一種桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化的螢火蟲算法改進(jìn)研究

李彥蒼，于洋，王杰 （河北工程大學(xué)土木工程學(xué)院，河北 邯鄲056038）

隨著國民經(jīng)濟(jì)的不斷增強(qiáng)和綜合國力的不斷進(jìn)步，在城市建設(shè)過程中建筑結(jié)構(gòu)形式的多樣化為城市帶來了諸多現(xiàn)代化的元素。建筑結(jié)構(gòu)體系隨之也越來越復(fù)雜，設(shè)計(jì)過程中面臨著影響因素多、設(shè)計(jì)計(jì)算工作量大等問題。因此，設(shè)計(jì)出的建筑結(jié)構(gòu)往往存在著諸多問題，達(dá)不到應(yīng)有的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，遭到破壞的情形時(shí)有發(fā)生，對(duì)我國國民寶貴的財(cái)產(chǎn)和人身安全會(huì)造成不可預(yù)測的傷害，所以對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)和探索具有重要意義［1，2］。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化是指在限定的條件下，使結(jié)構(gòu)的某些性能表現(xiàn)最優(yōu)。柳春光等根據(jù)投資－效益準(zhǔn)則，提出了基于遺傳算法的全壽命抗震性能的海橋梁結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法［3］；楊繼超等針對(duì)工程結(jié)構(gòu)承受擾動(dòng)載荷，最優(yōu)解難以準(zhǔn)確獲得的問題，對(duì)剛架體結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了相關(guān)研究［4］；王曉軍等提出了一種基于非概率凸模型可靠性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法并取得相關(guān)結(jié)論［5］；Mohammed Jameel等提出了一種對(duì)高層建筑及其負(fù)載作用下的造型結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法［6］；Sabouri－Ghomi S等調(diào)查研究了每個(gè)組件的剛度、強(qiáng)度對(duì)結(jié)構(gòu)整體的強(qiáng)度、剛度的影響并提出其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法［7］；Giuseppe等提出了一種基于微分金華算法并將其應(yīng)用在預(yù)應(yīng)力混凝土梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，取得了顯著成果［8］；AndréTeófilo Beck等對(duì)確定性、可靠性和基于風(fēng)險(xiǎn)的不確定性條件下的結(jié)構(gòu)優(yōu)化進(jìn)行對(duì)比研究取得了相關(guān)結(jié)論［9］。以上研究均推動(dòng)了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究和發(fā)展，但如何克服優(yōu)化過程中存在著控制目標(biāo)多、目標(biāo)量化難和計(jì)算復(fù)雜等難題仍需進(jìn)一步深入研究。

2008年，劍橋?qū)W者Yang Xinshe提出了一種全新的群智能仿生優(yōu)化算法：螢火蟲算法（Firefly Algorithm，簡稱FA）［10］。該算法通過模擬野生環(huán)境中螢火蟲在覓食、尋偶和警戒等過程中發(fā)出熒光的現(xiàn)象而來的，是基于智能群體的隨機(jī)非線性搜索優(yōu)化算法，廣泛應(yīng)用于模式識(shí)別、網(wǎng)絡(luò)路由選擇、自動(dòng)控制、組合優(yōu)化、機(jī)器人路徑規(guī)劃以及社會(huì)科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域［11］。

筆者嘗試將螢火蟲算法引入到桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，同時(shí)針對(duì)該算法存在的缺陷，對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)，以期待解決優(yōu)化設(shè)計(jì)后期控制目標(biāo)多、計(jì)算復(fù)雜、收斂速度慢和收斂精度低等問題。

1 桁架結(jié)構(gòu)的形狀優(yōu)化模型

各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和各桿件截面面積是結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問題［12］，也是建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵變量，綜合考慮這2點(diǎn)因素才能得到最優(yōu)解。因此，以桁架結(jié)構(gòu)的總重量為目標(biāo)函數(shù)，以節(jié)點(diǎn)位移、應(yīng)力和穩(wěn)定性為約束條件，已知結(jié)構(gòu)的基本設(shè)計(jì)參數(shù)（材料密度、最大應(yīng)力、截面形狀、彈性模量、剪切模量和最大位移等）建立數(shù)學(xué)模型。

設(shè)計(jì)變量：

式中，Ai為桿件的截面面積；Xi為桿件的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；n為桿件的組數(shù)。目標(biāo)函數(shù)：

式中，f（x）為結(jié)構(gòu)的重量；ρi為材料密度；Ai為截面面積；Li為第i組桿件的長度。約束條件包括：

式中，（A）為應(yīng)力約束；（A）為位移約束；K為總的桿件數(shù)；σt為最不利應(yīng)力； ［σt］為容許應(yīng)力；ujl為節(jié)點(diǎn)j在方向l上的最不利位移；［ujl］為節(jié)點(diǎn)j在方向l上的容許位移；m為節(jié)點(diǎn)總數(shù)；w為節(jié)點(diǎn)位移約束的維數(shù)；Amin為桿件截面積的下限；Amax為桿件截面積的上限；為第k坐標(biāo)的下限；為第k坐標(biāo)的上限；z為節(jié)點(diǎn)變量數(shù)。

2 改進(jìn)的螢火蟲算法

自身亮度和吸引度是螢火蟲彼此間的吸引能力的2個(gè)關(guān)鍵因素［13］。其中，每一個(gè)螢火蟲所在的位置都代表了一個(gè)目標(biāo)初始解，該位置決定該螢火蟲發(fā)出的熒光亮度，位置越好亮度越高，目標(biāo)值越佳。每個(gè)螢火蟲的吸引度與其自身的熒光亮度相關(guān)，越亮吸引度越大，較暗的螢火蟲會(huì)自發(fā)的向較亮的螢火蟲方向移動(dòng)，同時(shí)吸引度會(huì)隨彼此間距離的增加而減小；若亮度相同，則隨機(jī)移動(dòng)。算法的數(shù)學(xué)描述如下。

熒光亮度：

式中，I0為螢火蟲的最大熒光亮度；γ為光強(qiáng)吸收系數(shù)，一般為常數(shù)；rij為螢火蟲i和j之間的空間距離。

吸引度為：

式中，β0為最大吸引度。

位置更新公式：

式中，xi、xj為螢火蟲i和j的所在位置；α為步長因子，一般為常數(shù)，且在［0，1］之間取值；rand為［0，1］上服從均勻分布的隨機(jī)因子。

螢火蟲算法雖然在全局尋優(yōu)的問題上具有很大的優(yōu)勢(shì)，但算法自身也存在著一些不可忽視的缺陷：對(duì)初始解的分布具有較強(qiáng)的依賴性、易于在早期發(fā)生停滯、求解結(jié)果精度低和后期收斂速度緩慢等［14，15］。

為了避免FA出現(xiàn)停滯現(xiàn)象，減少陷于局部最優(yōu)的可能，因此，在螢火蟲位置的初始化時(shí)，利用Logistic方程（7）對(duì)初始解群進(jìn)行分布：

式中，Xk為映射到［0，1］區(qū)間的變量；μ為控制參數(shù)。

設(shè)置最大迭代次數(shù)Np，進(jìn)行全局搜索，針對(duì)全局最優(yōu)解，依式（8）：

作高斯擾動(dòng)。其中，NGbest為擾動(dòng)后的位置。

然后依式（9）求最終最優(yōu)解Gbest：

尋優(yōu)流程如圖1所示。

3 實(shí)例應(yīng)用

圖2所示為37桿桁架橋結(jié)構(gòu)，長10m，高1m，桿件各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如表1所示?，F(xiàn)假設(shè)下弦各節(jié)點(diǎn)受到垂直向下的節(jié)點(diǎn)荷載（P＝10kN）作用，且已知橫架橋結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性在荷載作用和優(yōu)化的過程中不變，節(jié)點(diǎn)10的豎向位移最大值為10mm，各連接桿材料相同且同為圓桿，彈性模量E＝220GPa，密度ρ＝7900kg／m3，最小截面積為60mm2，允許應(yīng)力σcr為265MPa。

依實(shí)例，建立目標(biāo)函數(shù)，在已知相關(guān)基本參數(shù)的條件下建立滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性等條件的約束方程。應(yīng)用改進(jìn)的螢火蟲算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，步驟如下：

Step 1 依實(shí)例初始化：m為螢火蟲種群個(gè)體數(shù)量，N為螢火蟲種群規(guī)模，γ為熒光強(qiáng)度吸收系數(shù)，β0為螢火蟲最大吸引度，maxT為迭代閥值；

Step 2 螢火蟲位置初始化：選擇綜合表現(xiàn)優(yōu)秀的螢火蟲個(gè)體設(shè)定為實(shí)踐案例中可行解空間的初始個(gè)體；

Step 3 由式（4）變新熒光亮度；式（5）變新吸引度；式（6）變新位置；

圖1 算法的流程圖

Step 4 由式（8）對(duì)局部最優(yōu)值做高斯擾動(dòng)，式（9）求出的全局最優(yōu)值；

Step 5 如果滿足停機(jī)準(zhǔn)則，則停止；否則轉(zhuǎn)入Step 3，進(jìn)行下一循環(huán)繼續(xù)尋優(yōu)，迭代次數(shù)＋1；

Step 6 輸出Gbest且結(jié)束算法。

圖2 桁架的初始設(shè)計(jì)

表1 37桁架桿各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

局部穩(wěn)定性約束為：

設(shè)計(jì)變量：

優(yōu)化結(jié)果見表2，優(yōu)化形狀見圖3。

表2 37桿桁架橋形狀優(yōu)化結(jié)果比較

由表2和圖4可知，改進(jìn)的螢火蟲算法經(jīng)過大約350次迭代，曲線己無限接近收斂值，且結(jié)果優(yōu)于其他算法。

圖3 形狀優(yōu)化結(jié)果

圖4 迭代次數(shù)

4 結(jié)語

筆者基于結(jié)構(gòu)優(yōu)化的相關(guān)理論，結(jié)合37桿桁架橋結(jié)構(gòu)案例，建立了桁架橋結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，引入螢火蟲算法并采用Logistic方程和高斯干擾對(duì)其改進(jìn)，利用改進(jìn)后的螢火蟲算法對(duì)37桿桁架橋結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算，該研究為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一種新的思路和方法。

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