem of signal transformation distortion under non-integer-period sampling，an algorithm used to reducesignaltransformationdistortionbasedonthedataisstudiedouttoimproveflow measurement accuracy.Firstly，the 4-step algorithm of discrete-time Hilbert transform is analyzed.According to the discrete transformation features，period-data interpolation algorithm for noninteger-period and interval shifting algorithm for signal transformation error calculation are studied out.Experiments prove that these two algorithms decrease the signal transformation distortion under non-integer-period sampling，the mass-flow rate error becomes 1/5 smaller than its original error，and the precision of phase difference is raised up.

non-integer-periodsampling；phasedifference；discrete-timeHilberttransform；period-data interpolation；interval-shifting

A

1674-5124（2017）08-0033-08

2017-01-10；

2017-02-12

過程裝備與控制工程四川省高校重點實驗室開放基金項目（GK201602）

徐同旭（1991-），男，江蘇淮安市人，碩士，專業(yè)方向為智能儀器儀表與自動化檢測系統(tǒng)。

黃丹平（1968-），男，四川自貢市人，副教授，博士，研究方向為測控技術(shù)與智能儀器儀表。

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.08.008